雙軌道Hubbard 模型的動力學平均場理論研究*

2022-07-28 07:33:00倪煜孫健全亞民羅東奇宋筠

物理學報 2022年14期

倪煜孫健全亞民羅東奇宋筠?

1) (北京師范大學物理系,北京 100875)

2) (上海科技大學物質科學與技術學院,上海 201210)

3) (中國科學院合肥物質科學研究院固體物理研究所,材料物理重點實驗室,合肥 230031)

基于以Lanczos 方法為雜質求解器的動力學平均場理論,研究了非局域軌道間躍遷對于雙軌道強關聯體系中軌道選擇Mott 相變的影響.計算了軌道間躍遷系數不同的雙軌道Hubbard 模型的準粒子權重和態密度,并構建了它們在相互作用強度U 和軌道帶寬比t2/t1 影響下的相圖.通過正則變換引入兩個有效的退耦和軌道,在一定條件下軌道間躍遷會有利于軌道選擇Mott 相變的發生.還比較了Bethe 晶格和正方晶格的相圖,雖然基于兩種不同晶格能帶結構得到的軌道選擇Mott 相變的相變點存在一定的差異,但其中關于軌道選擇Mott 相變的基本物理圖像具有一致性.并將方法拓展到半滿的Ba2CuO4–δ 材料的研究中,與根據密度泛函理論得到的能帶對比,我們發現各向同性的軌道間躍遷對能帶結構影響較大,進一步采用動量空間各向異性的非局域軌道間躍遷項,得到了材料的相圖,在半滿條件下Ba2CuO4–δ 應為軌道選擇Mott 材料.

1 引言

軌道選擇Mott 相變(orbital-selective Mott transition,OSMT)是過渡金屬材料中的一種新奇物理現象:多軌道體系中部分軌道上的電子進入局域化狀態,而其他軌道的電子仍然具有巡游特性.實驗上在Ca2-xSrxRuO4[1],過渡金屬硫化物[2]以及鐵基超導材料[3]中均觀測到了OSMT,其對了解強關聯系統的本質很有幫助.雙軌道Hubbard模型是研究OSMT 最簡單的模型[4?7].動力學平均場理論(dynamical mean-field theory,DMFT)在處理單軌道Hubbard 模型的相關問題中成效顯著[8?11],并且它拓展到雙軌道Hubbard 模型中也十分有效[5,12,13].

DMFT 中處理Anderson 雜質模型所用的雜質求解器對于最終的計算結果有很大的影響,多種多樣的理論以及數值方法都能用作動力學平均場的雜質求解器,如量子蒙特卡羅方法(quantum Monte Carlo simulations,QMC)[14?17],重整化群理論(renormalization-group theory)[18?20]以及隸算符表示方法 (slave-variable representations)[21?23]等.當DMFT 用于多軌道體系的求解時,不同的雜質求解器會面臨不同的困難:在處理摻雜的費米體系時,QMC 方法會出現負幾率問題;重整化群理論能很好地處理單帶問題,但卻難以拓展到多帶體系;隸算符表示方法無法精確處理多軌道體系中的電子關聯相互作用.除了上述雜質求解器外,還有以Lanczos 方法為代表的精確對角化方法,它能精確地處理多軌道體系中包括軌道內相互作用U、軌道間相互作用U′以及洪特耦合JH在內的電子關聯作用,但是對于含有非局域軌道間躍遷的系統,軌道間躍遷所引入的非對角格林函數將會使自洽參數求解過程的復雜程度顯著增加,并需要耗費巨大的計算資源.

