壓水堆堆芯pin-by-pin計算環境效應處理模型研究

張 斌，李云召，吳宏春

(1.中國核動力研究設計院 核反應堆系統設計技術重點實驗室，四川 成都 610041；2.西安交通大學 核科學與技術學院，陜西 西安 710049)

受限于計算條件和計算方法的水平，基于確定論或蒙特卡羅方法的壓水堆三維全堆芯非均勻一步法計算在反應堆中子學計算中尚無法得到廣泛應用。因此，近代反應堆中子學計算從中子輸運方程的空間、能量、角度3個方面進行合理近似得到了具有較高精度的兩步法計算方案。該計算方案因內存需求量小、計算效率高、計算精度滿足商用壓水堆設計計算需求等優點而被廣泛應用。

20世紀70年代以后，得益于粗網節塊法[1-2]的迅速發展，以組件均勻化方法[3-4]和粗網節塊法為理論框架的兩步法計算方案逐漸成為壓水堆工程計算中普遍采用的燃料管理數值計算方法。兩步法計算方案通常先以全反射邊界條件下的各類型二維燃料組件為對象進行中子輸運和組件均勻化計算，給出組件均勻化少群常數和形狀因子；然后將堆芯劃分成幾千個粗網節塊，基于少群常數庫進行中子擴散方程的求解；最后通過節塊內精細功率重構方法獲得堆芯中子通量密度分布和棒功率分布。兩步法計算方案誤差引入的主要因素之一是組件均勻化少群常數計算中采用的全反射邊界條件與該組件在堆芯中實際所處環境的差異。對于商用壓水堆，因其普遍具有徑向及軸向材料布置非均勻性不強、堆芯中子泄漏小等特點，以尺寸較大的組件作為均勻化區域、采用全反射邊界條件進行柵格計算得到的組件均勻化常數精度較高，滿足堆芯核設計計算精度要求。

隨著科學研究的不斷深入、計算條件和對核設計計算精度要求的不斷提高，全堆芯pin-by-pin計算成為下一代堆芯數值計算方法的研究熱點[5-6]。相比于組件均勻化兩步法計算方案，pin-by-pin計算方案只對組件中各柵元進行均勻化計算，保留了組件內不同柵元的非均勻性。全堆芯pin-by-pin計算減少了堆芯計算過程中的近似與假設，能更加精細地考慮堆芯布置的非均勻性，直接求出精度更高的棒功率分布，有利于堆芯燃料管理計算和相應堆芯安全分析。

隨著柵元均勻化技術的發展[7-8]，全反射邊界條件成為柵元均勻化常數誤差的主要來源之一。基于廣義等效均勻化理論，在邊界條件一致的情況下利用柵元均勻化截面、擴散系數和不連續因子能保證均勻化前后反應率及中子泄漏率守恒。然而，燃料組件在真實堆芯中所處的實際環境在兩步法計算中是無法提前獲知的，目前全堆芯pin-by-pin計算中，柵格計算依舊采用全反射邊界條件。全堆芯pin-by-pin計算的均勻化區域大小與平均中子自由程相當，這使得柵元均勻化常數對環境更為敏感，尤其是處于組件外圍的柵元。

為進一步提高全堆芯計算精度，國內外學者探討了大量的嵌入式計算方法(on-the-fly)、Color-set均勻化方法等改進型均勻化方法在復雜堆芯計算中的可行性及其計算精度。嵌入式計算方法[9-11]的主要思想是在堆芯計算中迭代進行非均勻組件計算用以在線更新均勻化群常數，該方法的優點在于能有效考慮燃料組件在堆芯中的真實環境情況，可計算得到更精確的均勻化常數，但迭代進行非均勻組件計算將增加計算代價，降低計算效率。Color-set均勻化方法[12-13]可提前制作少群常數庫，避免嵌入式計算中堆芯計算效率降低等問題。該方法以4個組件交界點為Color-set問題幾何中心，圍繞該點的4個1/4燃料組件構成Color-set問題。Color-set均勻化方法能很好地考慮各不同組件之間的射流效應及能譜干涉效應，極大提升了等效均勻化少群常數的計算精度。但Color-set計算在實際應用中需針對堆芯中所有燃料組件的組合堆芯實際運行時，堆芯內所有位置的組合都將不同，提前制表的復雜性大幅增加，且這種復雜性會隨燃耗、堆芯瞬態、物理熱工耦合效應的考慮變得更突出。近年來，基于參數化技術提升群常數精度的研究逐漸增多，普渡大學于2004年提出了基于神經網絡算法擬合pin-by-pin少群常數的計算方法[14]，但其只在用來擬合的狀態點上可恢復出精度較高的少群常數；2017年，韓國KAIST大學研究了基于神經網絡算法擬合群常數的算法，此類方法在pin-by-pin均勻化常數中取得了很好的計算效果。然而受限于神經網絡算法輸入參量的選擇，此方法只適用于兩群等效均勻化常數擬合計算，適用于更多能群的邊界條件修正方法有待進一步研究[15]。

