雙支鏈六自由度并聯機構尺度設計與性能分析

謝志江 程 清 丁 軍 何 苗 范乃吉 吳小勇

1.重慶大學機械傳動國家重點實驗室，重慶，4000442.重慶理工大學機械工程學院，重慶，4000543.中國工程物理研究院激光聚變研究中心，綿陽，621900

0 引言

并聯機構因其剛度高、承載能力強、累積誤差小、動力性能好等優點而得到廣泛應用[1-2]。自Stewart平臺提出以來[3]，已有許多學者對六自由度并聯機構進行了廣泛的研究。MCCANN等[4]基于Stewart平臺開發了一種能精確完成抓取任務的新型靈巧手。AGINAGA等[5]利用逆奇異性對6-RUS并聯機構的剛度進行了分析，并由此獲得了一種提高機構沿路徑方向剛度的方法。HE等[6]將六足爬壁機器人視為6-SRRR并聯機構，基于結構約束方程和雅可比矩陣對機器人的工作空間及奇異性等運動學性能進行了研究。FENG等[7]提出了一種宏微雙驅動并聯機構用于染色體切割，其宏動部分采用6-PPPS機構，微動部分為6-PSS機構，并對該并聯機構的運動學、各向同性等進行了分析。上述機構都具有六條運動支鏈，支鏈數目較多，使得干涉增加進而會縮小機構的工作空間。相對而言，支鏈數目的減少有利于擴展機構工作空間，可以有效應用于康復機構、風洞試驗、航空航天等領域中，因而少支鏈并聯機構已逐漸成為并聯機構的研究熱點之一[8-9]。

近年來，國內外許多學者提出了多種三支鏈六自由度并聯機構。郭宗和等[9-10]對3-PRRS及3-PRPS并聯機構的位置正逆解進行了分析。馮祥文等[11]提出了一種3-URS并聯機構，并對其姿態工作空間進行了研究。NAG等[12]設計了一款3-RPRS并聯機構，該機構每條運動支鏈有兩個驅動關節，并基于閉環矢量法求解了該機構的位置正解。CHABLAT等[13]提出了一種3-PPPS并聯機構，并對該機構的奇異性進行了研究。COPPOLA等[14]提出了一種六自由度可重構并聯機構，分析了該機構的運動學、剛度等性能，并對該機構進行了多目標優化設計。

上述六自由度并聯機構都包含三條及以上運動支鏈，而兩支鏈六自由度并聯機構則鮮有研究。鑒于此，本文提出了一種新型六自由度并聯機構，該機構由兩條運動支鏈組成，每條支鏈各包含一個主動球副。首先基于封閉矢量法求得機構運動學位置逆解，揭示機構輸入與輸出的速度映射關系，得到該機構的雅可比矩陣。其次，借助性能圖譜法完成了機構尺度設計。最后對該機構在特定工作姿態下的工作空間、靈巧度、承載性能及剛度性能進行了全面研究和綜合評價。

1 機構簡介

圖1 人體雙臂結構

圖2 并聯機構運動簡圖

根據該機構特點建立定坐標系OXYZ，其坐標原點O位于兩主動球副中心連線A1A2的中點，X軸平行于A1A2指向球副S2，Z軸垂直于水平面向上，Y軸滿足右手定則。在末端執行器上建立動坐標系o′x′y′z′，其坐標原點o′與虎克鉸U的中心點C重合，x′軸與虎克鉸U在第一條支鏈的旋轉軸重合，y′軸與虎克鉸U在第二條支鏈的旋轉軸重合，z′軸滿足右手定則。主動球副坐標系與驅動連桿坐標系方位相同，為方便描述，在驅動連桿AiBi末端建立局部坐標系Bixiyizi，其坐標原點Bi與虎克鉸Ui的中心重合，xi軸與虎克鉸Ui在AiBi的旋轉軸重合，zi軸平行于AiBi，yi軸滿足右手定則。

根據Grübler-Kutzbach公式可計算該機構自由度為

(1)

