無(wú)限水深下波浪與二維水面物體作用的簡(jiǎn)單格林函數(shù)方法*

滕 斌 于 梅

無(wú)限水深下波浪與二維水面物體作用的簡(jiǎn)單格林函數(shù)方法*

滕 斌 于 梅

(大連理工大學(xué)海岸和近海工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 遼寧大連 116024)

針對(duì)無(wú)限水深下波浪與二維水面物體相互作用問(wèn)題, 傳統(tǒng)的波浪格林函數(shù)形式復(fù)雜、計(jì)算緩慢, 為了提高計(jì)算效率和計(jì)算精度, 將流域分為物體周?chē)膬?nèi)域及遠(yuǎn)離物體的外域, 內(nèi)域采用簡(jiǎn)單格林函數(shù)法, 外域采用多極子展開(kāi)方法, 通過(guò)內(nèi)外域邊界匹配, 耦合求解得到流域中任意一點(diǎn)的速度勢(shì), 并可計(jì)算物體在波浪作用下的波浪激振力、附加質(zhì)量、輻射阻尼及透射和反射系數(shù)。應(yīng)用該方法計(jì)算了二維水面漂浮半圓和水面漂浮方箱的算例, 數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明, 該方法可以方便、準(zhǔn)確、快速地計(jì)算無(wú)限水深下波浪與任意漂浮物體的作用問(wèn)題。

無(wú)限水深; 邊界元方法; 簡(jiǎn)單格林函數(shù); 多極子展開(kāi)

近年來(lái), 深海開(kāi)發(fā)已進(jìn)入千米甚至萬(wàn)米水深的時(shí)代, 對(duì)海上平臺(tái)等大型漂浮結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和防護(hù)提出了更高的安全性要求, 對(duì)水動(dòng)力分析計(jì)算提出了新的問(wèn)題。對(duì)于波浪與結(jié)構(gòu)物相互作用的水動(dòng)力分析問(wèn)題, 常采用基于格林函數(shù)的邊界元方法進(jìn)行求解。其格林函數(shù)又可分為簡(jiǎn)單格林函數(shù), 滿足波動(dòng)條件的頻域格林函數(shù)和時(shí)域格林函數(shù)。基于滿足自由水面條件和遠(yuǎn)場(chǎng)條件波動(dòng)格林函數(shù)的邊界元方法, 一般只需在物面上剖分網(wǎng)格、布置未知量, 所建立的積分方程尺度較小, 但格林函數(shù)的快速和精確計(jì)算是該方法的難題。Liapis等(1985), Newman (1985a, 1985b), Magee等(1989), Lin等(1991), 黃德波(1992), 韓凌(2005)采用分區(qū)計(jì)算和擬合方法進(jìn)行計(jì)算; Clément (1989a, 1989b), Duan等(2001), Chuang等(2007), Das等(2010)等通過(guò)問(wèn)題轉(zhuǎn)化, 采用常微分方程方法計(jì)算格林函數(shù); Linton (1999), Rahman (2001)等則推導(dǎo)了格林函數(shù)新的解析表達(dá)式以加快計(jì)算, Huang等(2022)采用機(jī)器學(xué)習(xí)方法近似計(jì)算水面格林函數(shù)。但無(wú)論采用哪種方法, 波動(dòng)格林函數(shù)都存在表達(dá)式冗長(zhǎng)、編程難度大、計(jì)算費(fèi)時(shí)和精度有限的問(wèn)題。另外, 基于波動(dòng)格林函數(shù)的邊界元方法雖只需在物面上建立方程, 但若將方程拆分為齊次部分和非齊次部分, 會(huì)發(fā)現(xiàn)齊次部分的積分方程形式與物體內(nèi)部的齊次Dirichlet邊值問(wèn)題對(duì)應(yīng)的積分方程完全一致。對(duì)于后者, 我們知道, 在通常頻率下, 齊次邊值只有零解, 但在特征頻率下, 我們所求的邊界問(wèn)題中也存在著非零解, 因此, 對(duì)應(yīng)的積分方程也將出現(xiàn)解的不唯一性現(xiàn)象, 而這些不唯一解對(duì)應(yīng)的特征頻率通常被稱(chēng)為“不規(guī)則頻率”, 因而會(huì)給出錯(cuò)誤的計(jì)算結(jié)果。

