五軸機床的運動學坐標變換關系研究

張永濤，馬文浩，魏躍斌

(陜西飛機工業有限責任公司，陜西 漢中 723215)

基于裝備制造業及數控加工技術的迅速發展，五軸聯動數控加工技術得到了廣泛的應用。五軸數控機床在加工曲面、回轉體類等復雜零件加工方面具有顯著的優勢，而且秉承著“一次裝夾、多工序的加工”理念[1]，不僅能夠提高生產效率，而且提高了產品的加工質量。

五軸機床運動學模型較為復雜，可簡單理解為多體拓撲結構形式[2]，機床加工時的刀具末端理解為一個點位，即五軸機床實際加工過程控制的則是點位的坐標運動軌跡[3]。所以實現運動學坐標變換關系的分析研究，需要建立運動學模型[4]，并通過齊次坐標變換矩陣，進而實現運動學模型的計算與求解。

通過建立的五軸機床運動學坐標的變換，不僅更容易理解五軸機床的運動方式，也為后續數控編程過程中的后置處理奠定了基礎。

1 五軸機床的主要類型

五軸機床主要采用X、Y、Z、A、B、C中任意5個坐標的線性插補運動，五軸加工所采用的機床通常稱為五軸機床或五軸加工中心，從廣義的角度來說，五軸機床分2種：一種是五軸聯動，即5個軸都可以同時聯動；另外一種是五軸定位加工，實際上是五軸三聯動，即2個旋轉軸旋轉定位，只有3個軸可以同時聯動加工，這種俗稱3+2模式的五軸機床[5]，也可以理解為假五軸。

本文主要闡述說明的是第1種五軸聯動，即5個軸可以同時聯動，按照矢量軸的分布規律，坐標系類型如圖1所示。

圖1a中，轉頭和轉臺型數控機床坐標包括X、Y、Z等3個移動坐標軸和A、B等2個轉動軸，A軸以X軸為矢量軸，在ZOX平面內做旋轉運動，B軸作為工件裝夾的直接載體，以X軸為矢量軸，在XOY平面內做旋轉運動。雙轉臺式數控機床實際加工的特點是在加工過程中，主軸只做切削運動，工作臺只是旋轉而不是出現擺動，主軸在同一平面內進行擺動，整個加工過程較平穩，適宜加工難切削的材料。

圖1b中，雙轉臺型數控機床的坐標軸包括X、Y、Z等3個移動坐標軸和A、B等2個轉動坐標軸，運動方式同轉頭和轉臺型機床一致，A軸以X軸為矢量軸在ZOX平面內做旋轉運動，B軸作為工件裝夾的直接載體，以Y軸為矢量鈾。在XOY平而內做旋轉運動。工作時，工件放置在工作臺，不參與旋轉運動。矢量旋轉運動主要集中在主軸上。因此適用于大型工作的加工。該類型機床主要用于大型五軸機床。

圖1c中，雙轉頭型數控機床的坐標包括X、Y、Z等3個移動坐標軸和B、C等2個轉動坐標軸，B軸以Y軸為矢量軸，在XOY半面內做旋轉運動，C軸作為工作臺，以Z軸為矢量軸。在ZOX平面內做旋轉運動，此類五軸機床加工適用面廣，切削穩定，因此大部分機床如德瑪吉五軸加工中心、車銑復合加工中心等多采用此類機床構造。圖2所示分別為車銑復合加工中心機床及其坐標系圖例，本文以車銑復合加工中心坐標系為例，通過齊次變換矩陣，對五軸帶轉頭和轉臺機床的坐標變換關系展開分析研究，為典型五軸機床的坐標變換奠定一定的理論基礎，并為機床后置處理系統開發提供一定的理論支撐。

2 五軸帶轉頭和轉臺機床運動學分析

2.1 坐標變換

刀具相對于零件做回轉運動，通過旋轉軸上一點，或者旋轉軸線矢量(即坐標系Z軸)做旋轉運動，這樣就可以確定刀具相對于加工零件的位置，在加工異形回轉體零件時，至少應確定5個獨立的自由度[6]。按照《數控機床坐標和運動方向的命名》標準規定[7]，獨立的平移軸最多為3個，因此五軸帶轉頭和轉臺機床運動形式為3個平移軸和2個轉動軸。

2.2 相對于矢量運動的坐標變換

在三維坐標空間中，對坐標變換做進一步研究，能夠直觀、定性地分析出車銑五軸聯動加工的基本變換原理[8]，并且在數控加工過程中，使用手工編程、自動編程時，明確加工時的刀具以及零件的運動規律，在開發數控機床后置處理時，也有廣泛的應用[9]。