軌道間躍遷會誘發軌道雜化,其在具有多軌道關聯效應的過渡金屬中至關重要[24?26],但同時它所帶來的非對角格林函數為處理多軌道Hubbard模型帶來了巨大挑戰.本文引入正則變換將雙軌道Hubbard 模型中的緊束縛部分對角化[27,28],得到了沒有軌道間躍遷的有效雜化軌道.同時為了更精確地計算軌道間相互作用對體系的影響,選取Lanczos 精確對角化方法作為雜質求解器,比起早先的工作[27,28],該方法能更加精確地描述庫侖相互作用以及洪特耦合效應對體系量子相變的影響,因此所得相圖的相變點也更加準確.除了DMFT 理論中常用的Bethe 晶格外,本文還基于正方晶格能帶結構計算了雙軌道體系的相圖,并發現DMFT中選用的晶格能帶結構不同時,雖然所得相變點存在差異,但相圖展現出來的軌道選擇Mott 相變的物理圖像基本一致.最后應用文中的方法研究了最近發現的新型銅氧化物超導材料Ba2CuO4-δ[29].Ba2CuO4-δ是高空穴摻雜濃度下的銅氧化物超導材料,其超導轉變溫度約為73 K.由于其具有極其扁平的CuO6八面體結構,銅原子的軌道和軌道均對費米面附近的電子態有貢獻[29?32],這種特殊的雙軌道特性是其區別于傳統銅氧化物超導材料的地方,同時密度泛函理論(density functional theory,DFT) 的計算結果也對雙帶特性進行了印證[33?35].有理論研究表明這種特殊的多軌道關聯特征極有可能是Ba2CuO4-δ的超導轉變溫度高于大部分高溫超導材料的原因[34,36].對于半滿的Ba2CuO4-δ體系,我們考慮非局域軌道間躍遷的動量空間各向異性,通過Ba2CuO4-δ的完整能帶,得到了材料在半滿條件下的相圖.

本文主要結構如下:第2 部分對含軌道間躍遷的雙帶Hubbard 模型中的正則變換進行介紹;第3 部分對研究所用的理論方法—以Lanczos 為求解器的DMFT 進行詳細的說明;第4 部分介紹基于上述方法得到的雙軌道Hubbard 模型中軌道選擇Mott 相變的物理圖像以及軌道間躍遷對其的影響,并對比用正方晶格能帶代入DMFT 中計算與Bethe 晶格的差異;第5 部分將方法應用于雙軌道超導材料Ba2CuO3.5中,并介紹了所得的結果;第6 部分為文章的主要結論.

2 雙軌道模型中的正則變換

雙軌道體系的哈密頓量可以分為兩部分:緊束縛部分Ht和相互作用部分HI,緊束縛部分Ht的形式為

相互作用部分HI的形式為[4,6]

通過正則變換消除軌道間躍遷,進而引入兩個退耦合的有效軌道α 和β[27,28],正則變換的形式如下:

(3)式中,αiσ和βiσ分別表示i格點上的有效軌道α 和β 中自旋為σ 的電子湮滅算符,由(4)式決定的u值和v值代入哈密頓量(1)中將會使軌道間躍遷項消失.通過正則變換,(1)式和(2)式描述的原雙軌道的哈密頓量會轉換為有效軌道的雙軌道哈密頓量,其同樣包含緊束縛部分和相互作用部分緊束縛部分為

結合(4)式可以看出,正則變換后的躍遷積分tα和tβ與t12的取值正負無關.因為本文研究的系統具有自旋旋轉對稱性U=U′+2JH,相互作用部分的系數在正則變換后保持不變.

3 動力學平均場理論

正則變換之后去除軌道雜化的雙軌道模型,可以通過DMFT 有效地處理.

在DMFT 的基本框架中[8],我們將多體問題中格點數量巨大的格點哈密頓量(5)和(6) 映射成格點數目有限的Anderson 雜質哈密頓量Himp,

正則變換之后的哈密頓量去除了軌道間的雜化,因此格林函數和自能都不含關于軌道的非對角項,各軌道的格林函數可以獨立地計算.雜質模型的Weiss 場格林函數(無相互作用格林函數)可以由雜質模型的系數直接計算:

其中

DMFT 通過自洽方程來使Weiss 場格林函數和無相互作用的格點格林函數相等,進而可以用雜質模型來表征格點模型的物理性質.如果考慮具有半圓形態密度的Bethe 晶格,DMFT 中的無相互作用的格點格林函數可以化簡為非常簡潔且便于計算的形式[8]:

其中g0(iωn)為無相互作用的格點模型格林函數.(13)式中g0(iωn)以及由(9)式計算的Weiss 場格林函數 G0(iωn)做差即為DMFT 的自洽方程:

其中nmax為截斷系數,計算中取nmax=2048.利用共軛梯度算法調整自洽參數使(14)式中的d趨于0,我們工作中體系自洽完成的判斷標準為d值小于10-5.