當(dāng)采用簡(jiǎn)單格林函數(shù)時(shí), 需將流域分解為內(nèi)域和外域兩個(gè)部分(賀五洲等, 1992), 在內(nèi)域上采用簡(jiǎn)單格林函數(shù)建立積分方程, 外域采用速度勢(shì)的特征展開(kāi)式做級(jí)數(shù)展開(kāi), 最后通過(guò)內(nèi)外域交界面上壓強(qiáng)和速度連續(xù)條件聯(lián)立求解。該方法中的格林函數(shù)計(jì)算簡(jiǎn)便, 但需同時(shí)在物面、水面和內(nèi)外域交界面上剖分網(wǎng)格、布置未知量, 離散的線性方程組較大。對(duì)于一般的二維問(wèn)題, 目前的計(jì)算機(jī)足以滿足其對(duì)計(jì)算量和存儲(chǔ)量的需求。另外, 該方法外部問(wèn)題與內(nèi)部問(wèn)題不使用同一套積分方程, 因而不存在“不規(guī)則頻率”問(wèn)題, 在各種計(jì)算條件下, 該方法構(gòu)造的積分方程均可得到唯一的正確解。因此, 采用簡(jiǎn)單格林函數(shù)法求解波浪與二維物體作用問(wèn)題是一個(gè)不錯(cuò)的選擇。

對(duì)于水深中波浪與物體的相互作用問(wèn)題, 外域速度勢(shì)可采用特征函數(shù)展開(kāi)方法進(jìn)行構(gòu)造, 特征值為色散關(guān)系2=-tan()的一個(gè)虛根和無(wú)窮多個(gè)實(shí)根, 其中為波浪頻率,為波數(shù),為重力加速度。當(dāng)內(nèi)、外域分界面遠(yuǎn)離物體時(shí), 速度勢(shì)的特征展開(kāi)式只需取少量幾項(xiàng)即可得到精確的結(jié)果。但隨著水深的增加, 或波浪頻率的增大, 非傳播模態(tài)波數(shù)(實(shí)根)變得非常接近而成連續(xù)狀態(tài), 因而速度勢(shì)特征展開(kāi)式趨向于從零到無(wú)窮的連續(xù)函數(shù), 這樣需選取非常大的內(nèi)部區(qū)域和較多的特征展開(kāi)項(xiàng)數(shù)才能得到精確的結(jié)果, 使得計(jì)算效率和精度快速下降。而多極子展開(kāi)方法采用球坐標(biāo)系下的勒讓德函數(shù)級(jí)數(shù)形式, 且只需取特征展開(kāi)的少量項(xiàng)而具有收斂快速、計(jì)算精確的特點(diǎn), 因此, 本文在外域采用多極子展開(kāi)方法來(lái)求解無(wú)限水深下波浪對(duì)水面二維物體的作用問(wèn)題。

1 數(shù)學(xué)模型和數(shù)值計(jì)算方法

1.1 問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型

考慮波浪與無(wú)限水深中水面漂浮物體的作用問(wèn)題。假設(shè)波浪從物體的左側(cè)入射, 入射波浪頻率為, 物體受到簡(jiǎn)諧波浪的作用后發(fā)生同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng), 由于物體的運(yùn)動(dòng)在流域中產(chǎn)生輻射波浪。按物體運(yùn)動(dòng)廣義自由度將物體運(yùn)動(dòng)的三個(gè)方向分解為水平振蕩、垂向振蕩和繞原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)。取二維笛卡兒直角坐標(biāo)系,軸垂直向上,平面位于未擾動(dòng)的靜水面上, 原點(diǎn)位于靜水面與物體交界的中心處, 如圖1所示。將流域分為內(nèi)、外流域, 分界面為圖1所示半徑為J的半圓面。

