Hilbert K-模上酉半群的廣義緊框架向量的誘導序列*

董芳芳，裴瑞昌

天水師范學院數(shù)學與統(tǒng)計學院，甘肅 天水 741001

Hilbert K-模是一種特殊的HilbertC*-模，其中底代數(shù)K 為作用在Hilbert 空間上的全體緊算子組成的C*-代數(shù)，即I?K，Bakic 等［1］證明了有限或可數(shù)生成的Hilbert K-模一定有特殊的標準正交基，其特殊點在于相同基向量的內(nèi)積為K中的一個秩1的自伴投影。

廣義框架是滿足一定條件的算子組成的集合，對于廣義框架，Sun［2］和Yao［3］引入了Hilbert空間上的廣義框架，研究了一系列性質(zhì)，肖秀梅等［4］引入了Hilbert K-模上的廣義框架，并研究了其穩(wěn)定性等。本文針對Hilbert K-模上廣義框架的誘導序列展開研究，得到了誘導序列的內(nèi)積組成的無窮級數(shù)的收斂性這一結論，并將其置于酉半群上研究，一方面是想研究正交投影和酉半群的換位之間的關系，另一方面是定理3證明的需要，并且本文的指標集J和Λ均為有限或可數(shù)指標集。本文研究的模均為有限或可數(shù)生成的。

另外，由于I?K，因此，Hilbert K-模不像HilbertC*-模（見文獻［5］）一樣可以膨脹，所以，本文直接在Hilbert K-模自身上引入了廣義框架變換。

定義1[1]設K 為作用在Hilbert 空間Η 上的全體緊算子組成的C*-代數(shù)，Μ是復數(shù)域C上的線性空間，Μ是左K-模，滿足μ(kx) =(μk)x=k(μx)，μ∈C，k∈K，x∈Μ，若·，· ：Μ×Μ→K具有性質(zhì)：

（i）x，x≥0，x∈Μ；

（ii）x，x= 0 ?x= 0，x∈Μ；

（iii）x，y=y，x*，x，y∈Μ；

（iv）kx，y=k x，y，k∈K，x，y∈Μ；

（v）x+y，z=x，z+y，z，x，y，z∈Μ，

則稱(M，·，· )為準Hilbert K-模，在Μ上定義范數(shù)‖x‖?‖x，x‖12，若Μ在該‖ · ‖意義下完備，就稱之為Hilbert K-模。

定義2[1]若存在ξ∈H，且‖ξ‖= 1（H為Hilbert空間），使得對任意λ，μ∈Λ，

定義3[6]設M，Nj均為Hilbert K-模，Aj：M→Nj為可伴有界線性算子，稱{Aj|j∈J}為M關于Nj的廣義框架，若存在a＞0，b＞0，使得對任意x∈M，有

分別稱a，b為其廣義下，上框架界；特別地，若a=b，則稱{Aj|j∈J}為M關于Nj的廣義緊框架；若a=b= 1，則稱{Aj|j∈J}為M關于Nj的廣義正規(guī)緊框架。

定義4 設M和Nj均為Hilbert K-模，U={u∈L(M)|uu*=u*u=I}為作用在M上的酉系統(tǒng)，{Aj|j∈J}為M關于Nj的可伴算子集，稱{Aj|j∈J}為U的廣義完全（正規(guī)緊）框架向量，若{Aju|j∈J，u∈U}為M關于Nj的廣義（正規(guī)緊）框架。

定義5 設M和Nj均為Hilbert K-模，U為作用在M上的酉系統(tǒng)，{Γj|j∈J}為M關于Nj的可伴算子，稱{Γj|j∈J}為U的廣義完全游蕩向量，若{ Γju|j∈J，u∈U}為M關于Nj的廣義標準正交基，即若的廣義框架算子。

1 廣義框架變換與正交投影

定義7[7]設U為作用在Hilbert K-模M上的酉系統(tǒng)，稱U′={T∈L(M)|Tu=uT，u∈U}為U的換位。

定理1 設M為Hilbert K-模，U為作用在M上的酉半群，{Γj|j∈J}為U的廣義完全游蕩向量，{Aj|j∈J}為U的廣義完全緊框架向量，且廣義緊框架界為a＞0，Φ為{Aju|j∈J，u∈U}的廣義框架變換，P：M→Φ(M)為的正交投影，則P(Γju)*=Φ(Aju)*，ΦΦ*=aP，且P∈U′.

證明 首先，由于{Aju|j∈J，u∈U}為M關于Nj的廣義緊框架，從而Φ*Φ =aI. 由于P：M→Φ(M)為正交投影，從而P(M) = Φ(M)，并且當P作用在Φ(M) 上時，即P：Φ(M) →Φ(M)，P=I，亦即P(Φ(M)) = Φ(M) . 于是對任意x∈M，gj∈Nj，

再由gj的任意性知

由x的任意性知ΦΦ*=aP.

由x的任意性知Φv=vΦ，即Φ ∈U′.

同理，由于

從而由x的任意性知Φ*v=vΦ*，即Φ*∈U′.

綜上，Φ ∈U′，Φ*∈U′，從而ΦΦ*∈U′，即ΦΦ*∈U′，亦即P∈U′.

2 廣義框架向量的誘導序列的內(nèi)積級數(shù)的收斂性

定義8 設M為Hilbert K-模，對任意x，y，z，w∈M，定義直和的內(nèi)積為x⊕y，z⊕w=x，z+y，w.

定 義9 設M和Nj均 為Hilbert K-模，U為 作 用 在M上 的 酉 系 統(tǒng)，{Aj：M→Nj|j∈J}和{Bj：M→Nj|j∈J}均為U的廣義緊框架向量，若對任意gm，gn∈Nj，

則稱{ (Aju⊕Bju)*|j∈J，u∈U}為Nj關于M⊕M?M(2)的廣義標準正交的算子直和序列（簡稱廣義標準正交），也稱{ (Aj⊕Bj)*|j∈J}為U的廣義標準正交的算子直和向量。

定理2 設M和Nj均為Hilbert K-模，{Aj|j∈J}和{Bj|j∈J}均為U的廣義緊框架向量，廣義緊框架界分別為a，b＞0，Φ1：M→M，Φ2：M→M分別為其廣義框架變換，P：M→Φ1(M)和Q：M→Φ2(M)均為正交投影，則{ (Aju⊕Bju)*|j∈J，u∈U}為廣義標準正交的當且僅當aP+bQ=I.

推論1 設M為Hilbert K-模，U為作用在M上的酉系統(tǒng)，{Aij|j∈J}（i= 1，2，…，n）均為U的廣義緊框架向量，緊框架界分別為ai＞0，Φi分別為{Aiju|j∈J，u∈U}的廣義框架變換，Pi：M→Φi(Mi)為正交投影，則{ (A1ju⊕A2ju⊕…⊕Anju)*|j∈J，u∈U}為Nj關于M⊕M⊕…⊕M?M(n)的廣義標準正交的算子直和序列當且僅當=I.

另外，對任意gl，gm∈Nj，