顆粒增強金屬基復合材料細觀有限元建模方法的對比

劉駿華，張 娟，張 晨，黃興民

(西南交通大學1.力學與航空航天學院，應用力學與結構安全四川省重點實驗室;2.材料科學與工程學院，成都，610031)

0 引 言

顆粒增強金屬基復合材料具有較高的強度、彈性模量、硬度以及良好的塑性，并且生產成本低廉，應用前景廣泛。顆粒增強金屬基復合材料在承受載荷時的變形與失效等行為是非常復雜的，與基體和顆粒兩相材料的性能以及二者之間的多種相互作用密切相關。在研究微觀及細觀結構對復合材料力學性能的影響中，采用有限元方法進行數值模擬是一種非常有效的手段。想要進行有效的模擬，必須先要建立合理的細觀有限元模型。目前，顆粒增強復合材料的細觀有限元模型主要有體胞模型和真實結構模型2種。體胞模型的構建基于復合材料的結構特征，可分為單顆粒模型及多顆粒模型[1-2]。單顆粒模型由于其結構簡單，常用其來揭示基體、顆粒及界面之間的作用機理，但無法探究顆粒之間的相互關系[3]。對于多顆粒模型，可以假設顆粒是均勻分布的，也可以使用隨機序列吸附法生成隨機分布多顆粒模型[4]。隨機分布多顆粒模型相比于單顆粒模型雖然考慮了顆粒間的相互作用，并且一定程度上考慮了材料的不均勻性，但與復合材料的真實微觀結構還有一定差異[5]。研究[6]表明，顆粒形貌越接近實際情況，模擬結果與試驗結果的誤差越小，因此有學者發展了基于材料真實顯微圖像的建模方式，即真實結構模型。真實結構模型一般使用連續切片法建立，其原理是將試樣分成很多層，取得每一層的平面結構圖像并輸入計算機中，然后利用三維重構技術，還原出試樣的三維真實結構[7]。由于三維真實結構模型的建立需要復雜的前期工作并且伴隨著龐大的計算量，因此有不少學者建立了二維真實結構模型進行模擬，得到的模擬結果與試驗結果吻合得較好[8-11]。

體胞模型和真實結構模型各有特點，在模擬顆粒增強復合材料的力學行為時得到的結果也有差異，為了探究這2種模型的異同及特點，作者以原位生成法制備的TiB2顆粒增強鐵基復合材料為研究對象，通過納米壓痕試驗及有限元反演分析確定了鐵素體基體的冪硬化模型參數，建立了二維的顆粒隨機分布的體胞模型和真實結構模型，模擬材料在單軸拉伸時的力學行為，研究了2種模型有限元模擬結果的異同，并進一步探究了邊界條件對模擬結果的影響，以期在一定程度上為顆粒增強鐵基復合材料微觀結構的優化設計提供參考。

1 有限元模型的建立

1.1 材料參數的確定

在有限元建模的過程中，需要輸入復合材料各相的材料參數。在采用原位生成的方法制備的TiB2顆粒增強鐵基復合材料中，鐵素體晶粒尺寸與純鐵中的鐵素體晶粒尺寸不同，而且晶粒中會有位錯產生[12]，這導致復合材料中的鐵素體與純鐵中的鐵素體在未受載時的初始狀態可能會有較大不同。若采用純鐵進行單軸拉伸試驗來獲得復合材料鐵素體基體的參數不合理，因此采用納米壓痕和有限元反演分析的方式獲得鐵素體基體的材料屬性。將TiB2顆粒視為彈性體，彈性模量為510 GPa，泊松比為0.25。對TiB2顆粒增強鐵基復合材料進行納米壓痕試驗，測得基體的彈性模量為214 GPa，硬度為4.01 GPa，然后進一步采用DAO等[13]推導的量綱函數及有限元反演分析，確定基體的單軸冪率硬化應力-應變響應曲線。假設基體的應力σ、應變ε滿足以下關系：