圖1 波浪與無(wú)限水深中浮體的作用及流域分區(qū)示意圖

注:F: 自由水面;B: 物體表面;J: 內(nèi)外域分界面; Ω: 內(nèi)域;J: 半徑;表示笛卡爾直角坐標(biāo)系

在不可壓縮理想流體無(wú)粘無(wú)旋的假設(shè)下, 速度勢(shì)滿足Laplace方程

對(duì)于波浪與浮體的相互作用問(wèn)題, 由于問(wèn)題是線性的,等物理量都是頻率為的簡(jiǎn)諧函數(shù), 這樣, 我們可分離出時(shí)間因子e–iωt, 將速度勢(shì)做如下分解,

(1) 自由水面條件

式中,為重力加速度。

(2) 物面條件

(3) 深水條件

1.2 積分方程和水面多極子展開(kāi)

將物面和水面邊界條件代入式(8), 得

在外部流域, 采用多極展開(kāi)法將速度勢(shì)展開(kāi)成水面點(diǎn)源、反對(duì)稱(chēng)偶極子和遠(yuǎn)場(chǎng)無(wú)波勢(shì)的線性疊加形式

在遠(yuǎn)場(chǎng), 點(diǎn)源勢(shì)可近似為

式中,為漂浮物體半徑。

1.3 匹配邊界元法的數(shù)值實(shí)現(xiàn)

將物面離散成B個(gè)單元, 水面離散成F個(gè)單元, 內(nèi)外域交界面上離散成J個(gè)單元。采用坐標(biāo)變換, 將每個(gè)單元變換到(-1, 1)的局部坐標(biāo)系下, 再在單元內(nèi)引入形狀函數(shù), 則單元內(nèi)的坐標(biāo)和速度勢(shì)可寫(xiě)為

線積分微長(zhǎng)度為

將式(20)和式(21)代入方程(19a)和(19b), 得

整理后可得線性方程組

1.4 波浪力、水動(dòng)力系數(shù)和波高

求得了物面和水面節(jié)點(diǎn)處的速度勢(shì)后, 物體上的波浪作用力可通過(guò)物面上的壓強(qiáng)積分求得,物體上、方向作用力及繞原點(diǎn)的波浪作用力矩為

同樣, 可求得附加質(zhì)量和輻射阻尼為

考慮到遠(yuǎn)場(chǎng)無(wú)波勢(shì)在遠(yuǎn)場(chǎng)衰減為零, 遠(yuǎn)場(chǎng)散射勢(shì)可簡(jiǎn)化為

透射波浪高度為

2 數(shù)值算例

圖2給出了水面固定半圓算例通過(guò)兩種方法計(jì)算得到的激振力結(jié)果的對(duì)比。“RkGreen”表示本文采用的簡(jiǎn)單格林函數(shù)方法, “FsGreen”表示波動(dòng)格林函數(shù)法(下同)。可以看出, 兩種方法計(jì)算的結(jié)果吻合很好, 但波動(dòng)格林函數(shù)法的計(jì)算結(jié)果在某些頻率處出現(xiàn)驟然跳躍,即出現(xiàn)了前面所述的“不規(guī)則頻率”問(wèn)題,這些“不規(guī)則頻率”的產(chǎn)生是由于求解積分方程的方法導(dǎo)致的, 并非物理上真正存在著“不規(guī)則頻率”。而本文方法在整個(gè)計(jì)算域內(nèi)都得到了準(zhǔn)確的結(jié)果。

