五軸機(jī)床的運(yùn)動(dòng)學(xué)坐標(biāo)變換關(guān)系研究

張永濤，馬文浩，魏躍斌

(陜西飛機(jī)工業(yè)有限責(zé)任公司，陜西 漢中 723215)

基于裝備制造業(yè)及數(shù)控加工技術(shù)的迅速發(fā)展，五軸聯(lián)動(dòng)數(shù)控加工技術(shù)得到了廣泛的應(yīng)用。五軸數(shù)控機(jī)床在加工曲面、回轉(zhuǎn)體類等復(fù)雜零件加工方面具有顯著的優(yōu)勢，而且秉承著“一次裝夾、多工序的加工”理念[1]，不僅能夠提高生產(chǎn)效率，而且提高了產(chǎn)品的加工質(zhì)量。

五軸機(jī)床運(yùn)動(dòng)學(xué)模型較為復(fù)雜，可簡單理解為多體拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)形式[2]，機(jī)床加工時(shí)的刀具末端理解為一個(gè)點(diǎn)位，即五軸機(jī)床實(shí)際加工過程控制的則是點(diǎn)位的坐標(biāo)運(yùn)動(dòng)軌跡[3]。所以實(shí)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)學(xué)坐標(biāo)變換關(guān)系的分析研究，需要建立運(yùn)動(dòng)學(xué)模型[4]，并通過齊次坐標(biāo)變換矩陣，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的計(jì)算與求解。

通過建立的五軸機(jī)床運(yùn)動(dòng)學(xué)坐標(biāo)的變換，不僅更容易理解五軸機(jī)床的運(yùn)動(dòng)方式，也為后續(xù)數(shù)控編程過程中的后置處理奠定了基礎(chǔ)。

1 五軸機(jī)床的主要類型

五軸機(jī)床主要采用X、Y、Z、A、B、C中任意5個(gè)坐標(biāo)的線性插補(bǔ)運(yùn)動(dòng)，五軸加工所采用的機(jī)床通常稱為五軸機(jī)床或五軸加工中心，從廣義的角度來說，五軸機(jī)床分2種：一種是五軸聯(lián)動(dòng)，即5個(gè)軸都可以同時(shí)聯(lián)動(dòng)；另外一種是五軸定位加工，實(shí)際上是五軸三聯(lián)動(dòng)，即2個(gè)旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)定位，只有3個(gè)軸可以同時(shí)聯(lián)動(dòng)加工，這種俗稱3+2模式的五軸機(jī)床[5]，也可以理解為假五軸。

本文主要闡述說明的是第1種五軸聯(lián)動(dòng)，即5個(gè)軸可以同時(shí)聯(lián)動(dòng)，按照矢量軸的分布規(guī)律，坐標(biāo)系類型如圖1所示。

圖1a中，轉(zhuǎn)頭和轉(zhuǎn)臺(tái)型數(shù)控機(jī)床坐標(biāo)包括X、Y、Z等3個(gè)移動(dòng)坐標(biāo)軸和A、B等2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)軸，A軸以X軸為矢量軸，在ZOX平面內(nèi)做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，B軸作為工件裝夾的直接載體，以X軸為矢量軸，在XOY平面內(nèi)做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。雙轉(zhuǎn)臺(tái)式數(shù)控機(jī)床實(shí)際加工的特點(diǎn)是在加工過程中，主軸只做切削運(yùn)動(dòng)，工作臺(tái)只是旋轉(zhuǎn)而不是出現(xiàn)擺動(dòng)，主軸在同一平面內(nèi)進(jìn)行擺動(dòng)，整個(gè)加工過程較平穩(wěn)，適宜加工難切削的材料。

圖1b中，雙轉(zhuǎn)臺(tái)型數(shù)控機(jī)床的坐標(biāo)軸包括X、Y、Z等3個(gè)移動(dòng)坐標(biāo)軸和A、B等2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)軸，運(yùn)動(dòng)方式同轉(zhuǎn)頭和轉(zhuǎn)臺(tái)型機(jī)床一致，A軸以X軸為矢量軸在ZOX平面內(nèi)做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，B軸作為工件裝夾的直接載體，以Y軸為矢量鈾。在XOY平而內(nèi)做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。工作時(shí)，工件放置在工作臺(tái)，不參與旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。矢量旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)主要集中在主軸上。因此適用于大型工作的加工。該類型機(jī)床主要用于大型五軸機(jī)床。

