非回轉對稱次波前退化下的干涉相干成像像差

呂思達，李明茁，胡海翔，薛棟林，張學軍

（1. 中國科學院 長春光學精密機械與物理研究所中國科學院光學系統先進制造技術重點實驗室，吉林 長春 130033；2. 中國科學院大學，北京 100049）

1 引 言

近年來，隨著大口徑光學元件需求的不斷增大，大口徑光學元件精度指標的要求越來越高，傳統的加工與檢測手段難以應對復雜的大口徑自由曲面。干涉檢測具有精度高、非接觸測量等優點，廣泛應用于大口徑反射鏡的檢測，在實際的工程中具有重要的應用價值［1-2］。

按照補償器的類型，干涉補償檢測可分為折射式、反射式和衍射式補償法。其原理都是利用補償元件對相位進行定量補償，在提高檢測精度［3-5］的同時，又可以對各種復雜面形進行高精度檢測。例如，非回轉對稱表面進行干涉補償檢測時，需要設計出對應的計算機生成全息圖（Computer Generated Hologram，CGH），入射波前經過CGH 補償后，得到非回轉對稱波前，實現了對非回轉對稱表面的高精度零位補償檢測。然而，CGH 在補償波前相位的同時，卻引入了干涉相干成像像差，檢測結果會受到影響，這種像差并不是由于制造精度產生的，而是因為補償器存在衍射效應。尤其在大口徑長焦距的光學元件檢測中，成像像差與面形誤差相互耦合，不能準確反饋原有的面形信息。而這種問題在小口徑反射鏡中影響較小，一般情況下其像差的影響域會通過焦深與景深來補償。隨著被檢光學元件口徑的增長，其檢測光路越來越長。衍射效應帶來的誤差已經無法通過檢測系統的景深與焦深來彌補，檢測精度下降，嚴重影響整個檢測系統中儀器的傳遞函數。傳統干涉檢驗的誤差分析僅考慮干涉和外界條件的情況［6-8］，往往忽略了衍射效應帶來的成像像差，所以這種誤差的影響還未有較為完善的理論分析。

研究發現［9-10］，干涉檢測中衍射效應產生的誤差主要表現為波前退化產生的像差，其主要表現為引入補償器的同時，引入了成像像差，使得最終檢測結果中所呈現的干涉條紋圖案出現定位誤差、相位模糊和振蕩。Zhao 等利用Talbot 效應在一維情況下解釋了成像像差產生振蕩的原因，但這種方法只能進行定性分析，無法進行定量分析［9-11］。

本文從標量衍射理論出發，建立了非回轉對稱的次波前傳播理論，并結合點源微擾的思想，基于微分幾何原理建立了干涉相干成像像差模型［12］，定量分析干涉相干成像像差對于檢測結果的影響，為提高檢測精度提供了新的思路。

2 非回轉對稱的次波前傳播理論

2.1 次波前退化的理論推導

次波前退化引起的干涉成像像差會使得檢測結果出現偏差。圖1所示為一個2 m 口徑非球面的干涉補償檢測結果，其中像差具體表現為當對一個方向上對焦時，其他方向上呈現模糊的狀態，即無法找到一個成像位置能獲得全口徑的理想成像。

圖1 干涉相干成像像差對檢測結果的影響Fig.1 Effect of interferometric coherence imaging aberration on detection results

由菲涅爾-惠更斯理論可知，波前傳遞可以理解為波前上的每一點都為一個小的點光源發散出球面波，此后的波前可以看作這些點光源發出球面波的“包絡“形成的。因此，每個波前可以看作是次波前上每一點干涉疊加的結果。由標量衍射的角譜理論可知，在自由空間傳播的傳遞函數如下：［13］

式（1）是標量衍射理論中描述球面波的波前傳遞情況。當引入CGH 補償器之后，球面波雖然相位信息得到了補償，但卻引入了成像像差。這個像差主要表現為沿著CGH 表面的徑向與軸向產生了場曲，使得通過CGH 的光束在成像空間上匯聚在了子午與弧矢兩個焦點上。所以，針對非球面波傳播上述的傳遞函數并不能描述其波前的傳播情況，為了定量分析其波前傳播情況，采用點源微擾的思想進行分析。由于常見的非球面分布都滿足二階連續可微的曲面，取其傳播波前上的微元點進行分析，基于微分幾何的原理，波前上任意一點的曲率可以看作兩個正交曲率方向的矢量組合而成。而不同的曲率會導致其在光軸上的成像位置不同，這就不同于幾何光學的假設前提，這里認為光線不僅僅只是一條理想的線，而是由一個點光源產生的一個很小角度錐體的光束。那么子午與弧矢兩個方向的曲率在兩方向上的光焦度不同，那么波前在成像面的光軸上出現兩個焦點，即子午與弧矢方向的焦點，利用兩焦點與像面位置之差（子午與弧矢方向上的離焦量）來構建其傳遞函數表達式，進而可以定量分析次波前的退化過程，如圖2 所示。

