壓縮感知觀測信號的低秩稀疏分解

潘金鳳，尹麗菊，高明亮，鄒國峰

（山東理工大學電氣與電子工程學院，山東 淄博 255000）

0 概述

視頻等具有背景緩慢變化及前景快速移動特點的信號被稱為時變稀疏信號［1］。時變稀疏信號分析常需要的前景與背景的分離可用低秩稀疏分解實現。文獻［2］提出基于主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）的低秩稀疏分解方法，該方法分別使用稀疏、低秩矩陣作為前景與背景的數學模型，對低秩矩陣的估計使用基于PCA 的閾值法，其缺點是分解準確度在很大程度上依賴于初始值的設置，且移動前景被誤歸為低秩背景的概率較大。為了得到更準確的低秩稀疏分解結果，文獻［3］介紹了使用目標特征域字典的基于PCA 的目標跟蹤方法。文獻［4-6］介紹了先將整個信號投影到其低秩背景的正交空間，再應用最小二乘法對信號的稀疏前景進行估計的方法。

壓縮感知（Compressive Sensing，CS）信號處理方法能夠在低于Nyquist 采樣率的條件下實現信號的精確或近似精確重構，所以該理論下的采樣與重構成為一個重要研究方向，在很多有關圖像與視頻處理的領域都得到應用。文獻［7］提出了噪聲服從高斯分布假設下的Bayesian 壓縮感知重構方法。文獻［8］將壓縮感知技術應用于光學相干斷層掃描成像數據的重構。文獻［9-12］分別介紹了多光譜、近紅外、并行以及三維壓縮感知成像系統的實現方法。

時變稀疏信號壓縮觀測的重構方法大多基于其背景緩變、前景快變的特點。文獻［13］介紹了使用張量的塊壓縮感知重構方法。文獻［14］提出使用張量的SAR 圖像的壓縮感知重構方法。文獻［15］提出在背景緩變假設下的卡爾曼濾波壓縮感知重構方法。文獻［16］根據各幀圖像之間動態變化的特點，應用動態方程來實現動態壓縮感知重構。以上方法都利用低秩與稀疏先驗知識進行壓縮感知重建，但沒能分別給出低秩與稀疏部分的重構結果。由于動態壓縮感知重構不能實現信號低秩與稀疏部分的直接分離重構，研究人員開始研究能夠對兩者直接分離的重構方法。文獻［17］應用基于PCA 的低秩稀疏分解方法對高光譜圖像進行壓縮感知重構，其低秩部分的重構利用了多光譜圖像的譜間低秩性與譜內稀疏性。文獻［18］利用PCA 方法與文獻［19］改進的正交匹配追蹤方法，在假設視頻低秩部分的秩與稀疏前景的稀疏度都已知的條件下，先估計低秩矩陣與稀疏矩陣的支撐集，再應用最小二乘方法實現時變稀疏信號的壓縮觀測的低秩稀疏分解（SpaRcs）。文獻［20］利用移動的稀疏前景使視頻各幀圖像構成的二維矩陣呈現紋理特征的特點，改進了SpaRcs 方法的稀疏前景支撐集的估計方法。SpaRcs 及其改進方法更適用于靜態低秩背景，但是對于緩變背景，其運行結果較差。

為提高信號壓縮觀測的低秩稀疏分解的準確度，本文基于文獻［5］方法，提出兩種不同稀疏前景壓縮觀測近似值的估計方法。首先將時變稀疏信號的壓縮觀測值投影到其低秩背景的正交空間，或將原信號投影到其低秩背景的正交空間后再壓縮觀測，再分別對稀疏前景及低秩背景進行壓縮感知重構。

1 時變稀疏信號的壓縮觀測與正交投影

假設時變稀疏信號由T幀連續圖像構成：

其中：X?Rn×T；L與S分別是X的低秩與稀疏部分。

假設在對X進行壓縮觀測時，各幀圖像都使用相同的 測量矩 陣Φ?Rm×n（m<

對xt進行壓縮觀測，再投影到它的低秩背景壓縮觀測值的近似正交空間的過程可表示為：

其中：αt=PΦlt表示未能將Φlt準確投影到其正交空間形成的微小誤差。若R1=PΦ符合測量矩陣的等距約束條件，則式（4）的壓縮觀測過程可以直接使用R1作為測量矩陣。