2 位置逆解與雅可比矩陣

2.1 機構位置逆解

位置逆解分析就是已知末端執行器位姿，求解主動球副的輸入旋轉角度，建立兩者的映射關系。已知動坐標系o′x′y′z′原點相對于定坐標系OXYZ的位置向量為P=(x,y,z)T，繞X、Y、Z軸旋轉的角度分別為α、β、γ，則末端執行器的旋轉矩陣R可表示為

(2)

式中，Rx、Ry、Rz分別為末端執行器繞X、Y、Z軸的旋轉矩陣。

如圖3所示，該機構可分為兩條運動支鏈，gi1、gi2分別為沿AiBi、CBi方向的單位向量，fij、θij(j=1，2，3)分別為與虎克鉸轉動軸線平行的單位向量及對應的轉動角度。沿支鏈從定坐標系到動坐標系可形成兩矢量閉環(圖4)，取任一支鏈建立封閉矢量方程：

圖3 各支鏈機構簡圖

圖4 支鏈矢量閉環

hi1gi1=P+hi2gi2-(-1)ih0i/2

(3)

g12=RRx(θ13)kg22=RRx(θ23)k

式中，i、k分別為X、Z軸單位方向向量。

已知桿AiBi的長度為hi1，即‖P+hi2gi2-(-1)ih0i/2‖=hi1，可得

Misinθi3+Nicosθi3+Qi=0

(4)

Mi=-2hi2[zcosγsinα+(h0/2-x)cosβ-

ysinαsinβsinγ+cosα(ycosγ+zsinβsinγ)]

Ni=2hi2[zcosαcosβ-ysinαcosβ+

(x-h0/2)sinβ]

對式(4)進行求解，可得

(5)

由此，局部坐標系Bixiyizi的單位方向向量可以表示為

(6)

f12=RRx(-θi3)jf22=RRx(θi3)i

式中，a、b、c分別為對應向量的第一個元素、第二個元素和第三個元素;j為Y軸單位方向向量。

可以求得

(7)

式中，αi、βi、γi為主動球副Ai的三個姿態角。

即可求得機構的位置逆解。

式(5)和式(6)中，由于“+/-”號的取值不同，在確定末端位姿后，由θi3(‖AiC‖≠hi1+hi2)及xi可分別求得兩組解，因此每條支鏈存在四種可能的位置，如圖5所示。將四種位置構型分別定義為⊕⊕、⊕?、?⊕以及??，每組中的兩個符號分別代表θi3和xi的“+/-”號取值。綜上可知，確定一個末端位姿后，該機構具有4×4=16種可能的工作模式，如表1所示。為方便計算分析，后文均采用1號工作模式。

圖5 各支鏈可能的位置構型

表1 機構的16種工作模式

2.2 位置逆解仿真

為驗證運動學分析的正確性同時對運動效果進行說明，本文采用MATLAB進行理論計算，并通過ADAMS進行仿真驗證。此處，機構末端姿態固定(α=0°，β=-45°，γ=-90°)，位置輸入為

(8)

MATLAB數值計算與ADAMS仿真計算的結果如圖6所示。對比可知，數值計算與仿真計算的結果基本一致，由此驗證了位置逆解的正確性。

(a)支鏈1仿真計算結果

2.3 雅可比矩陣求解

根據前文，將式(3)等號兩邊分別對時間求導可得

(9)

ωi=(ωix,ωiy,ωiz)

對式(9)等號兩邊分別點乘gi2、fi2、fi3可得

(10)

(11)

(12)

末端執行器的角速度向量ω需滿足

(13)

(14)

將式(14)代入式(11)可得

(15)

將兩條支鏈的參數分別代入式(11)、式(12)、式(15)并聯立寫為矩陣形式：

(16)

當矩陣Jq為非奇異矩陣時，可得到兩球副的驅動速度與末端執行器速度之間的映射關系為

(17)