圖1c中，雙轉(zhuǎn)頭型數(shù)控機(jī)床的坐標(biāo)包括X、Y、Z等3個(gè)移動(dòng)坐標(biāo)軸和B、C等2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)軸，B軸以Y軸為矢量軸，在XOY半面內(nèi)做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，C軸作為工作臺(tái)，以Z軸為矢量軸。在ZOX平面內(nèi)做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，此類五軸機(jī)床加工適用面廣，切削穩(wěn)定，因此大部分機(jī)床如德瑪吉五軸加工中心、車銑復(fù)合加工中心等多采用此類機(jī)床構(gòu)造。圖2所示分別為車銑復(fù)合加工中心機(jī)床及其坐標(biāo)系圖例，本文以車銑復(fù)合加工中心坐標(biāo)系為例，通過齊次變換矩陣，對(duì)五軸帶轉(zhuǎn)頭和轉(zhuǎn)臺(tái)機(jī)床的坐標(biāo)變換關(guān)系展開分析研究，為典型五軸機(jī)床的坐標(biāo)變換奠定一定的理論基礎(chǔ)，并為機(jī)床后置處理系統(tǒng)開發(fā)提供一定的理論支撐。

2 五軸帶轉(zhuǎn)頭和轉(zhuǎn)臺(tái)機(jī)床運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

2.1 坐標(biāo)變換

刀具相對(duì)于零件做回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，通過旋轉(zhuǎn)軸上一點(diǎn)，或者旋轉(zhuǎn)軸線矢量(即坐標(biāo)系Z軸)做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，這樣就可以確定刀具相對(duì)于加工零件的位置，在加工異形回轉(zhuǎn)體零件時(shí)，至少應(yīng)確定5個(gè)獨(dú)立的自由度[6]。按照《數(shù)控機(jī)床坐標(biāo)和運(yùn)動(dòng)方向的命名》標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定[7]，獨(dú)立的平移軸最多為3個(gè)，因此五軸帶轉(zhuǎn)頭和轉(zhuǎn)臺(tái)機(jī)床運(yùn)動(dòng)形式為3個(gè)平移軸和2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)軸。

2.2 相對(duì)于矢量運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)變換

在三維坐標(biāo)空間中，對(duì)坐標(biāo)變換做進(jìn)一步研究，能夠直觀、定性地分析出車銑五軸聯(lián)動(dòng)加工的基本變換原理[8]，并且在數(shù)控加工過程中，使用手工編程、自動(dòng)編程時(shí)，明確加工時(shí)的刀具以及零件的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，在開發(fā)數(shù)控機(jī)床后置處理時(shí)，也有廣泛的應(yīng)用[9]。

研究坐標(biāo)變換主要為機(jī)床試驗(yàn)加工零件來服務(wù)，當(dāng)機(jī)床進(jìn)行加工時(shí)，刀軸平移的方向?yàn)閄向、Y向以及Z向，刀軸的旋轉(zhuǎn)矢量方向?yàn)閅向和Z向(見圖3)。因此，基本的坐標(biāo)變換主要思路為對(duì)刀具點(diǎn)位、刀具旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)、刀軸旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)進(jìn)行坐標(biāo)平移和變換。

圖3中，假設(shè)機(jī)床在運(yùn)動(dòng)前的點(diǎn)位坐標(biāo)為(X1、Y1、Z1)，在經(jīng)過一系列刀尖點(diǎn)位的平移，設(shè)定移動(dòng)后的坐標(biāo)為(X2、Y2、Z2)。通過移動(dòng)前后的點(diǎn)位坐標(biāo)的變換關(guān)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)方程計(jì)算如下：

X2=a1X1+b1Y1+c1Z1+ω1

Y2=a2X1+b2Y1+c2Z1+ω2

Z2=a3X1+b3Y1+c3Z1+ω3

(1)

式中，a1、a2、a3、b1、b2、b3、c1、c2、c3為待定系數(shù)；ω1、ω2、ω3為平移的變換系數(shù)。

在研究齊次坐標(biāo)變換時(shí)，為了表示三維空間中坐標(biāo)的具體定義，一般在坐標(biāo)的后面加“0”，表示n維向量，加“1”則表示具體的n維坐標(biāo)。圖3所示原始的坐標(biāo)值可直接表示為：

(2)

此時(shí)，圖中坐標(biāo)變換的表達(dá)式可記為：

(3)

