優化背景值的非等間距線性時變參數GM(1,1)冪模型在變形監測中的應用

王 炳 李培現 張 軍 郝登程 孫致明 周守寶

1 中國礦業大學(北京)地球科學與測繪工程學院，北京市學院路丁11號，100083 2 內蒙古農業大學理學院，呼和浩特市昭烏達路306號，010018 3 內蒙古農業大學計算機與信息工程學院，呼和浩特市鄂爾多斯東街29號，010011

煤炭資源開采引起的地表沉降在附加荷載的影響下會導致地表、建(構)筑物荷載、地基等發生不均勻沉降，為確保建筑物安全、反饋設計參數，需對其進行變形監測[1]。依據監測數據，用模型表達變形時序與變化量之間的不確定性關系，對于施工質量監測和運行安全保障具有重要意義。鄧聚龍[2]提出的灰色系統理論被廣泛應用于變形監測領域。

建筑物形變量一般會隨時間發生非線性變化，將GM(1,1)模型中的灰作用量替換為冪指數形式，能夠在樣本數量較少的情況下靈活反映數據序列之間的非線性關系[3]。為提高冪模型的精度，相關學者從不同角度對其進行優化改進，常用的改進方法有：優化初始條件[4]、改進模型背景值構造方式[5]、優化參數估計方法[6]、構建無偏模型[7]等。但隨著時間的推移，系統結構也在不斷變化，若使用恒定參數會使模型擬合結果與預測結果之間的誤差變大。王正新[8]在灰作用量中引入系統延遲時間和時間作用參數，構建適合分析小樣本振蕩序列的非線性優化模型，削弱了原始序列隨機波動對建模的影響。但上述模型是基于等間隔的原始觀測序列，而在實際變形監測中很難實現連續等間距觀測。近年來，有學者建立非等間距GM(1,1)冪模型[9]，但未考慮到背景值等權構造的缺陷，導致優化模型對變形監測原始數據的擬合和預測精度不夠理想。此外，現有的非等間距GM(1,1)冪模型的研究忽略了參數隨時間的動態變化特性，使得系統內部的相關變量無法隨觀測序列的變動而更新。

本文提出一種優化背景值的非等間距線性時變參數GM(1,1)冪模型。根據GM(1,1)冪模型的白化微分方程推導模型的時間響應序列，基于積分原理建立灰色微分方程，求解模型的線性參數，并使用粒子群算法優化選取非線性參數，避免出現參數選取時目標函數適應度局部最優的問題，從而有效提高模型的擬合與預測精度。

1 線性時變參數非等間距GM(1,1)冪模型

對同一序列而言，發展系數a保持不變，灰作用量b會隨時間發生變化[10]。在非等間距GM(1,1)冪模型中，若灰作用量保持不變，則估計誤差會持續增大。由文獻[11]可知，將b*=eμtb通過級數展開為(1+μt)b，用關于時間t的線性函數(μbt+b)代替原灰作用量b，能夠改進非線性系統內部小樣本數據序列建模精度不足的問題。由于μ為常數，為方便表示，下文用(bt+c)代替b建立線性時變參數非等間距GM(1,1)冪模型。

定義1[12]設原始非負光滑序列為X(0)={x(0)(t1),x(0)(t2),…,x(0)(tn)}，時序間距Δti=ti-ti-1≠const,i=2,3,…,n，Δt1=1,稱

(1)

為線性時變參數非等間距GM(1,1)冪模型的白化微分方程。

定理1 線性時變參數非等間距GM(1,1)冪模型的時間響應序列為：

(2)

證明 根據伯努利微分方程求解法則，式(1)兩端同時除以[x(0)(t)]γ得：

(3)

(4)

式中，C1為任意常數，由建模初始條件決定。

線性時變參數非等間距GM(1,1)冪模型的時間響應函數可表示為：

(5)

時間響應序列為：

(6)

式中，t=tk,k=2,3,…,n，定理1得證。

C1=

(7)

對于原始數據本身呈近似冪次增長的光滑序列，利用上述模型的時間響應序列即可求得模型擬合值。相比于傳統GM(1,1)冪模型，上述模型無需進行差分還原處理，可簡化建模過程。

