一種基于優化的毫米波信道估計算法研究

謝廣成，蘇 宇，曾 妍，程瑛穎

(國家電網重慶市電力公司，重慶 401121)

0 引 言

毫米波頻段尚存大量未用頻譜，是下一代移動通信的主要選擇[1]。毫米波具有極高的頻率選擇性衰落，不適合室外遠距離無線通信。毫米波和大規模多輸入多輸出(Multiple Input Multiple Output，MIMO)可以相輔相成，共同發揮起各自的優勢[2]。然而，毫米波大規模MIMO天線系統射頻鏈路更多，所以功耗更大，其中模數轉換器(Analog-to-Digital Converter，ADC)的功耗在整個射頻鏈路中占主導地位[3]。

文獻[4]假設接收端已知信道狀態信息(Channel State Information，CSI)，全面分析了接收端使用低分辨率ADC時毫米波MIMO系統的信道容量、頻譜效率和功耗等；文獻[5]利用毫米波信道在角度域和延遲域的聯合稀疏性，將信道估計問題轉化為含噪量化稀疏信號重構問題，結合最大化期望算法(Expectation Maximization, EM)和近似消息傳遞算法(Approximately Message Passing, AMP)，提出了EM-AMP算法求解該重構問題。

本文將信道估計問題分為兩個階段，提出了一種基于優化的估計算法。第1階段利用低精度ADC量化后接收信號的幅度信息作為約束條件，構造優化問題，估計波達方向，并提出歸一化梯度下降法(Normalized Gradient Descent, NGD)求解該優化問題；第2階段根據第1階段估計的波達方向，使用Bussgang分解(Bussgang Decomposition，BD)模型近似非線性量化過程，得到信道復增益的最小二乘估計。本文所提算法稱為NGD-BD算法。

1 系統模型

本文考慮低分辨率ADC下窄帶毫米波MIMO系統上行鏈路，K個單天線用戶位于同一小區，Nr為基站天線數量。如圖1所示，基站側每個射頻鏈路配備兩個低分辨率ADC分別用于量化接收信號的同相分量和正交分量。

圖1 低分辨率ADC下MIMO系統模型

毫米波信道采用角度域Saleh-Valenzuela信道模型[6]：

式中：H∈Nr×K為毫米波信道矩陣；Npath為毫米波信道路徑數；αn為第n條路徑的復信道增益；φn和θn分別為第n條路徑的到達角和離開角，在區間[-π/2,π/2]上均勻分布；ar∈Nr和at∈K分別為接收端和發送端的陣列響應矢量。定義：

式中：diag{·}為對角運算；Λ∈Npath×Npath為對角矩陣；AR∈Nr×Npath和AT∈K×Npath分別為接收陣列響應矩陣和發送陣列響應矩陣。

將接收陣列響應矩陣和發送陣列響應矩陣字典化，可得到毫米波信道的等效模型[7～8]：

式中：UR∈Nr×Nr和UT∈K×K分別為接收端字典矩陣和發送端字典矩陣；HS∈Nr×K為等效信道矩陣。

等效信道矩陣HS中較大元素的位置對應波達方向，其值表示毫米波信道復增益。信道矩陣的稀疏網格化表示將信道估計問題轉化為波達方向和信道復增益的參數估計問題，即估計等效信道矩陣較大元素的位置和值。

2 毫米波信道估計

2.1 問題的數學描述

在訓練階段，令X∈K×P為訓練矩陣，式中，P為導頻長度[9]。訓練矩陣取X=UTZ，式中，Z為等效訓練矩陣，故有：

式中：R為量化后接收矩陣；Y為量化前接收矩陣；N為噪聲矩陣；Q(·)為量化運算；vec(·)為列向量化。經過下列對應：

式(2)可表示為

式中：r∈2NrP×1為量化后接收信號；y∈2NrP×1為量化前接收信號；Φ∈2NrP×2NrK為感知矩陣；h∈2NrK×1為信道向量；n∈2NrP×1為噪聲向量。