圖2 非回轉對稱的離焦模型Fig.2 Out-of-focus model with non-rotation symmetry

基于標量衍射理論，對球面波傳遞函數的角譜表達式進行菲涅爾近似處理后，得到：

其中zt0，zs0為子午與弧矢焦點所在的位置。利用Mathematica 對式（3）進行傅里葉逆變換，得到傳遞函數的空域表達式：

將z-zt0，z-zs0設為子午與弧矢的離焦量zt，zs。引入子午與弧矢方向的離焦量后非回轉對稱的傳遞函數表達式如下：

其中：zs為弧矢方向的離焦量，zt為子午方向的離焦量。

2.2 仿 真

利用Matlab 對非回轉對稱的傳遞函數進行仿真分析，物平面尺寸設置為4 mm×4 mm，設置一個階躍面作為參考。其中，發光平面尺寸為2 mm×2 mm，其余部分為暗面，從而獲得一個理想階躍的情況，其物平面模型如圖3 所示。

圖3 物平面仿真模型Fig.3 Object plane simulation model

為了方便觀察其仿真現象，取子午與弧矢的離焦量為30 mm 時，觀察分布在子午焦點、弧矢焦點和干涉儀焦點處其相位與振幅的變化情況。如圖4 所示，通過對比發現，在對子午（弧矢）對焦的情況下，會出現一邊銳利一邊模糊的情況；而當介于兩焦點之間時，會發現其子午和弧矢方向上都出現了振蕩，其仿真結果與預期結果一致。這個理論模型為干涉檢測成像像差模型的數值化以及定量分析提供了理論支持。

圖4 次波前退化引起的成像像差對比Fig.4 Comparison of imaging aberrations caused by wavefront degradation

3 仿真模型建立

3.1 干涉相干成像像差模型的建立

基于非回轉對稱的次波前退化理論，得到了非球面波前的傳遞函數。整個波前退化的過程可以理解為攜帶真實面形信息的波前在經過傳播過程中與干涉相干成像像差發生耦合，進而得到了退化后的波前，如圖5 所示。類比點擴散函數（Point Spread Function，PSF）產生圖像濾波效應的過程，將整個過程抽象為一個波前與調頻函數的卷積過程，那么調頻函數就是卷積核［14］。

圖5 干涉相干成像像差模型Fig.5 Schematic diagram of interferometric coherent imaging aberration model

數學模型的建立從調頻函數（卷積核）入手。首先，考慮到采樣理想情況下的狄拉克采樣形式，獲得其調頻函數的分布如圖6 所示。觀察其結果發現，仿真后所得到的調頻函數的相位在邊緣處的振蕩十分劇烈，這就會導致最終像平面內存在過多的無效高頻信息，而由于狄拉克采樣，其振幅為常數，無法通過振幅的分布來截取其無效的高頻部分，與實際情況不相符。

圖6 狄拉克采樣下卷積核相位與振幅的分布Fig.6 Distribution of phase and amplitude of convolution kernel for Dirac sampling

3.2 調頻函數的數值化

為了抑制相位振蕩的影響，采用改變卷積核的采樣方式。由于高斯函數可以看作狄拉克函數的展寬，在保留其有效信息的同時，可以使其卷積核的振幅收斂，從而更好地解決其相位振蕩的問題。所以，利用高斯采樣的形式對卷積核進行數值化處理，如下：

為了提高計算的精確度，在考慮卷積核采樣的同時，利用離散形式的高斯積分采樣來代替原有的調頻函數的表達式，即利用區域積分形式代替離散點采樣形式，從而在保證計算精度的同時保證了計算速度。在新卷積核表達式的推導過程中，用誤差函數代替積分取值的結果，進而在減小運算時間的同時保證計算精度。推導后得到其卷積核的最終表達式：

其中：zs為弧矢方向離焦量，zt為子午方向離焦量，a為采樣尺寸的半寬度，σ為高斯采樣的采樣常數，（x0，y0）為卷積核采樣點的坐標值。

3.3 仿真驗證

在得到數值化的卷積核后，選取合適的數值進行仿真驗證。取其離焦量為zs=-0.1 mm，zt=0.1 mm，σ=0.01，得到其卷積核的相位與振幅的分布如圖7 所示。通過觀察發現，雖然其相位的振蕩很劇烈，但其振幅是收斂的，這也為卷積核尺寸的截取提供了依據。

圖7 高斯采樣的卷積核相位與振幅的分布Fig.7 Distribution of phase and amplitude of convolution kernel for Gaussian sampling

由于卷積核的振幅是收斂的，取一維下的卷積核振幅的分布，所以可以利用振幅來截取卷積核的尺寸。卷積核截取前后像平面的振幅與相位的分布如圖8 所示（由于是兩個方向正交，僅展示x方向上的相位與振幅的對比情況）。對比發現，改變采樣方式，從而借助收斂的振幅所截取的卷積核所得到的像平面分布可以有效地抑制無效的高頻信息，從而模擬出實際干涉成像中所呈現的真實情況。而離散形式的高斯積分采樣結果的分布形式如圖9 所示。與預期的結果一致，但運算速度提升了很多，為了保證算法的高效性，最終選用離散形式的高斯積分采樣作為模型的調頻函數的數值化方法。