第2 種方法是先投影再壓縮觀測（CSP），該方法首先將信號X投影到它的低秩背景估計值的近似正交空間，然后再對該投影值進行壓縮觀測。因此，應先計算的奇異值分解并估計其支撐集矩陣的近似值UL和近似正交投影矩陣PL。將xt投影到它的低秩背景的近似正交空間，再進行壓縮觀測的過程可表示為：

其中：βt=ΦPLlt，PLlt表示未能完全將lt投影到其正交空間形成的微小誤差。因為Φ是單位行向量測量矩陣，所以βt的各個元素也是微小值。若R2=ΦPL符合壓縮感知測量矩陣的等距約束條件，則對xt的壓縮觀測也可以直接使用R2作為測量矩陣。

本文中Φ使用各元素服從N（0，1）分布的高斯測量矩陣，如果R1、R2同樣是高斯矩陣，那么其性質與高斯測量矩陣相同，符合壓縮感知信號處理對測量矩陣的要求，此時式（4）、式（5）中st的求解屬于壓縮感知重構問題。實驗發現，若支撐集矩陣U1或UL由包含Φ或的部分能量的若干個較大非零奇異值對應的左奇異向量構成，則R1、R2的分布曲線平滑且基本與Φ服從相同的分布。圖1（a）為Curtain 視頻的一幀背景訓練樣本。圖1（b）為對Curtain 的背景訓練樣本集，當壓縮采樣率為0.1 時，由保留95%能量的支撐集矩陣求得的R1、R2與高斯測量矩陣Φ的分布進行比較。如圖1（b）所示，R1與Φ的分布差別稍大，R2與Φ的分布基本無差別，三者的分布差別非常小，所以R1、R2近似服從與Φ相同的高斯分布，可以作為測量矩陣使用。

圖1 3 種測量矩陣元素的概率密度比較Fig.1 The comparison of probability density of three measurement matrice elements

2 低秩稀疏分解的實現

將式（4）與式（5）表示的兩種不同的壓縮觀測與投影過程統一表示為：

式（6）中st的求解可用基追蹤去噪法，即：

求得st的估計值后，lt的估計也成為壓縮感知重構問題：

應用基追蹤算法即可求解lt的估計值。

時變稀疏信號壓縮觀測的低秩稀疏分解需要解決的另一問題是由信號低秩背景緩慢變化引起的。無論是先壓縮觀測再正交投影，還是先投影再壓縮觀測，當低秩背景產生變化時，它的正交投影矩陣就會改變，因而Θt也隨之變化，因此需要解決如何判斷低秩矩陣lt是否發生變化，及其變化是否導致了正交投影矩陣的較大變化問題。本文采用計算相鄰幀低秩矩陣的結構相似度（Structural Similarity，SSIM）的方法來進行判斷，若兩者的SSIM 值小于閾值，說明低秩背景已經發生較大變化，需要重新計算正交投影矩陣。

應用第1 種先壓縮觀測再投影方法的時變稀疏信號壓縮觀測的低秩稀疏分解算法的實現步驟如算法1 所示。

算法1PCS算法

步驟1已知低秩背景訓練樣本，初始化高斯測量矩陣Φ?Rm×n，參數c、η、th及t=1。

步驟2對低秩背景訓練樣本進行壓縮觀測得，然后估計保持其部分能量c的近似支撐集矩陣U1及正交投影矩陣P。

步驟3令測量矩陣Θt=PΦ，根據式（6）對時變稀疏信號xt進行壓縮觀測。

步驟4應用基追蹤去噪算法與基追蹤算法先后對稀疏信號st和低秩信號lt進行壓縮感知重構。

步驟5t=t+1，若t>η且lt與lt-1的結構相似度SSIM

第2 種壓縮觀測方法是根據背景的訓練樣本，先將時變稀疏信號近似投影到它的低秩部分的正交空間，再對信號投影值進行壓縮觀測，兩種方法的第4 步、第5 步相同，其前3 步的步驟如算法2所示。