2 線性時變參數非等間距GM(1,1)冪模型背景值優化

2.1 模型最優背景值構建

改進后的背景值表達式為：

z(1)(tk)=λx(1)(tk-1)+(1-λ)x(1)(tk)

(8)

式中，λ∈[0,1],k=2,3,…,n。

2.2 優化背景值的時變參數非等間距GM(1,1)冪模型參數估計

定義2 設非負原始光滑序列為：X(0)={x(0)(t1),x(0)(t2),…,x(0)(tn)}，間距Δti=ti-ti-1≠const，Δt1=1；X(0)的(1-γ)次冪生成序列為y(0)(tk)=[x(0)(tk)]1-γ，y(0)(t1)=0，Y(0)的一階累減生成序列為Y(-1)={y(-1)(t2),y(-1)(t3),…,y(-1)(tn)}，其中y(-1)(tk)=y(0)(tk)-y(0)(tk-1)/Δtk；Z(0)={z(0)(t2),z(0)(t3),…,z(0)(tn)}為Y(0)的緊鄰均值序列，z(0)(ti)=λx(0)(tk-1)+(1-λ)x(0)(tk)，其中，λ∈[0,1],k=2,3,…,n。

定理2 線性時變參數非等間距GM(1,1)冪模型的灰微分方程為：

y(-1)(tk)Δtk+a(1-γ)z(0)(ti)Δtk=

(9)

證明 式(1)兩邊同時乘以(1-γ)[x(0)]-γ得：

[x(0)(t)]1-γ=(bt+c)(1-γ)

(10)

令y(0)(t)=[x(0)]1-γ，則式(10)可簡化為：

(11)

式(11)兩邊在區間[tk-1,tk]上積分得：

y(-1)(tk)Δtk+a(1-γ)z(0)(ti)Δtk=

(12)

即定理2得證。

確定冪指數γ與背景值權重λ后，同樣采用最小二乘法估計灰微分方程參數，即

[abc]T=(BTB)-1BTY

(13)

式中，

(14)

2.3 粒子群算法優化冪指數和背景值權重

粒子群優化算法(particle swarm optimization，PSO)是一種全局優化算法。首先在搜索空間域內初始化一群隨機粒子，然后經過不斷迭代、調整得到最優解。PSO具有設置參數少、精度高、收斂速度快等優點，被廣泛應用于函數優化、計算機大數據和神經網絡等眾多領域[13]。最優解的選擇方式有目標函數小于給定限差和設定迭代次數2種，給定限差可能會導致粒子陷入局部最優，設定迭代次數可保證每個初始種群粒子調整位置與速度，再通過迭代次數與適應度的收斂關系調整迭代次數，確保粒子達到全局最優。因此，采用設定迭代次數的方式來選取優化背景值的線性時變參數非等間距GM(1,1)冪模型的最優冪指數γ與背景值權重λ。

目標函數為最小平均絕對百分比誤差(MAPE)，即

γ∈[-3,3],λ∈[0,1]

(15)

首先根據PSO的常規參數設定方法設置實驗運行參數；然后通過沉降觀測序列適應度收斂趨勢調整群體規模與迭代次數，加快計算速度；最后確定本文PSO的初始化參數。具體運行參數初始化設置如下：學習因子c1=2,c2=2；初始速度Vmin=-1,Vmax=1；動態慣性權重因子ω=0.8；粒子搜索域γ∈[-3,3],λ∈[0,1]；群體規模size=100；進化迭代次數k=1 500；加權速度系數α1,α2∈[0,1]。

模型非線性參數求解步驟如下：

2)根據目標函數計算初始化粒子群各粒子的適應度fitness，尋找初始搜索域內參數γ與λ的個體最佳位置Pbest1、Pbest2和全局最佳位置Gbest1、Gbest2。

(16)

4)若某粒子個體位置適應度優于Pbest1、Pbest2，則設置新位置為Pbest1、Pbest2；若粒子全局位置適應度優于Gbest1、Gbest2，則設置新位置為Gbest1、Gbest2。

5)輸出運行結果Gbest1為冪指數γ的最優解；參數Gbest2為背景值權重λ的最優解。此時優化背景值的線性時變非等間距GM(1,1)冪模型的MAPE最小。

2.4 模型精度驗證

(17)

相對誤差序列為：

(18)