(2)

式中：E為基體的彈性模量；σy，εy分別為名義屈服強度與對應的名義屈服應變；εp為總應變減去名義屈服應變；n為冪硬化指數；σr、εr分別為特征應力與特征應變。

將納米壓痕試驗中采用的Berkvich壓頭等效成140.6°的圓錐壓頭，建立軸對稱納米壓痕有限元模型[14]。參考ANTUNES等[15]和LEE等[16]的研究方法進行有限元反演，得到鐵素體基體的單軸真應力-真應變曲線如圖1所示，鐵素體基體的冪硬化指數n為0.34，屈服強度σy為242.91 MPa，且由圖2可以看出，采用有限元反演分析方法得到壓痕試驗過程中的力-位移曲線與試驗結果相吻合，驗證了有限元反演分析方法的準確性。

圖1 采用有限元反演分析得到鐵素體基體的真應力-真應變曲線Fig.1 True stress-true strain curve of ferrite matrix by finite element inverse analysis

圖2 有限元反演分析方法得到壓痕試驗過程中的力-位移曲線與試驗結果的對比Fig.2 Comparison of force-displacement curves during indentation test obtained by finite element inverse analysis with experimental results

1.2 有限元模型的建立

對體積分數20% TiB2顆粒增強鐵基復合材料建立二維代表性體積元模型。研究[11]表明，當所選取的代表性體積元尺寸大于某一臨界值時，其所代表的微結構能夠反映材料微觀組織的基本信息。所選取的真實結構模型尺寸為80 μm×80 μm。在復合材料的掃描電鏡(SEM)形貌中選擇尺寸為80 μm×80 μm合適區域，經二值化處理轉化為矢量文件，然后導入ABAQUS軟件中進行建模，實現基于微觀組織的有限元模型的建立，如圖3所示。測得所選區域真實顆粒的平均尺寸為3 μm。

圖3 真實結構模型建立的3個階段Fig.3 Three stages of establishing real structure model: (a) SEM micromorphology; (b) results by binarization and (c) geometric model

體胞模型代表性體積元的建立則利用ABAQUS軟件進行二次開發，采用Python語言編寫程序，運行程序建立同等顆粒尺寸、體積分數的隨機分布圓形顆粒及不規則顆粒的體胞模型，如圖4所示。

圖4 隨機分布圓形顆粒及不規則顆粒的體胞模型Fig.4 Body cell models of circular particles with random distribution (a) and irregular particles with random distribution (b)

在ABAQUS軟件中進行有限元模擬，將TiB2顆粒設為彈性體，采用CPS4R單元劃分網格，平均單元尺寸為0.4 μm。代表性體積元模型一般可施加3種邊界條件[17]，即同質化邊界條件、對稱性邊界條件和周期性邊界條件，如圖5所示。

圖5 建模可選擇的3種邊界條件Fig.5 Three alternative boundary conditions for modeling: (a) homogenization boundary condition; (b) symmetric boundary condition and (c) periodic boundary condition

1.3 應力-應變曲線的模擬及試驗驗證

(4)

式中：A，σij，εij分別為單元面積、應力、應變。

根據上述公式編寫Python腳本得到采用一階均勻化方法計算的真應力-真應變曲線。等效宏觀方法將代表性體積元等效成宏觀模型，在對模型進行單向拉伸加載時，直接輸出拉伸方向的作用力和位移，然后除以模型的橫截面積和長度，得到工程應力-應變曲線再轉化為真應力-真應變曲線。

按照GB/T 228—2010，在體積分數20% TiB2顆粒增強鐵基復合材料上截取如圖6所示的拉伸試樣，用 MTS CMT5105 型電子萬能試驗機進行室溫拉伸試驗，拉伸速度為 1 mm·min-1。