信道估計問題轉化為稀疏信號重構問題：已知量化后接收信號r和等效訓練矩陣Z，估計信道向量h。

2.2 波達方向估計

均勻量化的實現過程可概括為，接收信號經過采樣保持電路后，通過電壓比較器與若干基準電壓比較，得到量化后接收信號，文獻[7]給出了ADC的量化比特數與基準電壓的關系。根據式(3)給出的問題描述，r的值反映了y的取值范圍：

式中：l和u分別為Φh的下界和上界。重構稀疏信道向量h可理解為在滿足幅度約束條件的所有可行解中尋找最稀疏解。文獻[8]證明l1范數可近似為l0范數衡量向量稀疏性，將重構問題建模為如下優化問題：

若下界為零向量，上述優化問題的最優解恒為零向量。為了得到上述優化問題的非平凡解，對信道向量的模加以限制：

l1和l2范數在n空間均為凸函數，因此優化問題式(4)為凸優化問題。人為引入模約束條件縮小了優化問題的可行解集，不等式約束可看作超平面分割出的半空間，可行解集由半空間之間的并集縮小為單位球內半空間的并集。同時，模約束條件會影響估計信道增益的準確性，但由于該階段只需要確定波達方向，即信道向量支撐集，模約束條件引入的信道增益誤差不影響支撐集的判斷。

為了消除不等式約束對可行解集的影響，利用拉格朗日函數，式(4)可松弛為

式中：λ為松弛因子；(·)i為括號內向量的第i個元素；f(t)=t2μ(-t)/2為單邊二次罰函數，μ(t)為階躍函數。文獻[10]證明當λ趨于正無窮時，式(4)與其松弛優化問題式(5)有相同的最優解。

單邊二次罰函數是光滑凸函數，為了滿足約束條件，提出NGD算法求解約束問題式(5)。本文所提算法考慮了單邊二次罰函數對目標函數的影響，更新梯度計算過程，將目標函數的梯度投影到單位球上，同時在算法每次迭代后歸一化當前最優解，使其滿足單位模約束條件。

定義式(5)的目標函數為代價函數J(h)：

代價函數的最速下降方向為負梯度方向。單邊二次罰函數與范數均為凸函數且λ>0，凸函數的非負加權求和為凸函數，所以代價函數為凸函數。若不考慮單位模約束，代價函數取最小值時梯度為零向量：

式中：δ/λ為梯度下降步長；sign(·)為符號函數。收縮函數本質上表示每次迭代過程代價函數在l1范數分量的變化值。

圖2 收縮曲線函數

收縮函數雖然解決了hi=0時該維度導數不存在的問題，卻帶來了新的問題：若hi∈(-δ/λ,δ/λ)且hi≠0，此時該維度上l1范數分量仍有優化空間，但每次迭代變化值恒為0。引入收縮函數帶來的問題并不影響最終結果，其原因是：第1，在理想情況下，優化問題所得最優解h*應嚴格稀疏，但由于測量值受噪聲影響，通常最優解為近似稀疏向量，不管是否引入收縮函數，所得最優解均為近似稀疏；第2，為了保證式(4)與式(5)有相同的最優解，λ取較大實數，故區間長度2δ/λ較小，導致算法迭代終止時hi的值為接近0的較小常數，該值不影響支撐集的判斷。第1階段只需估計波達方向，最優解支撐集外元素值的小幅波動不影響支撐集的判斷。

歸一化梯度下降法每次迭代時，首先計算單邊二次罰函數的梯度，為了滿足約束條件，需將該梯度投影到單位球上，然后依次在罰函數與l1范數方向上更新優化變量。

步驟 4：l1范數分量上梯度下降(v)i=S((p)i)；

為了確保式(4)與式(5)有相同的最優解，算法執行時應選擇較大的松弛因子λ。λ的值先驗未知，可預先通過測試確定。首先取λ為一較小常數得到最優解，再增大λ重新測試，若相鄰測試結果的歸一化均方誤差(Normalized Mean Squared Error, NMSE)小于某一門限值，則終止測試，返回最優解。

