中國城鎮(zhèn)化水平增長曲線分段擬合與預測*

□劉書成 程開明 吳湞凱 柴燚

城鎮(zhèn)化是當今世界最重要的社會經(jīng)濟現(xiàn)象之一，是推動經(jīng)濟發(fā)展和國家現(xiàn)代化的重要動力，也是社會進步的必然趨勢。然而，城鎮(zhèn)化水平與經(jīng)濟發(fā)展的不匹配性也帶來一系列問題，諸如土地過度開發(fā)、城鄉(xiāng)差距擴大等。中國大力推進以人為核心的新型城鎮(zhèn)化發(fā)展戰(zhàn)略，目的是實現(xiàn)城鎮(zhèn)化進程由“量”的增加到“質”的提升轉變。

2020年中國城鎮(zhèn)化水平達63.89%，已邁入城鎮(zhèn)化快速發(fā)展中后期，呈現(xiàn)出“多期”疊加的新特征。未來一段時期，中國城鎮(zhèn)化發(fā)展態(tài)勢如何？這一問題涉及到采用什么樣的推進與調控策略，以進一步釋放城鎮(zhèn)化對經(jīng)濟社會發(fā)展的帶動效應。因此，運用科學方法對中國城鎮(zhèn)化水平做出合理預測，能夠明晰中國城鎮(zhèn)化發(fā)展態(tài)勢，為后續(xù)戰(zhàn)略措施和政策制定提供依據(jù)，促進城鎮(zhèn)化與經(jīng)濟協(xié)調高質量發(fā)展。

目前，國內(nèi)外學者針對城鎮(zhèn)化水平增長曲線的擬合方法較多，其中常用的方法主要包括Logistic 增長模型、時間序列分析模型、城鎮(zhèn)化水平與經(jīng)濟變量的回歸模型，也有部分學者采用灰色預測模型、神經(jīng)網(wǎng)絡模型等（蘭海強等，2014）。然而，這些方法在實際應用中均存在一定的不足之處，譬如中國城鎮(zhèn)化水平并不滿足“S”型曲線特征、時間序列模型的選擇存在主觀性和不易解釋性、回歸模型容易遺漏變量、灰色預測模型的短期性以及神經(jīng)網(wǎng)絡模型的“黑箱”性質等。為彌補這些不足，本文嘗試引入一種新方法——自動分段曲線擬合，為預測城鎮(zhèn)化水平提供新思路，并開展改革開放以來中國城鎮(zhèn)化水平的實際擬合及效果檢驗，對2021-2025年的城鎮(zhèn)化水平做出預測。

｜現(xiàn)有的城鎮(zhèn)化水平擬合方法

（一）Logistic 增長模型

諾瑟姆（Northam,1975）將不同國家和地區(qū)人口城市化進程的共同規(guī)律概括為一條被拉平的S 型曲線，并把城市化進程分為初期、中期和成熟期三個階段。Karmeshu(1992) 通過梳理20 世紀50年代以來發(fā)達國家的城市化發(fā)展進程也發(fā)現(xiàn)，隨著經(jīng)濟不斷發(fā)展，城市化水平的增長曲線大致表現(xiàn)為一條拉伸的“S”型曲線，這一曲線特征可用Logistic 增長模型進行擬合。通常，有兩種方式推導出城鎮(zhèn)化水平增長的“S”型曲線：一是城鄉(xiāng)人口增長率差值法；二是城鎮(zhèn)化率變化時間路徑法。

1.城鄉(xiāng)人口增長率差值法。設U0、R0分別為基期(t=0) 城鎮(zhèn)人口和農(nóng)村人口，u、r 分別為t 期城市人口和農(nóng)村人口的指數(shù)增長率，那么t 期城市人口Ut 和農(nóng)村人口Rt可表示為：

由式（1）可推算出t 期的城鎮(zhèn)化率yt為：

2.城市化率變化時間路徑法。已知t 期城鎮(zhèn)人口增長率ut和農(nóng)村人口增長率rt分別為：

那么，城鄉(xiāng)人口增長率之差dt為：dt=ut-rt，城鎮(zhèn)化率速度為：

若dt=b 是常數(shù)，由式（2）和式（4）可得：

其中，yt表示城鎮(zhèn)化率；a 為積分常數(shù)，反映城鎮(zhèn)化開始時間的早晚；b 為斜率，反映城鎮(zhèn)化發(fā)展速度的快慢。一般而言，將式（5）稱作城鎮(zhèn)化水平的“S”(Logistic) 型增長曲線，城鎮(zhèn)化率飽和值為100%。