為處理柵元均勻化環境效應，本文擬分析柵元均勻化群常數相對誤差及各群柵元不連續因子相對重要性，建立基于最小二乘法的熱群柵元不連續因子和堆芯中子學特征量之間的多項式函數關系，并基于C5G7基準題[16]和KAIST基準題[17]進行數值驗證。

1 柵元等效均勻化常數分析

1.1 柵元均勻化常數分析

基于棋盤式多組件問題進行柵元均勻化群常數相對誤差及各群柵元不連續因子相對重要性分析。棋盤式多組件問題如圖1所示，其燃料組件來自于KAIST基準題。

圖1 棋盤式多組件問題Fig.1 Color-set problem

對棋盤式多組件問題進行了兩類7群少群常數的計算：1) 參考解來自于棋盤式問題一步法計算，功率分布及7群柵元均勻化群常數考慮了不同類型燃料組件之間的干涉效應；2) 按全堆芯pin-by-pin兩步法計算方案進行計算，首先進行全反射邊界條件下的各類型單燃料組件計算，得到7群柵元均勻化截面，然后進行全堆芯計算獲得功率分布。

圖2為堆芯7群pin-by-pin計算的棒功率相對誤差分布?？砂l現，最大棒功率相對誤差出現在組件與組件交界面附近，這是由第2類計算方案中全反射邊界條件與堆芯真實環境的差異導致的，交界面附近最大棒功率相對誤差為4.03%，其余燃料棒相對誤差在1%左右。

圖2 棒功率相對誤差分布Fig.2 Distribution of pin-power relative error

UO2和MOX燃料組件交界面附近各柵元編號及對應編號柵元歸一化通量分布分別示于圖3和4?？砂l現，熱群(5～7群)通量之間的能譜干涉效應非常強烈，而快群(1～4群)中子能譜干涉效應相對較弱。

圖3 不同位置處柵元編號Fig.3 Pin-cell number in different positions

部分均勻化截面及擴散系數與參考解的相對誤差分布示于圖5?？梢?，最大相對誤差同樣出現在組件與組件交界面上。盡管強烈的熱群能譜干涉效應會導致邊界上中子通量密度誤差增大，但由于柵元均勻化截面是通過通量體積權重方法得到的，因此會減少均勻化截面的相對誤差。對各能群各類型截面進行分析后可發現，均勻化截面的最大相對誤差不超過1%。

圖4 編號柵元歸一化通量分布Fig.4 Distribution of pin-cell flux

圖5 部分均勻化常數相對誤差分布Fig.5 Distribution of homogenized group constant relative error

組件內各柵元左側面與右側面不連續因子比值的相對誤差如圖6所示，圖6中第1群與第7群分別代表快群中子與熱群中子，不連續因子的參考解來自于全規模一步法計算?？砂l現，高能中子由于中子自由程長、干涉效應弱，全反射邊界條件下快群中子的不連續因子誤差很小，最大相對偏差小于1%；而熱能中子由于中子自由程短、干涉效應強烈，全反射邊界條件下熱群不連續因子(PDF)最大相對誤差為10.7%。

圖6 柵元不連續因子相對誤差分布Fig.6 Distribution of PDF relative error

根據均勻化截面、擴散系數和不連續因子分析結果可發現，pin-by-pin等效均勻化少群常數計算中，全反射邊界條件對熱群不連續因子帶來的誤差最大，處于組件外圍的柵元熱群不連續因子最大相對誤差為10.7%，其余少群常數的相對誤差低于1%。

1.2 柵元不連續因子重要性分析

為分析各群柵元不連續因子在壓水堆堆芯計算中的相對重要性，對前文棋盤式問題中各單組件進行如下pin-by-pin計算：1) 不使用PDF(W/O)；2) 只使用熱群PDF，快群PDF設為1.0(WT)；3) 只使用快群PDF，熱群PDF為1.0(WF)。