3 性能評價指標

3.1 可達工作空間性能指標

并聯機構的可達工作空間一般較小，且由于多支鏈、多關節相互約束的復雜性，無法直觀地得到確切的解析解，因此本文采用全局搜索法研究該機構的可達工作空間，具體步驟如下：

(1)設置x、y、z、α、β、γ六個位姿參數的搜索范圍，各參數的搜索范圍應略大于結構參數的極限以確保計算結果能夠囊括可達工作空間中所有的點。

(2)設置一定的步長，將步驟(1)設定的搜索范圍離散化，并將離散化后的點作為末端執行器的位姿參數，解算出每個離散點的位置逆解，得到兩驅動關節的姿態角及三個虎克鉸對應的旋轉角。

(3)檢查機構各關節是否滿足約束條件，若滿足，則判定該點位于機構的可達工作空間內，所有可行點即構成了機構的可達工作空間。

以可達工作空間為基礎，定義機構工作空間性能指標[15]為

(18)

其中，nws為符合約束條件的可達工作空間的離散點數，nd為搜索范圍離散化后的所有點數。將工作空間大小比值N作為機構工作空間大小的評價指標。

3.2 靈巧度性能指標

靈巧度描述了機構輸入與輸出之間的傳遞關系，常用于評價機構的運動精度。通常機構的靈巧度可通過局部條件數(local conditioning index, LCI)來衡量機構在特定形位下的局部靈巧度[16-17]，其表達式為

(19)

kc=‖J‖‖J-1‖

其中，kc為雅可比矩陣的條件數。LCI值VLCI的取值范圍在0～1之間，當VLCI=0時，機構處于奇異位形，靈巧度最差;當VLCI=1時，機構各向同性，靈巧度最好。LCI用于描述確定尺度參數后機構靈巧度的分布情況，為衡量機構在工作空間全域下的靈巧度，引入了全局條件數(global conditioning index, GCI)，其表達式為

(20)

3.3 承載能力性能指標

承載能力決定了機構的工作負荷能力，是評價機構性能的重要指標。根據虛功原理，作用在機構末端執行器上的廣義力F與其驅動力f之間有如下關系[18]:

F=JTf

(21)

該機構的承載能力指標定義為‖f‖=1時輸出力矢量F的模的極值。為求得該極值，構造如下拉格朗日方程：

LF=fTJJTf-λF(fTf-1)

(22)

式中，λF為拉格朗日乘子。

當‖f‖=1時，承載能力極值為JJT的最大、最小特征值的開方，即

(23)

式中，λFmax(JJT)、λFmin(JJT)分別為矩陣JJT的最大、最小特征值。

本文取最小承載能力極值‖Fmin‖用于評價機構在給定位姿下的承載能力，‖Fmin‖越大，表明機構的承載能力越好。

3.4 剛度性能指標

當末端執行器作用于物體時，作用反力將引起末端偏離理想位置，其偏離的大小與其作用力和機械手的剛度有關。在笛卡兒空間內機構的局部剛度矩陣可表示為

KL=JTKJJ

(24)

KJ=diag(k1，k2，…，kg)

式中，KJ為機構的關節剛度矩陣；ki(i=1,2,…,g)為每個驅動關節的關節剛度。

假設每個驅動關節都有相同的剛度k，則式(24)可簡化為

KL=kJTJ

(25)

對應的KL主對角線上的元素可以作為機構在各方向上的局部剛度指標(local stiffness index, LSI)[19]。

4 機構尺度設計

尺寸參數對機構各運動關節的布局及機構的工作性能有著非常重要的影響，其確立過程大多需考慮機構的關節約束、幾何尺寸約束、動態性能等條件。在機構的設計階段，性能指標是對機構性能進行量化的依據，因而性能評估對機構的設計有著指導性的作用[20]。在工程實際應用中，同時考慮所有性能指標進行尺度設計是一項比較困難的工作。本文所設計的機構在具備較大工作空間的同時也應擁有良好的靈巧度，為此上述兩項性能指標將作為尺度設計的依據。

相比基于目標函數的優化設計方法，性能圖譜法的優化結果更加靈活，對于特定的優化設計任務，該方法可以得到不止一個優化結果，設計人員可以根據設計條件靈活地對優化結果進行調整[20]。