王遠飛和張超（1997）探討了以Logistic 模型擬合城鎮(zhèn)化水平的合理性，指出城鎮(zhèn)化率的飽和值可以不為100% (80%以上)。宋麗敏（2007）采用Logistic 增長模型預測2030年中國城鎮(zhèn)化率將達到60%，實踐證明這一結果明顯偏低。簡新華和黃錕（2010）對Logistic 模型作對數(shù)變換后擬合中國城鎮(zhèn)化率，結果顯示模型擬合誤差呈逐步擴大的趨勢，存在顯著系統(tǒng)性差異。曹飛（2012）基于突變結構理論對中國城鎮(zhèn)化水平進行Logistic 模擬，指出1995年為結構突變點，表明城鎮(zhèn)化發(fā)展受到某些外部因素的影響。

結合以上學者的研究可以發(fā)現(xiàn)，雖然Logistic 增長模型在城鎮(zhèn)化水平增長曲線擬合方面具有一定適用性，但這一模型不太適用于中國，原因在于：“S”型增長曲線是基于美國等發(fā)達國家城鎮(zhèn)化進程而得到的，中國城鎮(zhèn)化水平顯然并不滿足“S”型曲線的典型特征，實際應用中需對模型結構做出調整。將Logistic 增長模型運用于中國城鎮(zhèn)化進程擬合及預測時，需要格外關注三個方面的問題：（1）中國城鄉(xiāng)人口增長率之差不為常數(shù)。經(jīng)典“S”型增長曲線假設城鄉(xiāng)人口增長率之差保持不變，但人口普查數(shù)據(jù)顯示中國城鄉(xiāng)人口增長率處于不斷波動之中。（2）城鎮(zhèn)化率的飽和值難以確定。經(jīng)典“S”型增長曲線假設城鎮(zhèn)化率飽和值為100%，但結合世界城鎮(zhèn)化進程和中國經(jīng)濟社會發(fā)展情況，飽和值取100%顯然是不切實際的。此外，這一飽和值是基于城鄉(xiāng)人口增長率之差為常數(shù)這一條件推出的，若城鄉(xiāng)人口增長率之差不為常數(shù)，則城鎮(zhèn)化率飽和值不可能為100%。（3）中國城鎮(zhèn)化發(fā)展進程并不符合Logistic 增長模型特征。自1949年新中國成立以來，城鎮(zhèn)化水平增長曲線呈現(xiàn)“快—慢—快”的特征，這與Logistic 增長模型“慢—快—慢”的曲線特征有較大差異。

（二）時間序列分析模型

城鎮(zhèn)化作為一種重要的社會經(jīng)濟現(xiàn)象，其發(fā)展是一個動態(tài)過程，兼具一定的運行規(guī)律。作為一種動態(tài)擬合方法，時間序列分析模型以年份為自變量，以城鎮(zhèn)化水平為因變量，根據(jù)城鎮(zhèn)化水平的變動特征構建合適的時間序列模型，以對城鎮(zhèn)化水平進行擬合與預測。

時間序列模型的種類繁多，需要學者根據(jù)時間趨勢圖、自相關和偏自相關系數(shù)等信息來選取適合的模型。常見的時間序列模型有AR(p)、MR (q) 和ARMA (p,q) 等，模型具體結構分別為：

其中，yt為城鎮(zhèn)化率，{εt} 為白噪聲。

李林杰和金劍（2005）對1949-2004年城鎮(zhèn)化水平數(shù)據(jù)作一階差分后建立AR（1）和ARMA（1,2）模型擬合，比較發(fā)現(xiàn)AR（1）模型的擬合精度較高，預測2010年城鎮(zhèn)化率為44.67%，事實證明這一預測值是偏低的。張松林和熊紅軼（2009）對1949-2007年中國城鎮(zhèn)化率進行時間序列分析，認為城鎮(zhèn)化水平提高主要受滯后一期和滯后五期的隨機誤差影響，預測2010年城鎮(zhèn)化率為46.59%。丁剛（2010）采用PDL 和ARMA 模型的組合方法，構建基于時間序列分析的混合有限PDL 模型，預測2010年中國城鎮(zhèn)化率為51.41%，這一預測結果偏高。

