主動冷卻結構的拓撲優化設計及流動傳熱分析*

段治健 馬欣榮

（1.咸陽師范學院數學與統計學院 咸陽 712000）（2.西北工業大學機電學院 西安 710072）

1 引言

流體流動系統和傳熱裝置廣泛應用于電子設備、熱交換器網絡、汽車工業、發動機、發電機、航天飛機、潛艇、火箭和衛星設計中。尤其是發動機、電子芯片散熱設計中冷卻流道設計不當會導致零件嚴重過熱，從而限制使用性能和耐久性，甚至導致結構損壞。因此，為了獲得更好的性能和更低的成本，必須設計高效的冷卻系統。

拓撲優化設計為此提供了新穎思路，該方法最早由Bens?e 和Kikuchi［1］建立并成功應用于固體力學問題的結構優化。優點在于：允許在優化過程中改變結構拓撲；最終設計幾乎不依賴于初始設計。Gersborg-Hansen 等［2］首次將有限體積法應用于二維穩態熱傳導問題。Borvall 和Peterson［3］的工作開創了流體傳熱系統的拓撲優化設計研究。Yoon［4］首次在二維結構網格上，忽略流體區域內浮力和粘性耗散的影響，采用有限元方法研究了強迫對流溫度場的共軛拓撲優化問題，并發現對流-熱傳導之間的平衡對傳熱系統中散熱結構設計的影響較大。Sun等［5］提出了基于密度變量的三維熱流冷卻系統的大規模拓撲優化方法。Joo 等［6］為了研究自然對流中的形狀依賴效應，考慮傳熱系數在計算域內變化，提出了一種新的替代模型，采用弱耦合拓撲優化方法對自然對流散熱器進行了傳熱優化。Sato 等［7］以換熱最優和壓降最小為目標，提出了微通道熱沉的基于水平集方法的拓撲優化策略。裴元帥等［8］采用變密度方法設計了風冷熱沉結構。Haertel 和Nellis［9］將基于密度變量的拓撲優化方法應用于干冷式電廠冷凝器氣側表面的設計，建立了穩態熱流耦合充分發展的內流拓撲優化模型。Koga 等［10］首次開展了拓撲優化微通道熱沉的實驗研究，驗證了拓撲構型數值結果的正確性。文獻［11～12］進一步進行了實驗研究，驗證了數值結果的有效性。Kontoleontos 等［13］將拓撲優化方法推廣應用于S-A湍流模型對流傳熱問題。此外，針對不同流態、離散求解方法、伴隨格式以及優化求解方法得到了廣泛應用和研究［14～20］。

表1 對流傳熱拓撲優化方法對比

針對超燃沖壓發動機冷卻結構的簡化模型，本文提出了流固耦合傳熱結構的拓撲優化方法。采用有理近似方法處理材料屬性，結合移動漸近線方法，給出了約束條件下超燃沖壓發動機冷卻結構的最佳流道分布，為實際工程問題提供理論依據。

2 幾何模型及邊界條件

2.1 幾何模型

超燃沖壓發動機二維模型設計尺寸：長度為1m，寬度為1m，其中水力直徑L 為0.2m，如圖1（a）所示。設計域由流體與固體組成，給定設計區域材料初始密度為0.5。

圖1 超燃沖壓發動機二維幾何模型

2.2 邊界條件

控制方程為連續方程、動量方程以及能量方程，基于非結構網格，采用間斷Galerkin 有限元方法［21］離散求解偏微分方程組。為了簡化計算，僅采用半模進行計算，對稱邊界條件設置如圖1（b）所示，固體外表面采用絕熱無滑移邊界條件，材料設計區域施加恒定熱源。設計域的初始溫度為293.15 K，設計域中的流體與固體材料屬性值如表2所示。

表2 流體、固體材料屬性參數

3 拓撲優化方法

3.1 流動傳熱方程

忽略重力和浮升力的影響，基于Boussinesq 假設條件下的穩態不可壓Navier-Stokes方程為

式中：ρf為流體密度；μf為流體動力黏度；u為流體速度；p為壓力，f為源項。

3.2 材料屬性插值方法

優化結構的形狀由材料分布決定，因此多孔材料屬性采用有理近似插值方法（Rational Approximation of Material Properties，RAMP）［14］計算。構造材料的懲罰系數、熱導率、密度及比熱容為