如果計算中選用其他晶格的能帶結構,則在計算局域的格點格林函數Glat(iωn)的過程中需要在動量空間對動量k 求和,以正方晶格為例,

其中εk=2t(coskx+cosky)代表正方晶格的色散關系,Σ(iωn,k)為體系自能(因為各軌道獨立,所以這里略去了軌道指標γ).在DMFT 中,當體系的維度d趨于無窮大時空間的漲落將會被凍結,此時系統自能將不再依賴動量k 而局域化[8]:

通過Dyson 方程可以計算雜質模型的自能:

利用體系的格林函數虛部來計算各軌道的態密度:

其中η為能量展寬因子,γ 為軌道指標.各軌道的準粒子權重可以通過自能計算[41]:

4 計算結果與討論

首先研究相互作用U和軌道間躍遷t12對Bethe 晶格雙帶Hubbard 模型相變的影響.研究中選取軌道間躍遷t12＞0,因為正則變換后的躍遷積分tα和tβ與t12的取值正負無關,所以之后的研究結果能夠自然地拓展到t12＜0的情況中.在本文研究的半滿體系中,化學勢保持μ=U/2+U′-JH/2以滿足粒子空穴對稱性.圖1 比較了當兩軌道帶寬比t2/t1=0.4,相互作用U以及軌道間躍遷t12不同時體系準粒子權重的變化.當t12=0 時,從準粒子權重曲線可以看出,寬有效軌道α 金屬絕緣體相變 (metal-insulator transition,MIT)的相變點Ucα=3.7,而窄有效軌道β 在相互作用強度Ucβ=2.3時發生金屬絕緣體相變,因此體系在相互作用強度2.3 ≤U ＜3.7時處于軌道選擇Mott 相(orbital-selective Mott phase,OSMP).當軌道間躍遷系數t12=0.4時,軌道選擇Mott 相對應的相互作用區間擴大為2.1 ≤U ＜4.1,軌道間躍遷的引入使窄有效軌道β 發生MIT 所需的相互作用強度減弱,而使寬有效軌道α 的臨界相互作用Ucα增強.由(7)式可知,軌道間相互作用通過調整兩個有效軌道的躍遷系數來促進OSMT 的發生,如當t12=0.4時,兩個有效軌道的躍遷系數比值為tβ/tα=0.32,因此體系更容易發生軌道選擇Mott 相變.

圖1 不同軌道間躍遷系數下兩個有效軌道的準粒子權重Z 隨相互作用U 的變化曲線.軌道α 和軌道β 分別用黑色圓圈和紅色三角標識,實心標志和空心標志分別代表t12=0和 t12=0.4的情況.體系中的洪特耦合作用JH=0.25U,兩軌道帶寬比t2/t1=0.4,所選用的能量單位為寬帶躍遷系數t1Fig.1.The interaction dependencies of the quasiparticle weight Z of the effective orbital α (black circles) and β (red triangles) with interorbital hopping t12=0.4 (hollow symbols) and without interorbital hopping t12=0 (solid symbols) when JH=0.25U and t2/t1=0.4.The energy is in unit t1.

圖2 給出了當軌道間躍遷t12=0.4、帶寬比t2/t1=0.4以及洪特耦合JH=0.25U時雙軌道體系的態密度隨相互作用強度U變化的細節.當相互作用強度U=1.5時,有效軌道α (圖2(a))和β(圖2(b)) 在費米面附近都存在明顯的準粒子峰,這意味著兩個軌道都處于金屬態,因此整個體系表現出金屬相的特征.當相互作用強度增加至U=3.0時,軌道α 在費米面附近仍存在明顯的準粒子峰(圖2(c)),但此時軌道β 的費米面附近打開了Mott能隙(圖2(d)),這是OSMP 的典型特征.繼續增加相互作用強度至U=4.5,圖2(e)和圖2(f)中兩個有效軌道均在費米面附近打開了Mott 能隙,這也意味著體系進入了Mott 絕緣相.圖2 給出的物理圖像與圖1 中t12=0.4的曲線相符合,這二者也是本文判定體系物態以及繪制相圖的依據.

