光子晶體多組元缺陷態問題研究

王立群，嚴佳新，盧 欣,石麗偉,張肖利

(1.中國石油大學(北京)理學院，北京 102249；2.中國政法大學法治信息管理學院，北京 102249)

0 引 言

光子晶體又稱光子晶格材料或光子帶隙材料，是一種介電常數呈周期性變化的人造光學材料。Yablonovitch[1]和John[2]于1987年分別提出光子晶體的概念，他們認為光子晶體的周期性結構特性是可以產生帶結構的，在此之后人們對光子晶體產生了濃厚的興趣。光子帶隙也稱禁帶，是指由于受到布拉格散射的影響，在某一范圍內波不能在任何方向上通過晶體傳播。禁帶頻率范圍之外的稱為通帶。光子帶隙有許多重要的物理性質，例如自發發射抑制[1]、穩定的孤立波[3-4]和在邊緣附近自發發射的非指數衰減[5-6]等。光子晶體另一個主要特性是當破壞了其周期性介電結構時，在帶隙頻率區域可能會出現局部缺陷模式[7-9]。一般是通過引入點缺陷或者線缺陷來破壞其周期性結構。在設計點缺陷時，波將聚集在微米量級區域中形成微腔[10]，由于介電常數不連續所產生的反射、散射和衍射使得光在很小的區域中來回振蕩。當設計線缺陷時，會使之前處于某一禁帶范圍內的波開始傳播。于是，基于以上光子晶體的局域性特征，衍生出來很多有價值的應用，比如將線缺陷引入到常規光子晶體中的光波導。光子帶隙的存在使拐角無損耗傳播得以實現，這個特性對光學微電路非常有用[11]。再如，由于光的偏振而通常具有高品質因數并會顯示出較窄的透射光譜，因此它們可以用作良好的諧振器、偏振器、濾光器、光子晶體光纖[12-13]和光子晶體激光器[14-18]。研究光子晶體缺陷態問題有很多方法，平面波展開法[9,19-20]、多重散射法[21]、時域有限差分法[22-24]等均可以有效處理二維光子晶體缺陷態問題。但是由于平面波展開法的收斂性較慢，超晶胞的尺寸通常被限制在一個較小的值，所以數值結果會受到影響。多重散射法和時域有限差分法在處理復雜介質形狀時會有一定的局限性。PG有限元界面問題計算方法(Petrov-Galerkin finite element interface method， PGFEIM)是一種算法簡單、拓展性強的界面問題求解方法，適用于各類帶有復雜界面的多物理場問題的計算。因此，將PGFEIM應用于求解帶有周期邊界條件的橢圓方程和彈性方程的界面問題以及2D聲子晶體問題的計算[25]，并將其拓展到向量有限元形式，解決了含各向異性夾雜物、壓電材料，以及納米壓電材料的聲子晶體問題[26]，計算了各向異性光子晶體的能帶結構[27]。本文將首次在PGFEIM的研究體系下引入超胞以解決缺陷態的光子晶體問題，包括多組元的缺陷態問題和各向異性光子晶體的缺陷態問題等。

1 問題描述

本文中，光在二維光子晶體中傳播的控制方程為時間諧波麥克斯韋方程組:

(1)

圖1 具有點缺陷的三組元光子晶體3×3超胞示意圖Fig.1 Three-component photonic crystal 3×3 supercell with point defects

(2)

本文假設μ=1，介電常數ε是周期性函數ε(x+a)=ε(x)并滿足

(3)

式中：εr，εi和εb代表每個組元的介電常數，a=i1a1+i2a2表示實空間中的晶格平移向量，(i1,i2)∈2，a1和a2是晶格的基向量。對于各向同性介質而言，ε是標量。對于各向異性介質而言，

為了方便表示，假設介質是橫向各向異性，ε13=ε23=ε31=ε32=0。

在二維光子晶體問題中，麥克斯韋方程(1)可以被解耦成橫磁波(TM模)和橫電波(TE模)。對于TM模，電場和磁場可以分別表示為：E=(0,0,Ez)和H=(Hx,Hy,0)。

然后麥克斯韋方程可以寫成：

(4)

(5)

(6)

將式(4)和(5)代入式(6)中，可以得到TM模的控制方程：

(7)

對于TE模, 電場和磁場分別為E=(Ex,Ey,0)和H=(0,0,Hz)。因此，麥克斯韋方程(1)可以表示為：

(8)