圖6 拉伸試樣的尺寸Fig.6 Size of tensile specimen

將用施加對稱性邊界條件的真實結構模型和體胞模型模擬出的結果與單軸拉伸試驗結果進行對比，結果如圖7所示。由圖7可以看出，采用2種方法得到不同模型的真應力-真應變曲線與試驗結果較吻合，但采用等效宏觀方法計算得到的真應力-真應變曲線與試驗結果更加吻合，相對誤差小于5%，因此后面采用等效宏觀方法計算真應力-真應變曲線，同時也證明了建立的真實結構模型與體胞模型的合理性。

圖7 對稱性邊界條件下由真實結構模型與體胞模型模擬得到數據經等效宏觀方法和一階均勻化方法計算得到真應力-真應變曲線與試驗結果的對比Fig.7 Comparison of true stress-true strain curves calculated by equivalent macro method and first-order homogenization method from simulation by real structural model (a) and body cell model (b-c) under symmetric boundary condition with test results: (b) circular particle with random distribution and (c) irregular particle with random distribution

2 結果與討論

2.1 邊界條件對模擬結果的影響

在3種邊界條件下用真實結構模型進行沿水平方向的單軸拉伸有限元模擬，得到的拉伸真應力-真應變曲線如圖8所示。由圖8可以看出，不同邊界條件下模擬得到的真應力-真應變曲線基本重合，說明邊界條件對模擬結果影響較小。

圖8 不同邊界條件下用真實結構模型單軸拉伸模擬得到的真應力-真應變曲線Fig.8 True stress-true strain curves obtained by simulating uniaxial tension with real structure model under different boundary conditions

由圖9可以看出，邊界條件對約束位置的應力、應變場具有一定影響，由于同質化邊界條件和對稱性邊界條件對垂直加載方向的約束能力弱，使模型變形過程中沿垂直加載方向有一定的收縮，從而導致模型的最大應力與最大等效塑性應變位置具有較大的差異。周期性邊界條件下模型變形均勻，在邊界位置應力場連續性較好，與復合材料內部實際情況相吻合。對稱性邊界條件與周期性邊界條件下的應力與應變云圖有較高的相似性，因此單軸拉伸試驗模擬時可用對稱性邊界條件代替周期性邊界條件施加載荷。

圖9 不同邊界條件下用真實結構模型模擬單軸拉伸真應變1%時的Mises應力云圖和等效塑性應變云圖Fig.9 Mises stress countour (a-c) and equivalent plastic strain countour (d-f) by simulating uniaxial tension with real structure model for true strian of 1% under different boundary conditions: (a,d) periodic boundary condition; (b,d) symmetric boundary condition and (c,f) homogenization boundary condition

2.2 2種建模方法下模擬結果的對比

由圖10可以看出，對2種模型模擬單軸拉伸得到的真應力-真應變曲線間差異較小，且均與試驗結果吻合較好，相對誤差小于5%。根據真應力-真應變曲線計算得到的屈服強度及彈性模量如表1所示。

圖10 對稱性邊界條件下用不同模型模擬單軸拉伸得到的真應力-真應變曲線與試驗結果的對比Fig.10 Comparison of true stress-true strain curves by simulating uniaxial tension with different models under symmetric boundary condition with test results

表1 對稱性邊界條件下用不同模型模擬單軸拉伸得到的彈性模量和屈服強度以及試驗結果

由表1可以看出，對2種模型模擬單軸拉伸后得到的彈性模量及屈服強度與試驗結果均相差較小，相對誤差小于10%。從工程應用的角度來看，這兩種模型都可以較好地模擬復合材料在單軸拉伸過程中的應力-應變曲線。對真實結構模型模擬單軸拉伸得到的彈性模量及屈服強度與試驗結果間的相對誤差最小，分別為3.19%與5.63%，說明真實結構模型在彈性模量及屈服強度模擬方面的可靠性更高。