根據該機構特點，選取連桿長度h0/2、h11、h12、h21、h22作為尺寸優化參數，本文主要考慮機構處于對稱的情形，即h0/2=d1、h11=h21=d2、h12=h22=d3。為便于機構尺度設計，需要消除機構尺寸參數的物理屬性，將物理參數d1、d2、d3轉換為量綱一參數變量r1、r2、r3[21-22],即

(26)

其中，歸一化因數D=(d1+d2+d3)/3，為保障該機構能夠成功裝配，量綱一尺寸參數r1、r2、r3應滿足：

(27)

根據式(26)和式(27)，可將三維設計空間轉換為等效的二維平面空間，其轉換關系為

(28)

其中，s、t分別為二維空間的橫縱坐標，如圖7所示。

(a)三維設計空間 (b)二維設計空間

機構工作空間與GCI性能圖譜分別見圖8a和圖8b，可以看出，r1越小，工作空間性能指標N值越大，GCI值VGCI越小。考慮到機構在實際的工程應用中所計算出的數值最優解并不一定能滿足設計要求[20]，故綜合選取優化目標：N>0.2、VGCI>0.03。圖8c中綠色背景區域即為綜合性能最優區間，本設計選擇圖8c中坐標點(1.595,0.679)對應值作為尺度設計參數，根據式(26)、式(27)可求得如下三個量綱一參數：r1=0.679、r2=1.280、r3=1.042。參考人體雙臂結構，設置d1=175 mm，可求得相應的尺寸參數。在對性能影響特別小的情況下，為加工制造方便，對求得的參數取整可得優化后的機構尺寸為d2=330 mm、d3=269 mm。

(a)N

5 機構性能分析

5.1 工作空間分析

由于該機構支鏈少，故其工作空間主要受限于兩驅動球鉸和三個虎克鉸的運動范圍。本文采用文獻[23]所設計的球面運動發生器作為主動球副，其傾斜角運動范圍為±60°，滾轉角度則不受限制，即

0.5≤cosαicosβi≤1

(29)

如圖9所示，連桿1和連桿2由虎克鉸相連，θ1、θ2分別為兩桿的旋轉角，易知連桿2相對于連桿1的旋轉矩陣為

圖9 虎克鉸三維模型及幾何尺寸

B=Rx(θ1)Ry(θ2)=

(30)

連桿1和連桿2相對于定坐標系的姿態矩陣分別為R1和R2,則連桿2相對于連桿1的旋轉矩陣也可表示為

(31)

根據式(30)可得

(32)

其中，Bij為矩陣B的第i行、第j列的元素。

本文中虎克鉸的結構參數為a1=25 mm、a2=20 mm、l1=50 mm、l2=40 mm、b=10 mm，根據文獻[24]，可計算得虎克鉸的干涉曲線及工作空間，如圖10所示。

(a)干涉曲線 (b)工作空間

根據主動球副和虎克鉸的工作空間，由運動學逆解，可計算得到機構的可達工作空間，如圖11所示，其為一個畸形外凸面，內部存在兩個關于平面X=0對稱的類橢球狀空腔。圖12a～圖12c所示分別為可達工作空間在XOY、XOZ、YOZ三平面上的投影輪廓，可以看出，該機構各方向的最大可達范圍為：X∈[-390,400]mm、Y∈[-539,539]mm、Z∈[-151,562]mm，體積為0.206 m3。

圖11 三維實體透視圖

(a)XOY平面投影

為便于研究該機構末端位置處于零姿態(α=β=γ=0°)時的運動性能，圖13給出了零姿態下機構的位置工作空間。相比于可達工作空間，由于各關節的限制，該機構的位置工作空間體積相對較小，為0.035 m3。

圖13 零姿態下位置工作空間

在文獻[25]所述的尺寸參數下，將本機構與傳統6-RUS機構進行對比，分析發現與6-RUS機構相比，本機構的可達工作空間體積增大了58%，如表2所示。

表2 可達工作空間對比

5.2 靈巧度性能分析

通過對機構局部條件數指標LCI進行分析計算，可得到它在位置工作空間內不同平面上的分布情況，如圖14所示。

圖14 零姿態下LCI分布

本文選擇LCI值VLCI處于0.04～0.06區間內時作為靈巧工作空間[26]。由圖14分析可知，各工作平面內的最優性能范圍隨Z值的增大而先增大后減小。當Z=400 mm時，靈巧工作空間的范圍達到最大，占該工作平面的22.89%。圖14還給出了各工作平面上的最大靈巧度指標值。在靈巧工作空間內，機構的性能指標變化平穩、連續，未出現突變，表明機構在該范圍運動時具有較好的運動性能。