(9)

(10)

消去式(9)和式(10)中的Ex有：

(11)

同樣地，消去式(9)和式(10)中的Ey有：

(12)

將式(11)和式(12)代入式(8)，得到TE模的控制方程為：

(13)

重新整理式(7)和式(13)為：

ΔEz+κ2βEz=0

(14)

(15)

(16)

由于光子晶體具有周期性的幾何結構，根據Bloch定理，對于如圖2所示的超胞和第一布里淵區，其邊界條件可表示為：

圖2 周期性邊界條件與第一布里淵區Fig.2 Periodic boundary conditions and the first Brillouin zone

u(xΓ3)=ζu(xΓ1)T(xΓ3)=ζT(xΓ1)
u(xΓ4)=τu(xΓ2)T(xΓ4)=τT(xΓ2)

(17)

2 弱形式

為了有效處理 Bloch邊界條件，在進行弱形式推導前先定義測試函數空間：

(18)

(19)

式中αi和βi由區域Ωi上的材料決定。

由Bloch邊界條件(17)和測試函數(18)的定義可得：

(20)

綜合以上可得到弱形式：

(21)

3 數值方法

圖3 方形晶格的網格劃分Fig.3 Square lattice meshing

圖4 三種三角形形態Fig.4 Three triangle states

為了有效地處理Bloch邊界條件，需要在非貼體網格系統的基礎上創建非貼體投影網格。如圖5所示，將右、上邊界的單元格投影到左、下邊界，以對應的關聯點為中心組成積分單元。投影后，無邊界點和內點之分，極大地簡化了Bloch 邊界條件的處理過程，降低了計算的難度，減少了計算的時間。

圖5 方形晶格的投影網格Fig.5 Projection grid of square lattice

由于數值離散的需要，建立以下兩個離散空間：

H1,h={ψh=(ψ(xjl)):0≤j≤Js,0≤l≤Ls}

(22)

(23)

式中，ψ(xjl)代表ψ(x)在x=xjl處的值。同理，ψ(xv)是ψ(x)在x=xv處的值。

由以上定義可得以下定理：

定理對于所有的uh∈H1,h，給定Th和φl，Uh(uh)可以唯一確定。

證明：參見文獻[25]。

為簡便起見，定義

(24)

式中，αL和βL代表L所在區域的材料參數，可得PGFEIM的數值離散形式：

方法 確定κ2∈及uh∈H1,h，所以對于所有有：

(25)

所有系數可以組裝到矩陣中，于是有矩陣形式：

AU=κ2BU

(26)

式中:U為數值解，取值波矢向量k便可求出對應的κ。

4 數值算例與分析

本節將采用PGFEIM進行光子晶體缺陷態的數值計算與結果分析。通過研究不同組元體系、不同介質柱形狀以及不同缺陷位置的光子晶體，揭示影響能帶結構變化的因素。

4.1 二組元數值算例與分析

為了驗證算法的有效性，本文將與參考文獻[28]中的結果進行比較，同時通過變換不同的缺陷位置，觀察不同的缺陷態結構對能帶結構的影響。在二組元算例中考慮的是各向同性的介質，折射率n2=3.4，介質柱半徑r=0.3，背景材料的折射率n1=1，晶格常數α為1。填充率與文獻[28]中相同。

圖6展示的是無缺陷TM模與TE模的數值結果。TM模里有兩條很寬的禁帶，范圍分別是0.237 3～0.309 1及0.426 8～0.532 6，而TE模中并無禁帶產生。

圖6 完美超胞的能帶結構圖Fig.6 Band structure diagram of a perfect supercell

圖7展示的是點缺陷的數值結果。圖7(a)展示的是超胞的幾何結構，圖7(b)和圖7(c)分別展示了TM模和TE模的數值結果。在圖7(b)中，(1)為一個點缺陷所形成的能帶結構，原本的禁帶范圍內產生了一條缺陷帶。也就是說，通過引入一個缺陷破壞了晶體的周期性結構，使得在頻率0.474 4～0.477 1內產生允帶。(2)是使兩個相鄰的散射體消失，第一禁帶產生一條頻率范圍是0.294 6～0.300 6的缺陷帶，第二禁帶產生了兩條缺陷帶。(3)中第一禁帶的缺陷帶消失了，第二禁帶的兩條缺陷帶逐漸靠近。(4)中缺陷帶寬度為0.007 5和0.007 2，相較于(3)中的0.004 2和0.000 2明顯變寬。而對于TE模來說，引入點缺陷增加了一些比較窄的禁帶。