算法2CPS算法

步驟1已知低秩背景訓練樣本初始化高斯測量矩陣Φ?Rm×n，參數c，η，th及t=1。

步驟2計算保持低秩背景訓練樣本部分能量c所對應的近似支撐集矩陣UL及其正交投影矩陣PL。

步驟3令測量矩陣Θt=ΦPL，根據式（6）對時變稀疏信號xt進行壓縮觀測。

3 實驗結果與分析

SpaRcs 是一種能夠根據壓縮觀測值直接實現信號的前景、背景分離的重構方法。所以，實驗時將SpaRcs 方法與本文的PCS 方法、CSP 方法進行比較。

圖2 是壓縮觀測采樣率m/n=0.3 時，3 種方法對Curtain 視頻的壓縮觀測的低秩稀疏分解重構的比較。從圖2（i）SpaRcs 的低秩背景重構結果可以看出，該方法將移動前景的大部分誤歸為低秩背景，所以圖2（j）中稀疏前景的分解結果只有部分輪廓，PCS 與CSP 方法的分解結果都優于SpaRcs 方法，從圖2（d）和圖2（g）可以看出，對各幀圖像，本文提出的CSP 與PCS 方法結果比較，前者的稀疏前景重構結果的錯誤噪聲點更少，前景圖像更清晰。將稀疏前景與低秩背景的重構結果求和得到各幀圖像的壓縮感知重構結果，比較其峰值信噪比（Peak Signal-to-Noise Ratio，PSNR）值可以看出，CSP 方法是3 種方法中最高的。

圖2 Curtain 低秩稀疏分解重構結果Fig.2 The low rank and sparse decomposition refactoring results of Curtain

圖3 是CSP 方法與SpaRcs 方法對Hall 視頻的低秩稀疏分解重構結果的比較，實驗中所有圖像的壓縮觀測采樣率都等于0.2。從圖中可以看出，SpaRcs方法將人這一稀疏前景的很大一部分劃分到了低秩背景中，造成稀疏前景的識別正確率很低，而CSP 方法的低秩與稀疏部分的重構結果更準確。

圖3 Hall 的壓縮感知低秩稀疏分解比較（m/n=0.2）Fig.3 Comparison of low rank and sparse decomposition of compressed video of Hall（m/n=0.2）

圖4 所示為在壓縮感知采樣率為0.2～0.4 時，3 種方法對Curtain 視頻所有幀重構結果的PSNR 平均值的比較。每幀的重構結果都是用重構的低秩背景與稀疏前景的和求得的。從圖4 可以看出，CSP、PCS 與SpaRcs 方法比較，重構圖像的PSNR 值能提高2 dB 左右，CSP 方法的PSNR 平均值高于PCS 方法。

圖4 Curtain 重構圖像的PSNR 平均值Fig.4 Average PSNR of Curtain reconstruction images

圖5 是壓縮觀測采樣率為0.1 時，對Hall 視頻各幀圖像重構結果的PSNR 值比較。從圖5 結果可以看出，在相同采樣率下，SpaRcs 方法重構圖像的質量遠低于CSP 和PCS 方法，而CSP 方法的絕大多數重構幀的PSNR 值都是3 種方法中最高的。

圖5 Hall 圖像壓縮感知重構的峰值信噪比比較Fig.5 Comparison of PSNR of Hall image compression sensing reconstruction

圖6 與圖3 的各幀原圖像是相同的，但壓縮觀測采樣率變為0.3。與圖3 相比，SpaRcs 方法的稀疏前景更加清晰準確，但是該方還是將視頻的部分稀疏前景劃分成低秩背景，與之比較，CSP 方法的低秩背景與稀疏前景的重構分解結果都更加準確。

圖6 Hall 的壓縮感知低秩稀疏分解比較（m/n=0.3）Fig.6 Comparison of low rank and sparse decomposition of compressed video of Hall（m/n=0.3）

4 結束語

本文通過將時變稀疏信號的壓縮觀測值投影到其低秩值的正交空間，運用重構稀疏信號值與低秩信號值的方法，實現時變稀疏信號壓縮觀測的低秩稀疏分解。提出壓縮觀測與低秩空間正交投影按不同順序進行的兩種方法，每種方法的壓縮觀測與投影兩個過程都可分別使用各自的算子一步實現。使用相鄰重構幀低秩值的結構相似度判斷低秩背景是否發生變化，若發生變化，則采用最新重構低秩值更新低秩背景與其正交空間。實驗結果表明，與SpaRcs 方法相比，本文方法重構圖像的PSNR 平均值最多能提高2 dB 左右。后續將研究基于三維壓縮感知與正交投影的壓縮感知低秩稀疏分解方法，使用較少的測量數獲得更高信號重構質量的三維壓縮感知，對時變稀疏信號進行壓縮觀測，低秩正交投影在三維空間完成，在投影完成后實現稀疏與低秩信號的重構。