柵元不連續因子的重要性分析計算結果列于表 1。表1結果表明：1) 任意能群的PDF都能提高pin-by-pin計算精度；2) 單獨使用熱群PDF的特征值誤差和棒功率均方根誤差均較單獨使用快群PDF的誤差小，且快群PDF提高的精度有限，因此熱群PDF的相對重要性高于快群；3) 所有能群都不使用PDF的計算誤差近似等于單獨使用熱群PDF和快群PDF的計算結果誤差之和，這表明PDF在各能群間相互獨立、效果疊加。

表1 柵元不連續因子重要性分析計算結果Table 1 Result of PDF importance analysis

2 熱群常數堆芯在線計算方法

由前文可知，由于熱群不連續因子相對誤差較大且相對重要，因此熱群不連續因子的計算準確性直接影響堆芯pin-by-pin計算的精度。本文基于最小二乘法建立熱群柵元不連續因子和堆芯中子學特征量之間的多項式函數關系，利用參數化技術提出熱群常數堆芯在線計算方法，其中堆芯中子學特征量包括擴散系數、移出截面、中子源項、歸一化中子通量密度等。

熱群不連續因子多項式函數形式如式(1)所示。

(1)

式中：f為熱群不連續因子的函數形式；x為堆芯中子學特征量；a為展開系數；下標i、j、k為堆芯中子學特征量。

堆芯中子學特征量從中子泄漏、中子轉移和中子產生這3種中子行為方式出發選取，本文堆芯中子學特征量選取如下：

(2)

式中：D為擴散系數；Σr，i，g為移出截面；Q為中子源項；E、W、S、N為柵元各邊界。

壓水堆堆芯中子行為在燃料組件和反射層組件中存在較大差異，熱群不連續因子和本方法選定的堆芯中子學特征量同樣存在很大差別。根據組件類型對熱群常數堆芯在線計算所用的多項式函數進行分類可有效提升多項式函數的計算適用性，從而提高堆芯pin-by-pin計算精度。本文采用燃料組件和反射層組件兩類熱群不連續因子多項式函數進行熱群常數堆芯在線計算。對于燃料組件，采用不同形式的各類型(1×1、1×2和2×2)燃料組件形成多項式擬合函數展開系數的計算數據集；對于反射層組件，采用不同形式的圍板反射層組件形成多項式擬合函數展開系數的計算數據集，主要包括一維平板狀圍板、二維楔形圍板。

3 數值計算與分析

本文采用C5G7基準題及KAIST基準題對熱群常數堆芯在線計算方法的計算效果進行分析。

3.1 C5G7基準題

C5G7基準題堆芯布置如圖7所示。以多群蒙特卡羅計算結果作為參考解，堆芯pin-by-pin計算結果列于表2，堆芯棒功率相對誤差分布示于圖8，其中LSM表示熱群常數堆芯在線計算方法，SA表示單組件均勻化計算方法。

圖7 C5G7基準題堆芯布置Fig.7 Core layout of C5G7 benchmark

圖8 C5G7基準題棒功率相對誤差分布Fig.8 Distribution of pin-power relative error of C5G7 benchmark

表2 C5G7基準題計算結果Table 2 Result of C5G7 benchmark

3.2 KAIST基準題

KAIST基準題堆芯布置如圖9所示，以MOC一步法計算結果作為參考解，堆芯pin-by-pin計算結果列于表3，堆芯棒功率相對誤差分布示于圖10。可見，熱群常數堆芯在線計算方法在保持高精度特征值計算結果的同時，提高了棒功率計算精度，最大棒功率相對誤差由3.29%降低為-2.13%，組件與組件交界面附近的棒功率計算精度明顯提高。

圖9 KAIST基準題堆芯布置Fig.9 Core layout of KAIST benchmark

表3 KAIST基準題計算結果Table 3 Result of KAIST Benchmark

圖10 KAIST基準題棒功率相對誤差分布Fig.10 Distribution of pin-power relative error of KAIST benchmark

4 結論

本文基于棋盤式多組件問題分析了pin-by-pin均勻化中群常數誤差及不同能群不連續因子的相對重要性。利用二維C5G7基準題和KAIST基準題，驗證分析了熱群常數堆芯在線計算方法的修正效果和計算精度。計算結果表明，熱群常數堆芯在線計算方法有效降低了堆芯pin-by-pin計算誤差，提高了堆芯計算精度。