圖2 兩個有效軌道的態密度隨相互作用U 增加的演化圖像,體系中的軌道間躍遷t12=0.4,帶寬比t2/t1=0.4 以及相互作用強度JH=0.25U.左邊的圖像為α軌道的結果,右邊圖像為β 軌道的結果,計算中選取的能量展寬因子為η=0.05Fig.2.Evolution of the orbital-resolved spectral densityA(ω) with the increasing Coulomb interaction U when t12=0.4,t2/t1=0.4 and JH=0.25U.Left panels show the results of effective orbital α and right panels are for effective orbital β.The energy broadening factor in our calculation takes η=0.05.

圖3(a)所示為軌道間躍遷系數t12不同時,兩軌道帶寬比t2/t1和相互作用強度U影響下的體系相圖.在沒有軌道間躍遷的雙軌道體系中,除了t2/t1=1的情況外體系中均存在OSMP,這主要是由于洪特耦合的作用[42],相圖中OSMP 區域的范圍隨著帶寬比t2/t1的增加而收縮,說明兩軌道差異越大體系越容易發生軌道選擇Mott 相變,這與早先對OSMP 的研究結果相符合[43?45].在雙軌道體系中引入軌道間躍遷之后,兩個有效軌道之間的差異會增大,這將導致相圖中軌道選擇Mott 相的區域擴大,圖3(b) 直觀地反映了當t12=0.4時相圖中OSMP 區域的擴大,和圖3(a)對比可以看出,所有的t2/t1情況下軌道選擇Mott 相的區域都擴大了,并且兩軌道差異越小軌道間躍遷對OSMP的促進作用越明顯.

根據(15)式及正方晶格的能帶結構,研究了正方晶格雙軌道Hubbard 模型中的OSMT.圖4給出了正方晶格t2/t1=0.4時軌道間躍遷t12及相互作用U影響的準粒子權重變化,以及t12=0.4時相互作用U和帶寬比t2/t1決定的相圖,可與Bethe晶格的結果(圖1 和圖3(b))做對比.如圖4(a)所示,當t12=0時體系在相互作用強度3.9 ≤U ＜6.6時處于軌道選擇Mott 相;引入軌道間躍遷t12=0.4,OSMP 存在范圍擴大至3.5 ≤U ＜6.9,盡管相變點的具體數值與Bethe 晶格的結果存在差異,但是t12=0.4對OSMP 影響的物理圖像是一致的.圖4(b)進一步印證了這一點,t12=0.4時體系相圖中的OSMT 的相變點與圖3(b)中的存在差異,但二者的OSMP 的變化趨勢基本一致,都反映出兩軌道帶寬差異越小軌道間相互作用對OSMP 的促進作用越明顯.綜上,Bethe 晶格是一種理想的晶格,其態密度作為一種近似手段來定性研究實際晶格中關聯效應驅動的相變是可行的,這也正是Bethe 晶格被廣泛應用于DMFT 的原因.

圖3 軌道間躍遷系數不同時,相互作用U 和帶寬比t2/t1影響下的雙軌道體系相圖 (a) 軌道間躍遷t12=0;(b) 軌道間躍遷t12=0.4.體系的洪特耦合JH=0.25U.黑色圓圈和紅色三角分別代表軌道α 和β 的MIT 相變點Fig.3.Phase diagrams in the plane of interaction U and hopping integral t2/t1 of the effective two-orbital Hubbard model with different interorbital hopping,when JH=0.25U:(a) t12=0;(b) t12=0.4.The black circles (red triangles) denote the critical points of MIT for effective orbital α(β).

圖4 DMFT 結合正方晶格能帶結構所得到的結果 (a)軌道間躍遷系數不同時,準粒子權重Z 隨相互作用U 的變化曲線,體系的洪特耦合JH=0.25U,帶寬比t2/t1=0.4;(b) t12=0.4以及JH=0.25U時,相互作用U 和帶寬比t2/t1影響下的有效軌道模型相圖Fig.4.DMFT results of the square lattice:(a) The interaction dependencies of the quasiparticle weight Z with different interorbital hoppings when JH=0.25U and t2/t1=0.4;(b) phase diagrams in the plane of interaction U and hopping integral t2/t1 of the effective two-orbital Hubbard model when t12=0.4 and JH=0.25U.