研究坐標變換主要為機床試驗加工零件來服務，當機床進行加工時，刀軸平移的方向為X向、Y向以及Z向，刀軸的旋轉矢量方向為Y向和Z向(見圖3)。因此，基本的坐標變換主要思路為對刀具點位、刀具旋轉運動、刀軸旋轉運動進行坐標平移和變換。

圖3中，假設機床在運動前的點位坐標為(X1、Y1、Z1)，在經過一系列刀尖點位的平移，設定移動后的坐標為(X2、Y2、Z2)。通過移動前后的點位坐標的變換關系，運用數學方程計算如下：

X2=a1X1+b1Y1+c1Z1+ω1

Y2=a2X1+b2Y1+c2Z1+ω2

Z2=a3X1+b3Y1+c3Z1+ω3

(1)

式中，a1、a2、a3、b1、b2、b3、c1、c2、c3為待定系數；ω1、ω2、ω3為平移的變換系數。

在研究齊次坐標變換時，為了表示三維空間中坐標的具體定義，一般在坐標的后面加“0”，表示n維向量，加“1”則表示具體的n維坐標。圖3所示原始的坐標值可直接表示為：

(2)

此時，圖中坐標變換的表達式可記為：

(3)

3 坐標變換關系計算

在上述分析過程中，已對五軸帶轉頭和轉臺機床的坐標變換及相對于矢量運動做了進一步的說明，并使用變換矩陣來表示三維空間中的坐標變換。其中坐標變換主要包括坐標平移和坐標旋轉。

3.1 坐標平移

坐標的平移是指在三維空間內，主軸(即刀軸)在平行于X、Y、Z方向的移動[10](見圖4)。筆者在做進一步分析研究時，可將其拆解為沿X、Y、Z方向的基本平移變換。

假設刀具的起始點坐標原點為O1點，其點位坐標(X1、Y1、Z1)經過一系列位移平移，終點坐標原點為O2點，坐標值為(X2、Y2、Z2)，根據式1，O1點與O2點坐標關系式表達如下：

(4)

式中，a1、b1、c1為待定系數；ω1、ω2、ω3為平移的變換系數。

將待定系數及變換系數帶入式3中，矩陣表示為：

(5)

同理可得：X方向的平移變換矩陣的表達式為：

(6)

Y方向的平移變換矩陣的表達式為：

(7)

Z方向的平移變換矩陣的表達式為：

(8)

3.2 坐標旋轉

車銑復合加工中心可以實現繞軸旋轉功能，本文分別用θb和θc表示繞Y軸與C軸的旋轉角度。刀具做旋轉運動后，如果只討論旋轉角度，不考慮機床平移軸的運動，加工過程中零件就會切傷。因此在討論坐標旋轉時，可以運用旋轉矩陣來表示。

在直角坐標系O-XYZ中(見圖5)，假設點P的坐標為(x，y，z)，分別投影在YZ平面、XZ平面、XY平面中，坐標分別為A(0，y，z)、B(x，0，z)、C(x，y，0)。

刀軸初始位置平行于Z軸，沿Y軸做回轉運動。以Y軸作為回轉軸進行運動時，其三維坐標系中，對應的Y軸矢量不變，為簡化計算，將三維坐標系簡化為XZ平面，推導旋轉變換矩陣(見圖6)。

設旋轉后坐標系為X1Z1平面，坐標系沿Y軸旋轉θ，XZ平面中P點旋轉后為P1點，對應Z、X軸投影點位分別為B點和C點，旋轉后為B1點和C1點，設OP長度為R，∠POB為a，可計算得到：

(9)

(10)

將式10展開得到：

(11)

將式9帶入式11中，通過計算可得到：

(12)

通過旋轉后的坐標可表示為：

(13)

用矩陣表示為：

(14)

同理，使用上述計算式可推導出坐標系O-XYZ繞Z軸旋轉θ得到O-XYZ坐標系的變換矩陣為：

(15)

4 結語

本文基于五軸數控機床加工過程中比較復雜的運動學轉換問題，通過對五軸帶轉頭和轉臺機床的運動學分析、以車銑復合加工中心機床為例，并對典型五軸機床的坐標系搭載規則進行了分析研究，運用數學方式，對坐標系的平移、旋轉進行計算，推導了相對于矢量運動的齊次坐標變換矩陣，通過計算得到坐標平移和旋轉的變換矩陣，為研究數控機床的運動學提供了一定的理論支撐。