2.3 毫米波信道增益估計

由于低分辨率ADC的非線性特性，可應用BD對非線性量化過程進行建模，服從高斯分布的輸入信號經過非線性量化器后，輸出信號可表示為信號分量與不相關量化噪聲分量之和，由式(3)可得：

式中:nq為量化噪聲；ηb為量化輸出與輸入之間的NMSE，定義為ηbE{|Q(y)-y|2}/E{|y|2}，其值由ADC量化比特數b決定，如表1所示。

表1 NMSE

信道估計第1階段估計出信道向量的支撐集SUPP，記感知矩陣Φ對應支撐集索引的子矩陣為ΦSUPP，則信道向量支撐集內元素的最小二乘估計：

2.4 計算復雜度分析

本節分析所提信道估計算法的計算復雜度。式(3)中感知矩陣Φ∈2NrP×2NrK，代價函數導數的計算復雜度為矩陣與向量相乘的計算復雜度O(NrP)[5]，第2階段需計算ΦSUPP的偽逆矩陣，由于毫米波信道的稀疏性，ΦSUPP具有較少的列，因此其偽逆矩陣的計算復雜度可近似為O(1)[5]。綜上所述，所提信道估計算法計算復雜度為O(NrP)。表2所示為期望最大-向量近似消息傳遞(Expectation Maximization-Vector Approximate Message Passing，EM-VAMP)[5]和線性最小均方誤差(Linear Minimum Mean Square Error，LMMSE)算法[4]的計算復雜度，本文所提算法的計算復雜度遠低于傳統LMMSE算法與目前最先進的EM-VAMP算法。

表2 計算復雜度

3 仿真分析

假設接收端理想同步，對兩種信道環境進行 1 000次蒙特卡洛仿真。表3所示為仿真配置參數。

表3 仿真配置參數

圖3所示為LoS場景下波達方向估計成功率，ADC精度分別為1、2、3和4 bit時，波達方向估計成功率依次在-2、-3、-3和-4 dB，達到百分之百。

圖3 LoS信道下波達方向估計成功率

圖4 LoS信道下NMSE

NLoS場景下，波達方向估計成功率，ADC精度分別為1、2、3和4 bit時，波達方向估計成功率依次在8、2、-2和-2 dB，達到百分之百。

圖5 NLoS信道下波達方向估計成功率

圖6所示為NLoS場景下本文所提NGD-BD與EM-VAMP算法在不同ADC精度下的NMSE曲線。接收端使用2 bit ADC精度時，LoS信道下隨機共振現象不明顯，但NLoS信道下該現象較明顯。接收端使用1 bit ADC精度時，NGD-BD與EM-VAMP算法性能相近；接收端使用2 bit ADC精度時，NGD-BD算法在SNR> 5 dB時性能提升了1倍；接收端使用3和4 bit ADC精度時，所提算法性能提升了約6 dB。

圖6 NLoS信道下NMSE

分析兩種場景下的仿真結果可得出如下結論：第1，路徑數增多或量化精度變低都會導致波達方向估計性能下降；第2，接收端使用1或2 bit ADC精度時，信道路徑數對波達方向估計成功率的影響較大，接收端使用3或4 bit ADC精度時，信道路徑數對波達方向估計成功率的影響相對較小；第3，隨機共振現象由低精度ADC引起，且與路徑數有關，LoS信道下，接收端使用2 bit ADC精度時隨機共振現象不明顯，但在兩徑NLoS信道下，接收端使用2 bit ADC精度時隨機共振現象較明顯。

4 結束語

本文將毫米波信道估計問題分為兩個階段，第1階段將波達方向估計問題建模為凸優化問題，并提出NGD算法求解；第2階段根據估計的波達方向與量化后的接收信號，得到毫米波信道復增益的最小二乘估計。然而，本文所做工作主要集中在低計算復雜度與低導頻序列場景下波達方向估計，如何降低低精度ADC對信道向量復增益的影響，將是我們未來研究工作的重點。