5 應用

把結合了正則變換的擴展DMFT 運用到最近發現的銅氧化物超導材料Ba2CuO4-δ中[29],由于Ba2CuO4-δ晶格中具有極其扁平的CuO6八面體結構,所以可以用雙軌道Hubbard 模型描述其電子結構與性質.根據DFT 計算半滿情況下Ba2CuO3.5所得到的電子能帶結構可知,費米面附近的電子態主要由Cu 的軌道和軌道貢獻[33?35].將DFT 所得的能帶結果近似處理,只考慮最近鄰躍遷而忽略較小的次近鄰躍遷,并忽略非局域軌道間躍遷的動量空間各向異性.之后采用適用于動量空間的各向異性的擴展DMFT 研究了Ba2CuO4-δ半滿情況下的相圖.

選取如下的躍遷模型系數代入(1)式:t1=0.504 eV,t2=0.196 eV,及t12=-0.302 eV,軌道和軌道的能量分別為μ1=-0.222 eV和μ2=0.661 eV[33].第2 部分中采用正則變換后所得的躍遷積分tα和tβ與t12的取值正負無關,因此可以將第4 部分的結果拓展至t12＜0的情況.結合本文的Ba2CuO4-δ緊束縛模型,體系中軌道間躍遷t12將促進體系的有效軌道的OSMP,同時由于Ba2CuO4-δ材料中具有晶體場劈裂εd=μ1-μ2,不同軌道化學勢的差異會導致有效軌道的格林函數矩陣形式非對角元中出現常數項,其中常數項的處理采用與之前工作中同樣的方法[28].

圖5(a)給出了JH=0.25U時各軌道的準粒子權重隨相互作用U的變化曲線.根據準粒子權重的變化曲線可知,當相互作用U ＜2.1 eV 時,雙軌道體系為金屬態;當相互作用強度U≥2.3 eV 時,體系轉變為絕緣態;在這兩個態之間存在一個狹窄的OSMP 區域,即作用強度2.1 eV≤U ＜2.3 eV時,寬有效軌道α 處于金屬態而窄有效軌道β 呈現出絕緣態的特征.圖5(b)—(d)進一步展現了JH=0.25U時相互作用強度U對兩個有效軌道α 和β 電子態密度的影響.當相互作用強度U較弱,如圖5(b)所示,U=1.0 eV 時兩個軌道在費米能級附近的電子態密度都不為零,說明體系為金屬態;隨著相互作用強度U增加到2.5 eV,如圖5(d)所示,兩個軌道的態密度圖像中均有Mott 能隙打開,此時體系為絕緣態;而當相互作用強度U=2.2 eV時,如圖5(c)所示,寬軌道費米能級附近的態密度仍為有限值的同時窄軌道打開了Mott 能隙,說明此時體系處于軌道選擇Mott 相[44?46].

圖5 (a) JH=0.25U時有效軌道的準粒子權重隨相互作用強度的變化曲線.不同相互作用強度U 下體系各有效軌道的態密度圖像 (b) U=1.0 eV;(c) U=2.2 eV;(d) U=2.5 eV.當相互作用2.1 eV ≤U ＜ 2.3 eV 時體系處于OSMPFig.5.(a) Quasiparticle weight Z as a function of interaction U when JH=0.25U.The orbital-resolved spectral density A(ω)with different intraorbital interaction:(b) U=1.0 eV;(c) U=2.2 eV;(d) U=2.5 eV for the two effective orbitals.An OSMP occurs in a narrow interaction region with 2.1 eV ≤U ＜ 2.3 eV.

圖6 給出了在相互作用U和洪特耦合JH作用下的相圖,在強電子關聯作用導致的Mott 絕緣相和相互作用強度較弱時體系的金屬相之間存在著一定范圍的OSMP 區域,隨著洪特耦合JH的減小以及相互作用U的增加OSMP 區域逐漸縮小,并在JH=0.34 eV 以及U=2.7 eV 時在相圖上消失.根據之前對電子關聯效應的研究,洪特耦合作用有利于OSMP 的形成[12,42,47],這也解釋了相圖中當JH＞0.34 eV 時OSMP 區域隨洪特耦合增加而擴大的原因.而當洪特耦合JH＜0.34 eV 時,晶體場劈裂對體系的影響壓制住了庫侖相互作用以及洪特耦合的影響,因此OSMP 從相圖上消失[12,42,47].