時間序列分析作為一種動態(tài)分析方法，能夠對城鎮(zhèn)化水平進行擬合與預測，通常模型預測精度也較高。然而，時間序列分析存在兩大缺陷：一是模型結構較為復雜，學者通常需要根據(jù)自身經(jīng)驗和主觀判斷選取所要構建的模型；二是時間序列模型只能反映城鎮(zhèn)化水平的發(fā)展進程，而無法解釋背后原因，故只適用于預測而不能開展經(jīng)濟解釋。

（三）城鎮(zhèn)化水平與經(jīng)濟變量的回歸模型

城鎮(zhèn)化與經(jīng)濟發(fā)展是密切相關的，這一方法通過選取與城鎮(zhèn)化水平具有一定相關性的經(jīng)濟指標，以其作為解釋變量來構建城鎮(zhèn)化水平的回歸模型，如簡單線性回歸模型、對數(shù)線性回歸模型、非線性回歸模型等。該方法的核心思想是根據(jù)相關經(jīng)濟變量的變動情況來預測未來的城鎮(zhèn)化水平。以多元線性回歸和對數(shù)線性回歸為例，具體模型為：

其中，Y 為城鎮(zhèn)化率指標，Xi(i=1,…,n) 為與城鎮(zhèn)化水平相關的經(jīng)濟指標，μ 為隨機擾動項，式 (9)為簡單線性回歸模型，式(10) 為對數(shù)線性回歸模型。

周一星（1995）建立城鎮(zhèn)化指數(shù)與經(jīng)濟發(fā)展指數(shù)之間的對數(shù)回歸模型，對城鎮(zhèn)化水平進行擬合；基于城鎮(zhèn)化水平與工業(yè)化、經(jīng)濟發(fā)展之間的相關關系，可以構建城市化率與工業(yè)勞動人口比重的一元回歸模型來擬合城鎮(zhèn)化水平。李迅等（2000）構建城鎮(zhèn)化率與人均GDP的對數(shù)線性回歸模型，預測中國2020年城鎮(zhèn)率約為52%，這一預測結果明顯偏低。王金營（2003）分別建立城鎮(zhèn)化率與人均GDP 的線性回歸模型和Logistic 曲線模型，經(jīng)檢驗發(fā)現(xiàn)線性回歸模型的擬合精度較高。

城鎮(zhèn)化水平與經(jīng)濟變量的回歸模型受到學者廣泛青睞的主要原因是模型構建簡單，同時易于對結果做出經(jīng)濟解釋，這是回歸模型的優(yōu)勢所在。然而，此類模型存在兩大問題：一是虛假回歸問題，雖然城鎮(zhèn)化與眾多經(jīng)濟指標之間存在一定的相關關系，但從長期看卻不一定是均衡關系，而基于非協(xié)整的變量關系構建回歸模型時可能造成虛假回歸；二是解釋變量的選擇問題，城鎮(zhèn)化是一個錯綜復雜的社會經(jīng)濟現(xiàn)象，難以將眾多影響因素考慮周全，因此構建回歸模型時面臨著變量取舍的問題。

（四）其他模型

除以上三種擬合方法與模型外，部分學者還嘗試使用灰色預測模型和BP 神經(jīng)網(wǎng)絡模型等來對中國城鎮(zhèn)化發(fā)展水平進行擬合。白先春和李炳俊（2006）針對1992-2003年城鎮(zhèn)化率數(shù)據(jù)，構建新陳代謝GM(1,1) 模型，發(fā)現(xiàn)模型擬合誤差與時間間隔存在顯著正相關。郭志儀和丁剛（2006）以人均GDP 為特征向量，城鎮(zhèn)化率為響應變量，建立BP神經(jīng)網(wǎng)絡模型擬合城鎮(zhèn)化水平與經(jīng)濟發(fā)展水平之間的復雜關系，擬合精度顯著優(yōu)于普通線性模型。

無論是灰色預測模型還是BP神經(jīng)網(wǎng)絡模型，都還存在一些弊端。灰色預測模型要求數(shù)據(jù)期數(shù)較短，長序列的擬合誤差通常大于短序列，故不適用于城鎮(zhèn)化水平這類長期增長曲線的擬合；BP 神經(jīng)網(wǎng)絡模型雖然擬合精度較高，但由于其“黑箱”性質和慣性特征，難以對結果做出經(jīng)濟解釋，且誤差率可能隨預測期數(shù)延長而激增。