3 坐標(biāo)變換關(guān)系計(jì)算

在上述分析過程中，已對(duì)五軸帶轉(zhuǎn)頭和轉(zhuǎn)臺(tái)機(jī)床的坐標(biāo)變換及相對(duì)于矢量運(yùn)動(dòng)做了進(jìn)一步的說明，并使用變換矩陣來表示三維空間中的坐標(biāo)變換。其中坐標(biāo)變換主要包括坐標(biāo)平移和坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)。

3.1 坐標(biāo)平移

坐標(biāo)的平移是指在三維空間內(nèi)，主軸(即刀軸)在平行于X、Y、Z方向的移動(dòng)[10](見圖4)。筆者在做進(jìn)一步分析研究時(shí)，可將其拆解為沿X、Y、Z方向的基本平移變換。

假設(shè)刀具的起始點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)為O1點(diǎn)，其點(diǎn)位坐標(biāo)(X1、Y1、Z1)經(jīng)過一系列位移平移，終點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)為O2點(diǎn)，坐標(biāo)值為(X2、Y2、Z2)，根據(jù)式1，O1點(diǎn)與O2點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系式表達(dá)如下：

(4)

式中，a1、b1、c1為待定系數(shù)；ω1、ω2、ω3為平移的變換系數(shù)。

將待定系數(shù)及變換系數(shù)帶入式3中，矩陣表示為：

(5)

同理可得：X方向的平移變換矩陣的表達(dá)式為：

(6)

Y方向的平移變換矩陣的表達(dá)式為：

(7)

Z方向的平移變換矩陣的表達(dá)式為：

(8)

3.2 坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)

車銑復(fù)合加工中心可以實(shí)現(xiàn)繞軸旋轉(zhuǎn)功能，本文分別用θb和θc表示繞Y軸與C軸的旋轉(zhuǎn)角度。刀具做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)后，如果只討論旋轉(zhuǎn)角度，不考慮機(jī)床平移軸的運(yùn)動(dòng)，加工過程中零件就會(huì)切傷。因此在討論坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)時(shí)，可以運(yùn)用旋轉(zhuǎn)矩陣來表示。

在直角坐標(biāo)系O-XYZ中(見圖5)，假設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y，z)，分別投影在YZ平面、XZ平面、XY平面中，坐標(biāo)分別為A(0，y，z)、B(x，0，z)、C(x，y，0)。

刀軸初始位置平行于Z軸，沿Y軸做回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。以Y軸作為回轉(zhuǎn)軸進(jìn)行運(yùn)動(dòng)時(shí)，其三維坐標(biāo)系中，對(duì)應(yīng)的Y軸矢量不變，為簡化計(jì)算，將三維坐標(biāo)系簡化為XZ平面，推導(dǎo)旋轉(zhuǎn)變換矩陣(見圖6)。

設(shè)旋轉(zhuǎn)后坐標(biāo)系為X1Z1平面，坐標(biāo)系沿Y軸旋轉(zhuǎn)θ，XZ平面中P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后為P1點(diǎn)，對(duì)應(yīng)Z、X軸投影點(diǎn)位分別為B點(diǎn)和C點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)后為B1點(diǎn)和C1點(diǎn)，設(shè)OP長度為R，∠POB為a，可計(jì)算得到：

(9)

(10)

將式10展開得到：

(11)

將式9帶入式11中，通過計(jì)算可得到：

(12)

通過旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)可表示為：

(13)

用矩陣表示為：

(14)

同理，使用上述計(jì)算式可推導(dǎo)出坐標(biāo)系O-XYZ繞Z軸旋轉(zhuǎn)θ得到O-XYZ坐標(biāo)系的變換矩陣為：

(15)

4 結(jié)語

本文基于五軸數(shù)控機(jī)床加工過程中比較復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)學(xué)轉(zhuǎn)換問題，通過對(duì)五軸帶轉(zhuǎn)頭和轉(zhuǎn)臺(tái)機(jī)床的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析、以車銑復(fù)合加工中心機(jī)床為例，并對(duì)典型五軸機(jī)床的坐標(biāo)系搭載規(guī)則進(jìn)行了分析研究，運(yùn)用數(shù)學(xué)方式，對(duì)坐標(biāo)系的平移、旋轉(zhuǎn)進(jìn)行計(jì)算，推導(dǎo)了相對(duì)于矢量運(yùn)動(dòng)的齊次坐標(biāo)變換矩陣，通過計(jì)算得到坐標(biāo)平移和旋轉(zhuǎn)的變換矩陣，為研究數(shù)控機(jī)床的運(yùn)動(dòng)學(xué)提供了一定的理論支撐。