MAPE為：

(19)

3 工程應用及結果驗證

為證明優化背景值的非等間距線性時變參數GM(1,1)冪模型的適用性與優越性，利用2組礦區變形監測數據，分別建立非等間距冪指數優化模型[3](模型1)、初始值加權平均的非等間距GM(1,1)冪模型[14](模型2)、線性時變參數GM(1,1)冪模型[15](模型3)與本文模型進行對比分析。

3.1 寧東礦區GNSS沉降監測工程

以寧東礦區GNSS持續沉降監測數據為例，首先選取金鳳20025監測站點前7期累積沉降量作為建模數據，然后利用第8期、第9期數據對模型進行預測結果驗證，最后比較本文模型與其他3種冪模型的擬合精度和預測精度(表1)。借助MATLAB軟件得到模型參數：a=0.157 981、b=0.028 582、c=4.300 362、γ=-0.067 794、λ=0.777 521，非線性參數與MAPE的關系如圖1所示。對應的優化背景值的線性時變非等間距GM(1,1)冪模型時間響應關系式為：

(20)

表1 4種模型預測精度對比

寧東礦區GNSS沉降監測工程計算結果表明，模型1、模型2和模型3擬合數值的MAPE分別為3.31%、8.62%、4.18%；預測數值的MAPE分別為9.97%、4.70%、3.75%。優化背景值的非等間距線性時變參數GM(1,1)冪模型擬合與預測的MAPE分別為2.33%、2.10%，相比于上述3種優化模型，本文模型的精度更高，擬合值和預測值與原始觀測序列更加吻合。

圖1可反映PSO的尋優過程，由圖可見，在該沉降監測工程中，隨著冪指數γ在搜索區間內逐漸靠近0，背景值權重λ在搜索區間內不斷接近0.7，MAPE持續減小。當冪指數為-0.067 794、背景值權重為0.777 521時，MAPE取得最小值2.33%。

圖1 MAPE與非線性參數的關系

3.2 梁家礦鐵路巖移沉降監測工程

以梁家礦4112回采工作面鐵路巖移沉降數據為例，利用前8期原始沉降數據構建模型，后2期數據進行模型預測。4種模型的擬合值和預測值精度比較見表2。本文模型參數分別為：a=0.327 970、b=0.006 893、c=1.681 693、γ=0.465 813、λ=0.792 941，非線性參數優化選取與MAPE的關系如圖2所示。對應的優化背景值的線性時變非等間距GM(1,1)冪模型時間響應關系式為：

(21)

由表2可見，在梁家礦鐵路巖移沉降監測工程中，優化背景值的非等間距線性時變參數GM(1,1)冪模型擬合值與預測值的MAPE分別為4.70%和6.38%，擬合值精度較模型3提高6.37%，預測值精度提高2.63%，進一步體現出本文模型在沉降監測工程建模與分析中的優越性。

由圖2可知，在搜索閾γ∈[-3,3],λ∈[0,1]內，背景值權重λ的收斂速度較冪指數γ更快，當γ=0.465 813、λ=0.792 941時，MAPE取到最小值4.70%。

表2 4種模型預測結果比較

圖2 MAPE與非線性參數關系

4 結 語

1)針對沉降監測小樣本非等間距原始數據序列建模問題，構建優化背景值的非等間距線性時變參數GM(1,1)冪模型?；诹Ｗ尤核惴?，以最小MAPE為目標函數對非線性參數進行優化選取，可有效避免局部極小值陷阱，增強非線性參數選取的可靠性。

2)以2組煤礦開采變形監測數據為例，對4種模型分別進行擬合與預測。計算結果表明，優化背景值的非等間距線性時變參數GM(1,1)冪模型在寧東礦區開采沉陷GNSS監測工程和梁家礦鐵路巖移沉降監測工程的MAPE分別為2.33%、4.70%，預測誤差分別為2.10%、6.38%，均優于其他3種常用的非等間距GM(1,1)優化模型。

3)相比于傳統方法，優化背景值的非等間距線性時變參數GM(1,1)冪模型可提升變形監測數據的擬合與預測精度，適用于短期沉降監測數據的預測分析，可拓寬GM(1,1)冪模型在沉降監測數據處理中的應用范圍。