綜上所述，現(xiàn)有的城鎮(zhèn)化水平擬合模型均存在一定缺陷與不足。中國城鎮(zhèn)化水平不滿足“S”型曲線特征，故Logistic 增長模型并不適用；時間序列模型在模型形式選擇上存在主觀性，且只適合于預測而不適用于經(jīng)濟解釋；回歸模型難以將所有影響因素考慮周全，且容易造成虛假回歸；灰色預測模型不適用于長期數(shù)據(jù)，神經(jīng)網(wǎng)絡模型具有“黑箱”性質。因此，有必要嘗試引入一種新方法——自動分段曲線擬合，開展中國城鎮(zhèn)化水平擬合及預測。

｜自動分段曲線擬合方法

多項式曲線擬合是一種常用的數(shù)據(jù)擬合方法，當數(shù)據(jù)點較多時，只采用一種多項式曲線函數(shù)進行擬合往往難以取得較好的擬合精度和效果。因此，一種改進思路是先對數(shù)據(jù)進行分段，分別采用不同的函數(shù)形式加以擬合，即分段曲線擬合方法。然而，傳統(tǒng)分段曲線擬合主要依據(jù)主觀經(jīng)驗和數(shù)據(jù)散點圖來確定分段區(qū)間和經(jīng)驗函數(shù)，遇到復雜數(shù)據(jù)時可能出現(xiàn)較大偏差（蔡山等，2007）。為解決這一問題，本文擬采用自動分段曲線擬合，該方法具有兩大優(yōu)點：一是根據(jù)不同函數(shù)形式的擬合誤差，自動確定擬合精度較高的經(jīng)驗函數(shù)形式；二是自動確定分段區(qū)間，并在每個區(qū)間內(nèi)進行最小二乘擬合。

（一）最優(yōu)經(jīng)驗函數(shù)的選取

數(shù)據(jù)擬合方法較多，具體包括簡單線性擬合、對數(shù)線性擬合、二次曲線擬合、指數(shù)擬合、冪函數(shù)擬合等。一般來說，通過觀察數(shù)據(jù)分布散點圖可確定大致的擬合函數(shù)，但這一方式較為主觀。自動分段曲線擬合的優(yōu)勢在于能夠客觀地選取最優(yōu)經(jīng)驗函數(shù)，主要基于兩個條件：（1）歷史數(shù)據(jù)點誤差符號相反的個數(shù)之差小于調節(jié)參數(shù)；（2）分別計算不同擬合函數(shù)誤差的方差，取方差最小者為最優(yōu)經(jīng)驗函數(shù)。誤差方差的數(shù)學表達式為：

其中，r1為第一數(shù)據(jù)點的擬合誤差，ri為后續(xù)數(shù)據(jù)點的擬合誤差，可理解為相較于第一數(shù)據(jù)點來說，各數(shù)據(jù)點誤差的波動大小。s2越小，表示各數(shù)據(jù)點的誤差越接近，擬合精度越高。通過觀察時間趨勢圖，發(fā)現(xiàn)中國城鎮(zhèn)化水平存在明顯的長期趨勢且波動幅度較小，結合曲線特征，采用直線函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和多項式函數(shù)四種典型的回歸方程分別進行擬合，選取最優(yōu)經(jīng)驗函數(shù)的流程圖如圖1 所示。

圖1 選取最優(yōu)經(jīng)驗函數(shù)的流程

圖1 中，直線擬合方程為y=ax+b；對數(shù)擬合方程為y=logax；指數(shù)擬合方程為y=beax；多項式擬合方程為pn。

（二）自動分段曲線擬合的步驟

在確定最優(yōu)經(jīng)驗函數(shù)后，可以得到各數(shù)據(jù)點的擬合誤差，由此計算出誤差絕對值的均值，記為S，計算公式為：

為防止分段區(qū)間過多導致過擬合，結合模型擬合效果，在此將調節(jié)參數(shù)設置為4，即若出現(xiàn)連續(xù)四個數(shù)據(jù)點的誤差絕對值大于S，那么就從第一個數(shù)據(jù)點處分段，并對分段點后的數(shù)據(jù)重新選取最優(yōu)經(jīng)驗函數(shù)進行擬合。依此類推，直至不會出現(xiàn)連續(xù)四個數(shù)據(jù)點的誤差絕對值大于S 的情況。