5.3 承載能力性能分析

對機構的最小承載力‖Fmin‖進行分析計算，可得到它在位置工作空間內不同平面上的分布情況，如圖15所示。

在零姿態位置工作空間內，承載力性能指標‖Fmin‖的分布與靈巧度性能相似，其幅值變化較小，分布均勻。‖Fmin‖處于0.4～0.6區間內時，機構的承載力性能相對較好，此時為工作平面上的最優承載能力工作空間。由圖15分析可知，處于Z=200 mm平面時，最優承載能力工作空間最大，占該工作平面的12.02%。各工作平面內‖Fmin‖的最大值已在圖15中給出。在最優承載能力工作空間內，承載力性能指標變化較為平穩，表明機構具有良好的承載能力。

圖15 零姿態下‖Fmin‖分布

5.4 剛度性能分析

本文取k=1000 N/m[19]，對該機構的局部剛度指標LSI進行分析計算，得到了Z=400 mm工作平面內機構在各方向上LSI的分布情況，如圖16所示。

(a)x方向 (b)y方向 (c)z方向

從圖16中可以看出，各方向上的局部剛度分布并不對稱。x、y、z方向上的剛度在0.2×105～2.2×105N·m內變化，X<0時的剛度普遍高于X>0時的剛度。機構處于零姿態時，可觀察到α、β、γ方向上的剛度變化范圍分別為0.2×103～1×103N·m/rad、0.4×103～2×103N·m/rad和0.6×104～1.6×104N·m/rad。相對而言，γ方向具有更好的剛度性能。

6 機構的應用

圖17所示為該機構的3D打印樣機模型，它能實現六個自由度的運動，同時其結構相對緊湊。為實現球副驅動功能，可采用球面運動(spherical motion generator，SMG)[27]作為主動球副，如圖18所示，SMG本質是一個3-RRR球面并聯機構，其末端輸出的球面運動即可作為本機構的主動球副輸入。

圖17 3D打印樣機模型

圖18 球形運動發生器

如圖19所示，將該機構作為人體外骨骼或運用到上肢康復訓練中，能夠有效地模擬人體肩、肘、腕關節的聯合運動，與常規的康復機構相比，其結構更簡單，安裝空間更緊湊，便于控制同時保障其運動性能。

圖19 上肢康復

在風洞試驗中，受阻塞效應的影響越小，試驗結果的準確性越高，將來流方向被測模型的投影面積與風洞試驗段截面積的比值(即阻塞比)作為衡量標準[28]。相比于傳統的試驗裝置[29]，該機構的投影面積得到了進一步縮小，使在同等截面大小的風洞中阻塞比由5.40%下降至2.03%，如圖20a～圖20c所示。故本文所設計的機構可運用于風洞試驗，兩支鏈機構在擁有較大工作空間的同時，結構緊湊簡單，能有效減小阻塞比，進而可保證風洞試驗的準確性。

(a)傳統風洞試驗裝置三維模型

7 結論

(1)提出了一種新型雙支鏈六自由度并聯機構，在描述了該機構組成及特點的基礎上，對該機構進行了位置分析得到其位置逆解并求解出了雅可比矩陣。

(2)基于工作空間大小和運動靈巧度性能指標，利用性能圖譜法完成了所提機構的尺度設計，得到了符合工程實際的尺寸參數。

(3)結合各關節的約束條件獲得了所提機構的可達工作空間，對其靈巧度、承載能力及剛度性能指標進行了分析并作出了性能圖譜。

(4)區別于傳統六自由度并聯機構，所提機構只有兩條支鏈，結構更緊湊，工作空間得到了擴展，可望在康復、風洞試驗等相關領域得到有效應用。