圖7 點缺陷與多個點缺陷耦合的能帶結構Fig.7 Band structures with point defects and coupling of multiple point defects

如圖8所示，(1)為通過移除最中間一列的散射體得到的線缺陷，TM模中可以明顯看出第二禁帶消失以及相應地第一禁帶也變窄，線缺陷使得在原本禁止頻率范圍內的光波可以繼續沿著該頻率段傳播，這也就是光波導。(2)是在完美線缺陷中耦合一個微腔，可以看到禁帶范圍變大，并且打開了幾條窄帶。(3)中進一步增加了點缺陷數量，不僅有一條完整線缺陷，還另外移除了8個散射體，所以其帶隙變化較大。(4)與(2)的不同之處在于點缺陷靠近線缺陷，產生了多條禁帶，這可能是點缺陷與線缺陷同時產生作用的結果。

圖8 線缺陷與點線耦合缺陷的能帶結構Fig.8 Band structure of line defects and point coupled with line defects

通過以上對比可以發現，引入點缺陷只是局限的使得某一小范圍內的波繼續傳播，產生一條缺陷帶，或者耦合多個點缺陷使得一些特定范圍內的波可以傳播；而線缺陷所產生的影響較大，可以使得整個禁帶消失。當線缺陷與點缺陷結合起來，波導結構中的側點缺陷可以有效地用于光子晶體的阻帶內誘導窄通帶或在波導的通帶內誘導非常窄的阻帶。

4.2 三組元數值算例與分析

本小節將使用 PGFEIM 算法計算光子晶體缺陷態問題下的三組元結構，同時引入不均勻介質，例如液晶 (liquid crystal， LC)和碲 (tellurium， Te)。一般 LC 有兩種折射率，正常折射率和異常折射率。介電張量的分量如下[27,29]：

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

圖9 LC的θc、φc和nc的定義Fig.9 Definition of θc, φc and nc for LC

下面考慮復雜介質形狀，并且觀察直線型、n型和v型缺陷的能帶結構差異。如圖10所示，介質形狀分別為：(1)三角形 Te 包裹圓形 LC 介質置于空氣中；(2)圓形 Te 包裹三角形LC介質置于空氣中；(3)四角星 Te 包裹圓形 LC 介質置于空氣中；(4)圓形 Te 包裹四角星 LC 介質置于空氣中。

圖10 三組元光子晶體的幾種復雜缺陷情形Fig.10 Several complex defect situations of three-component photonic crystal

在圖11中，直線型缺陷態 TM 模中基本都有兩條相對較寬的禁帶，(3)中第二禁帶較窄且高頻區域出現了一些窄帶，而 TE 模只有一些窄帶；v型缺陷態 TM 模中(3)出現了三條較寬的禁帶且 TE 模在四種形狀介質中均產生了多條禁帶。以(2)和(4)的結果來看，Ω3區域的介質形狀對結果影響比較有限。以(1)和(3)的結果來看，表面層越是不光滑第二禁帶越窄。縱向來看，n型缺陷態 TM 模中的高頻區域更容易產生禁帶，且對于TE 模來說n型與v型的缺陷態更容易產生禁帶。

圖11 三組元復雜缺陷態的能帶結構圖。(1)～(4)列分別與圖10中(1)～(4)的散射體形狀對應。由上至下1～3行分別對應圖10中(a)～(c)三種缺陷態Fig.11 Band structure of three-component photonic crystals with complex defect states. Columns (1)～(4) correspond to the scatterer shapes (1)～(4) in Fig. 10, respectively. Lines 1～3 from top to bottom correspond to defects (a)～(c) in Fig. 10, respectively

5 結 論

本文將單胞拓展為超胞，使用 PGFEIM 算法來計算二維光子晶體缺陷態問題?？紤]了 TM 模與 TE模，在二組元情況中考察了多種點缺陷與線缺陷結合的能帶結構，為光波調制及濾波器的制作等應用提供了更多方法與方向，對于三組元的研究更加拓展了光學器件制作的思路。由本文研究結果可以發現，PGFEIM 算法在研究多組元問題上十分有效，為進一步的光子晶體計算研究打下了基礎。