｜中國城鎮(zhèn)化水平增長曲線的分段擬合

新中國成立以來，受到國際局勢和國內(nèi)政策的影響，城鎮(zhèn)化道路可謂是一波三折，城鎮(zhèn)化率也呈現(xiàn)出較大波動。改革開放后，中國城鎮(zhèn)化才步入一個平穩(wěn)發(fā)展期。本文選取1978-2020年中國城鎮(zhèn)化率數(shù)據(jù)，構建自動分段曲線擬合模型，擬合結果見表1 所示。

表1 中國城鎮(zhèn)化率與擬合值比較

對于1978-2020年中國城鎮(zhèn)化水平的擬合，模型自動將其分為四段：1978-1983年、1984-1991年、1992-1999年和2000-2020年，分別選取二次多項式函數(shù)、二次多項式函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、直線函數(shù)作為最優(yōu)經(jīng)驗函數(shù)進行擬合。設1978年t=1（t 為正整數(shù)），四個分段區(qū)間的模型表達式分別為：

結合城鎮(zhèn)化發(fā)展歷程，這四個分段區(qū)間分別與國家重大戰(zhàn)略決策相對應：1984年中央實行經(jīng)濟體制改革，明確提出加快以城市為重點的改革步伐；1992年鄧小平南方談話重申深化改革的必要性，進一步明確擴大開放，刺激了大規(guī)模的人口流動；2000年，中央發(fā)布《關于促進小城鎮(zhèn)健康發(fā)展的若干意見》，指出加快城鎮(zhèn)化進程的時機和條件已經(jīng)成熟。可見，模型分段點符合實際背景，具有現(xiàn)實意義。

由表1 可知，模型擬合精度較高，相對誤差控制在5%以內(nèi)，且擬合誤差隨時期變動呈下降趨勢。結合擬合效果圖可知，各個分段區(qū)間內(nèi)城鎮(zhèn)化水平變動趨勢符合相應的最優(yōu)經(jīng)驗函數(shù)特征，模型擬合存在合理性。同時，擬合曲線與實際曲線間距離不斷縮小，21 世紀以來中國城鎮(zhèn)化進入穩(wěn)定的高速增長階段，2000-2020年這一區(qū)間內(nèi)的平均擬合誤差也達到最小。進一步利用自動分段曲線模型對未來中國城鎮(zhèn)化率進行預測，為保證預測精度，僅將預測期延長至2025年，結果見表2。2021-2025年中國城鎮(zhèn)化水平平均每年提升1.47 個百分點，2025年城鎮(zhèn)化水平預計達71.22%。

表2 中國城鎮(zhèn)化率預測結果

｜結語

針對現(xiàn)有的各類城鎮(zhèn)化水平擬合方法存在一些缺陷與不足，本文嘗試構建自動分段曲線模型進行改革開放以來中國城鎮(zhèn)化水平的擬合，并預測2021-2025年中國城鎮(zhèn)化發(fā)展趨勢，得到以下結論：其一，自動分段曲線擬合模型能夠有效處理結構變動問題，客觀選取分段區(qū)間和經(jīng)驗函數(shù)，模型擬合精度較高，可解釋性強；其二，自動分段曲線模型適用于中國城鎮(zhèn)化水平的擬合及預測，為預測城鎮(zhèn)化水平提供了新的思路與經(jīng)驗；其三，21 世紀以來，中國城鎮(zhèn)化發(fā)展進入穩(wěn)定的高速增長階段，年均城鎮(zhèn)化率提高1.4個百分點，自動分段曲線模型預測2025年中國城鎮(zhèn)化率將突破70%，達到71.22%左右。

需要指出的是，將自動分段曲線擬合模型用于中長期預測時，預測精度可能隨時期發(fā)展而有所下降，這是由于該模型對原始序列進行分段處理，在各區(qū)間內(nèi)使用不同的經(jīng)驗函數(shù)擬合，故對未來進行預測時沒有利用到原始數(shù)據(jù)的全部信息，存在一定的信息損失。為解決這一問題，可通過適當調整模型參數(shù)以達到更好的長期預測效果。