由圖11可以看出，顆粒分布與形狀的不同導致基體和顆粒的應力場和塑性應變場具有明顯的差異。體胞模型對顆粒的形狀與分布進行了一定近似處理，而真實結構模型中的顆粒具有更多的棱角，顆粒與基體之間有較多的接觸面積，因此相比于近似化的體胞模型其內部應力集中區域較多，這也是導致真實結構模型下在相同應變時的應力略高于體胞模型的原因。復合材料基體高應力區域多在沿加載方向的顆粒之間，并且顆粒間距越小，其中間的基體等效應力越大；不同模型中基體較大的等效塑性應變主要集中在高應力區域，并且等效塑性應變云圖與各自的等效應力云圖具有相似性；2種模型中顆粒的高應力區域多位于顆粒的尖角處和顆粒間距較小處。由表2可知：真實結構模型顆粒的最大等效應力分別為隨機分布圓形顆粒體胞模型和隨機分布不規則顆粒體胞模型的2.22倍和2.23倍；真實結構模型基體的最大等效塑性應變分別為隨機分布圓形顆粒體胞模型和隨機分布不規則顆粒體胞模型的1.38倍和2.58倍。由此可見，2種模型模擬顆粒增強金屬基復合材料局部微觀等效應力場及應變場的結果有明顯差異，這是由于在顆粒增強金屬基復合材料實際服役過程中，基體常因產生較大塑性變形而失效，而顆粒則容易在其高應力區域的尖角處發生斷裂。因此，在對復合材料的斷裂、失效等行為進行模擬時，真實結構模型和體胞模型的模擬結果會存在較大的差異。

圖11 對稱性邊界條件下用不同模型模擬單軸拉伸1%時基體的Mises應力云圖和等效塑性應變云圖以及顆粒Mises應力云圖Fig.11 Mises stress countour (a-c) and equivalent plastic strain countour (d-f) of matrix (a-f) and Mises stress countour of particles (g-i) by simulating uniaxial tension with different models for true strain of 1% under symmetric boundary condition:(a, d, g) body cell model of circular particle with random distribution; (b,e,h) body cell model of irregular particle with random distribution and (c,f,i)real structure model

表2 對稱性邊界條件下用不同模型模擬單軸拉伸真應變為1%時基體的最大等效應力、最大等效塑性應變及顆粒的最大等效應力

3 結 論

(1) 對原位生成法制備的TiB2顆粒增強鐵基復合材料建立了顆粒隨機分布的體胞模型和真實結構模型，采用ABAQUS軟件根據不同模型對單軸拉伸進行有限元模擬后，采用等效宏觀方法獲取的真應力-真應變曲線與試驗結果基本吻合，相對誤差小于5%，驗證了這2種模型的合理性。

(2) 同質化邊界條件、對稱性邊界條件和周期性邊界條件下用真實結構模型模擬拉伸得到的真應力-真應變曲線基本重合，說明邊界條件對模擬結果影響較小；對稱性邊界條件下的應力與應變云圖與周期性邊界條件相似，在單軸拉伸試驗模擬時可用對稱性邊界條件代替周期性邊界條件施加載荷。

(3) 用真實結構模型和體胞模型模擬單軸拉伸得到的真應力-真應變曲線間差異較小，且均與試驗結果吻合較好，相對誤差小于5%，得到的彈性模量及屈服強度與試驗結果均相差較小，相對誤差小于10%，且真實結構模型模擬單軸拉伸得到的彈性模量與屈服強度的誤差小于體胞模型，說明真實結構模型在彈性模量及屈服強度模擬方面的可靠性更高。

(4) 用不同模型模擬得到復合材料基體與顆粒在單軸拉伸時的局部微觀等效應力場及應變場有明顯差異，真實結構模型模擬顆粒的最大等效應力分別為隨機分布圓形顆粒體胞模型和隨機分布不規則顆粒體胞模型的2.22倍和2.23倍，基體的最大等效塑性應變分別為這2種體胞模型的1.38倍和2.58倍。