圖3是水面固定半圓反射系數(shù)和透射系數(shù)隨波數(shù)的變化曲線。由曲線可以看出, 兩種計(jì)算方法的結(jié)果均呈現(xiàn)出低頻區(qū)波浪的反射系數(shù)較小, 高頻區(qū)較大; 而波浪的透射系數(shù)在低頻區(qū)較大, 高頻區(qū)較小, 且一直滿足反射系數(shù)和透射系數(shù)平方和為1的關(guān)系。而波動(dòng)格林函數(shù)法仍存在“不規(guī)則頻率”問(wèn)題, 簡(jiǎn)單格林函數(shù)算法由于其積分方程解的唯一性便可以很好地解決這一問(wèn)題。

圖2 簡(jiǎn)單格林函數(shù)邊界元與波動(dòng)格林函數(shù)邊界元求解水面固定半圓激振力對(duì)比

圖3 簡(jiǎn)單格林函數(shù)邊界元與波動(dòng)格林函數(shù)邊界元求解透射反射系數(shù)對(duì)比

注: RkGreen表示簡(jiǎn)單格林函數(shù)法, FsGreen表示波動(dòng)格林函數(shù)法; 橫坐標(biāo)是深水波數(shù)和半圓半徑的乘積

圖4 水面方箱附加質(zhì)量及輻射阻尼隨波數(shù)的變化曲線

3 結(jié)論

對(duì)于波浪與無(wú)限水深中水面二維浮體作用問(wèn)題, 采用簡(jiǎn)單格林函數(shù)和Ursell (1950)提出的水面多極展開(kāi)表達(dá)式, 建立了邊界元法與多極展開(kāi)耦合求解的計(jì)算方法。該方法只需取少量的多極展開(kāi)項(xiàng)數(shù), 應(yīng)用指數(shù)積分計(jì)算求解, 避免了水面格林函數(shù)的復(fù)雜計(jì)算問(wèn)題, 具有算法簡(jiǎn)單, 計(jì)算準(zhǔn)確、快速, 且可避免“不規(guī)則頻率”干擾的特點(diǎn)。應(yīng)用該方法計(jì)算了無(wú)窮水深中水面方箱的繞射和輻射問(wèn)題, 求得了水面方箱的附加質(zhì)量、輻射阻尼和波浪激振力隨波數(shù)的變化函數(shù)。結(jié)果表明: 垂蕩附加質(zhì)量在零頻率處趨于無(wú)窮, 高頻處趨于有限值; 縱蕩附加質(zhì)量在零頻率處為有限值, 高頻處趨于有限值。垂蕩和縱蕩輻射阻尼在零頻處為零, 高頻處趨于零。

圖5 水面方箱上波浪激振力隨波數(shù)的變化曲線

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A BEM WITH SIMPLE GREEN'S FUNCTION FOR WAVE INTERACTION WITH A 2D BODY AT THE SURFACE OF INFINITE WATER

TENG Bin YU Mei

(Dalian University of Technology, State Key Laboratory of Coastal and Offshore Engineering, Dalian 116024, China)

To understand the interaction of waves with a two-dimensional surface body in infinite water depth, the traditional wave Green’s function has complex form and slow calculation. In order to improve the calculation efficiency and accuracy, the watershed was divided into inner domain around the object and outer domain far away from the object. Simple Green’s function method was adopted in the inner domain, and multi-pole expansion method was adopted in the outer domain. The velocity potential of any point in the watershed can be obtained through coupling solution by matching inner and outer domain boundaries. The wave excitation force, additional mass, radiation damping and transmission and reflection coefficients of the object under wave action can also be calculated. The method was applied to calculate two-dimensional water surface floating semicircle and water surface floating square box, and the numerical results show that the method can conveniently, accurately and quickly calculate the interaction between waves and arbitrary floating objects in infinite water depth.

infinite water depth; boundary element method (BEM); simple Green’s function; multipole expansion

* 國(guó)家重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃項(xiàng)目, 2021YFB2601100號(hào)。滕 斌, 博士生導(dǎo)師, 教授, E-mail: bteng@dlut.edu.cn

2021-12-10,

2022-02-24

TV139.2

10.11693/hyhz20211200318