其中：αsf為懲罰系數，ρsf為材料密度，ksf為材料熱傳導系數，Cpsf為材料比熱容，qγ=0.01。γ為設計變量，當γ=1 時，αsf=αs，代表固體區域；當γ=0時，αsf=αf，代表流體區域，因此拓撲優化問題轉化為0-1規劃問題。

3.3 靈敏度分析

流動傳熱耦合方程可以表達為殘差形式：

與直接微分法基本一致，但計算效率明顯提升。

3.4 拓撲優化模型

在設計區域中給定材料初始密度、體積約束，通過溫度場控制流體物性參數，進而由流場影響溫度場，實現雙向耦合，從而構建對流傳熱雙向耦合拓撲模型。

滿足：

其中：γk為材料分布值，Sv=0.4為材料體積約束上限占比，采用GCMMA求解拓撲優化問題［22］。

4 計算結果與分析

4.1 算法驗證

考慮流動問題［23］：3.5mm×5mm 的矩形設計區域，兩入口對應兩出口，進出口高度為1mm，長度為2mm，如圖2所示。

圖2 不同雷諾數Re的材料與速度流線分布

圖2（a）、（b）分別給出了Re 為20 與200 時，設計域最優材料與速度流線分布。低雷諾數下，為了減少功率損耗，流體通道應盡可能短且寬，因此在Re=20 時，形成了U 形通道；隨著雷諾數增加，當Re=200 時，彎曲區域流體的功耗隨之增加，當慣性占主導地位時，在彎道處存在較大的速度梯度，因此通道自然優化為兩條平直通道。計算結果與文獻［23］保持一致，驗證了本文算法的可靠性與準確性。

4.2 優化結果對比

圖3（a）顯示了設計域中的初始溫度分布；圖3（b）給出了拓撲優化后的溫度分布，其中流體占比為0.6。與超燃沖壓發動機主動冷卻系統的初始溫度場相比，優化后的冷卻結構溫度明顯降低，能量損失顯著改善，且溫度分布更加均勻，避免了高溫集中區的發生。初始流場的最高溫度與平均溫度分別為325.74 K、313.18 K，拓撲結構的最高溫度與平均溫度分別為293.88 K、293.29 K，拓撲結構最高溫度與平均溫度分別降低了9.8%和6.35%。因此，計算結果表明拓撲優化結構具有良好的散熱性能。

圖3 拓撲優化前后溫度分布

圖4 給出了拓撲優化結構流線與流道材料分布，（a）為速度流線分布，（b）為流道結構材料分布。通過在設計域內施加均勻熱源，實現超燃沖壓發動機的底部加熱效應。進出口壓差為2 Pa，拓撲優化形成的通道結構包括：從進出口延伸的寬較的主通道，主通道內流速較高，相鄰主通道之間形成多條細支通道，使冷卻通道覆蓋整個設計區域。

圖4 拓撲優化速度流線與材料分布

由于入口與出口的壓降固定，整個通道結構表現為主通道的寬度大于分支通道的寬度，減少了其他部分的流動損失，通道之間的寬度差較小，流速分布更均勻，在設計域內具有更好的冷卻效果。

圖5 給出了拓撲優化計算中不同迭代步數（n=0，10，50，100）的材料和速度流線分布。顯然，隨著迭代次數的增加，主通道中的速度逐漸增加，流線分支的數量逐漸增加。當迭代步數n＞50 后，主流通道速度變化微小。流道結構逐漸清晰，最終優化后的結構邊界輪廓清晰。拓撲優化結構明顯降低了設計域內的平均溫度，與工程實際情況相符。

圖5 不同迭代步的材料分布和流線分布

4.3 傳熱性能對比

圖6 拓撲優化模型收斂歷史

5 結語

本文提出了一種超燃沖壓發動機主動冷卻系統的拓撲優化方法，并采用非結構網格間斷有限元法對主動冷卻系統的流動與傳熱特性進行了數值研究，得出以下結論：

1）結合GCMMA 和RAMP 插值方法，實現了主動冷卻系統內部冷卻通道的拓撲優化結構設計。通過經典算例驗證了算法的可靠性，與初始設計域相比，拓撲結構溫度明顯降低，分布更加均勻。

2）隨著拓撲優化迭代次數的增加，拓撲結構呈現為主支和分支的混合結構且分支逐漸增多，流道邊界輪廓逐漸清晰。拓撲優化方法具有良好的收斂性，有效降低了設計區域的平均溫度，符合工程實際需求。