圖6 相互作用U 和洪特耦合 JH影響下體系的相圖.隨著相互作用U 的增加以及洪特耦合JH的減小,OSMP 區域逐漸縮小,大約在JH=0.34 eV 以及 U=2.7 eV 時體系中的OSMT 消失Fig.6.The phase diagram of the effective two-orbital Hubbard model with interaction U and Hund's rule coupling JH.The region of OSMP becomes narrower with the decreasing JH and increasing U,and OSMT vanishes around JH=0.34 eV and U=2.7 eV.

圖7(a)給出了本文研究的緊束縛模型的能帶圖像,并將其與根據DFT 模擬Ba2CuO4-δ的雙帶模型能帶圖像(圖7(b))進行了對比.

模擬DFT 計算結果所得的半滿情況下Ba2CuO4-δ的能帶結構如下[33]:

其中

式中tab(a,b=1,2)表示由軌道a躍遷至b的躍遷系數,下標1 和2 分別表示軌道和軌道,t,t′和t′′分別表示最近鄰躍遷、次近鄰躍遷以及第三近鄰躍遷系數,具體的數值見表1.由于本文選取的緊束縛模型忽略了非局域軌道間躍遷的動量空間各向異性,因此其能帶結構和根據DFT 模擬的雙帶模型能帶結構存在明顯差異,各向同性的緊束縛模型中兩個能帶存在分離的特征,因此需要采用和材料能帶相符合的雙帶模型開展研究.本文基于圖7(b)的能帶結構,研究了電子關聯效應對Ba2CuO4-δ中量子相變的影響,并在附錄中對如何用DMFT 處理圖7(b)的能帶結構進行了詳細的介紹.

表1 半滿Ba2CuO4–δ 緊束縛哈密頓量中的參數(單位為eV)[33]Table 1.Model parameters of the TB Hamiltonian of Ba2CuO4–δ at half-filling (unit:eV)[33].

考慮非局域軌道間躍遷項的動量空間的各向異性,將DFT 模擬所得完整能帶結構代入DMFT中,計算半滿Ba2CuO4-δ體系[36]的相圖.考慮完整能帶結構的相圖如圖8 所示,相圖中的相變點與相圖6 中存在差異,主要是因為本文選用的緊束縛模型的能帶結構與Ba2CuO4-δ的能帶結構差異比較大,圖8 給出的相圖能更加精確地描述半滿Ba2CuO4-δ體系的量子相變.同時能帶結構及相圖的對比也說明了利用正則變換處理軌道間躍遷的局限性.

圖8 在DMFT 中考慮DFT 得到的Ba2CuO3.5 完整能帶結構得到的相圖.此相圖與圖6 中的相圖定性一致Fig.8.Phase diagram of Ba2CuO3.5 obtained by the DMFT investigation using the DFT calculated band structure.The phase diagram is qualitatively consistent with Fig.6.

6 結論

運用以Lanczos 方法為求解器的DMFT 對相互作用U及非局域軌道間躍遷t12在雙軌道Hubbard 模型中軌道選擇Mott 相變的影響進行了研究,結果表明軌道間躍遷通過調整兩有效軌道的帶寬比來促進雙軌道體系中軌道選擇Mott 相的發生.對比了動力學平均場中使用不同晶格能帶結構得到的相圖,盡管相變點存在差異但其描述的軌道選擇Mott 相變的物理圖像具有一致性,進一步說明了Bethe 晶格作為近似的理論工具在研究關聯效應驅動的量子相變中的泛用性.最后將拓展的DMFT 應用于雙軌道銅氧化物超導材料Ba2CuO4-δ,并采用動量空間各向異性的非局域軌道間躍遷的雙帶模型繪制了體系的相圖,發現半滿的Ba2CuO4-δ為軌道選擇Mott 材料.

感謝中國科學院固體物理研究所鄒良劍教授在本工作中的討論.

附錄考慮完整能帶結構的動力學平均場理論

在DMFT 中考慮(20)式的緊束縛哈密頓量,則映射之后的雜質模型為