圖8 卷積核截取后的高斯采樣的結果與卷積核未截取的對比結果Fig.8 Results of Gaussian sampling after convolutional kernel interception compared with convolutional kernel without interception

圖9 積分高斯采樣的相位分布與高斯卷積核結果的對比Fig.9 Phase distribution of integrated Gaussian sampling versus Gaussian convolution kernel results

3.4 干涉相干成像像差模型分析

首先對卷積核表達式進行分析，為了更好地分析卷積核的相位分布關系，對e 指數進行有理化，整理后觀察其表達式分布，如下：

將式（9）中的前項分母設為-2p2后，將e 指數整理為：

其中：p為新的高斯函數的半寬，同時p也具有一定的物理意義。當z=0 時，p與σ相等。當離焦量增加時，p的寬度也隨之展寬，也就說明影響的范圍變大，即隨著離焦量的增加，影響區域也越來越大。

在確定了卷積核矩陣的表達式與采樣方式后，對結果進行進一步分析。由于子午與弧矢方向呈正交分布，彼此互不影響。取一維方向進行分析，利用小像差近似獲得退化前的理想波前表達式如下：

傳播后退化波前的分布表達式如下：

與理想情況下的對比發現，當σ=0 時，高斯采樣轉換為狄拉克采樣形式，退化后的像面分布與理論推導的像面分布一致，故在原理上證明了高斯采樣模型的正確性。

4 實 驗

為了更好地驗證干涉相干成像像差模型的正確性，設計一個柱面鏡的檢測實驗光路，取一個柱面鏡，并在其前方放置柱面鏡對應的CGH 用于產生一個柱面波形，其中CGH 的直徑為80 mm，主區域半徑為70 mm，厚度為7 mm，其特征尺寸為15.2 μm，焦距為420 mm。在靠經柱面鏡處放置一個十字光闌（用于觀察其子午與弧矢方向的分布）。其工作原理與實際光路如圖10 所示。

圖10 實際光路與實驗原理Fig.10 Actual optical path and experimental schematic

通過幾何光學的光線追跡，算得子午與弧矢方向相對于干涉儀焦面的離焦量分別為zt=5 mm，zs=-1.4 mm，調節干涉儀的焦距，來模擬兩個方向不同對焦的情況，基于干涉相干成像像差模型的仿真結果如圖11所示。

圖11 弧矢方向與子午方向的仿真結果Fig.11 Simulation results of sagittal and meridian directions

對不同位置進行檢測，實驗結果如圖12 所示，并進一步分析得到它在子午與弧矢方向上的分布情況。

圖12 子午與弧矢方向上的實驗結果Fig.12 Experimental results in directions of meridian and sagittal

將實驗結果與仿真結果進行對比，由于背景噪聲等原因，獲得的面形有一定的差異，選取實驗結果的一部分作為驗證結果。如圖13 所示，實測結果與模型的殘差分布，其殘差結果均小于0.05waves。通過計算模型結果與實測結果的均方誤差可得，其MSE 為0.001 1waves2，通過計算其對稱平均絕對百分比誤差（SMAPE）的值為8.26%，平均相對誤差（MRE）為3.35%，由此說明該模型可以預測像差的影響情況。

圖13 實測數據與模型對比及其殘差分布Fig.13 Comparison of measured data with proposed model and its residual distribution

對比基于Talbot 效應與菲涅爾衍射積分分析方法得到的理論結果［7］（圖14），通過計算求得理論值與實際檢測值之間的對稱平均絕對百分比誤差（SMAPE）為10.23%，平均相對誤差（MRE）為15.2%。顯然，本文提出的模型的契合度更高，由此也驗證了模型的正確性與準確性。模型的建立也從理論上分析出干涉相干成像像差的形成原因。那么對應干涉相干成像像差的解耦只需要對上述模型進行逆運算即可反解出真實的面形信息，也為干涉相干成像像差的解耦提供了新的思路。

圖14 不同方法的結果對比Fig.14 Comparison of experimental results between different methods

5 結 論

本文對干涉補償檢測中干涉相干成像的像差進行了建模與仿真，提出了非回轉對稱波前傳播理論，闡述了非回轉對稱波前的演化機理。結合細光束追跡與波前演化的混合分析方法，采用高斯積分采樣的形式建立了干涉相干成像像差模型，從而獲得子午與弧矢方向上離焦量與退化后波前分布的函數關系。實驗結果表明，實測結果與模型的殘差均小于0.05 waves，模型的均方誤差（MSE）為0.001 1 waves2，對稱平均絕對百分比誤差（SMAPE）為8.26%，平均相對誤差（MRE）為3.35%，模型的擬合結果明顯優于亞利桑那大學提出的理論結果，由此驗證了模型的準確性。本文提出的干涉相干成像像差模型不僅可以建立精確的干涉補償檢測結果的預測模型，也可以用于像差解耦，有助于提高高頻處儀器的傳遞函數。