反應譜性質及其與地震危險性分析的邏輯關聯性探析

闕仁波 （廈門大學嘉庚學院土木工程分院，福建 漳州 363105)

0 引言

地震危險性分析是根據地震中長期預報所預報的未來地震發生的時間、地點、強度和概率來估計地震動參數的大小和發生的概率，并以此為指標進行地震動參數區劃，將地震學對地震活動性的預報，轉換為對工程抗震所需的地震動參數的預報[1]。以地震動參數區劃圖為上游標準，制定下游的不同行業的抗震設計規范[2]，為一般新建工程的抗震設計提供設計地震動輸入。對于一般工程，結構工程師們一般直接按抗震設計規范，通過地震動參數區劃和抗震場地分類來確定設計地震動輸入[1,3,4]。如圖1和圖2分別為2020版公路橋梁抗震設計規范的設計加速度反應譜[4]和2016版建筑抗震設計規范的地震影響系數曲線[3]，除卻阻尼比、場地系數和抗震重要性系數，為確定地震作用，只需確定參數A(水平向基本地震動峰值加速度)、αmax(地震影響系數最大值，即歸一化的設計加速度反應譜最大值)和Tg(特征周期)，而它們是根據地震動參數區劃圖[5]，并結合行業特點而確定，且已以表格的形式呈現，直接取用即可。

圖1 設計加速度反應譜

圖2 地震影響系數曲線

盡管如此，若能更進一步了解作為抗震設計規范制定依據的地震動參數區劃原理和作為地震動參數區劃依據的地震危險性分析原理，則可加深對結構抗震設計規范條款的理論之所以然的理解。而該過程中，深化對作為地震危險性分析終點輸出和作為抗震設計起點輸入的反應譜的性質的理解，是關鍵。

鑒于此，本文將對反應譜的性質及其與地震危險性分析的邏輯關聯性，進行系統性梳理、嚴密性推導和深入性分析，以期有助于更深入地解讀地震動參數區劃圖和抗震設計規范的相關編制原理。

1 設計地震動輸入的形式

地震是以地震動的形式作用于結構的，即作用量是運動量—加速度、速度和位移，而非動力量，盡管亦可形式地將加速度轉化為慣性力看待。地震動的三要素為強度、持時和頻譜，而結構對地震動激勵的響應，一方面，取決地震動的三要素，另一方面，取決于結構的自振頻率、振型和阻尼比。激振頻率與自振頻率之比，和阻尼比一起，一方面影響動力放大系數，另一方面影響相位即響應對激勵的滯后性。由此可見，地震動三要素大小的不同組合，對不同結構有不同的影響。要完整地表征地震動特性，需包括三要素，比如地震動時程，但大多數地震動參數，要么只反映兩個因素，要么只反映一個因素。設計地震動輸入包括時程輸入和譜輸入[6]，但鑒于時程分析的復雜性，對于一般結構，大多采用譜輸入中的反應譜輸入。反應譜，一方面具有結構反應的含義，體現了結構振動特性與地震動特性之間的關系，可代表結構某一振型的特性，對于彈性體系，以反應譜作為輸入，采用振型分解反應譜法即可確定地震作用，此乃抗震設計規范中設計一般結構時所采用的方法[3,4]。另一方面，若給定單自由度體系的頻率和阻尼比，則相比地面運動參數，它提供了與結構反應有關的更有意義的地震地面運動特性，反映了具有指定阻尼比和頻率的單自由度體系對地面運動的反應程度，而地震動參數可看作特殊形式的反應譜。鑒于此，本文后續將以反應譜作為分析對象。

2 基于四向對數反應譜圖對反應譜性質的梳理、推導和分析

反應譜是在無限剛性地基假定下由單自由度體系的地震反應分析求得的，自由場不存在土—結構的相互作用[7]，地震反應的強度和頻譜只取決于地震動的強度和頻譜、體系的自振頻率和阻尼比。

以Spa(Sa)、Spv(Sv)和Sd分別代表(擬)絕對加速度反應譜、(擬)相對速度反應譜和相對位移反應譜；

以PGA、PGV和PGD分別代表峰值地面加速度、峰值地面速度和峰值地面位移；T和ζ分別代表單自由度體系的自振周期和阻尼比，則：

上述關系類似于單自由度體系受簡諧激振時的速度峰值與位移峰值和加速度峰值之間的關系。

Hudson證明[8]：除非T非常大，

Spv(0,T)?Sv(0,T)，但ζ≠0 時 ，Spv(ζ,T)與Sv(ζ,T)差別可能較大。而當0 ＜ζ≤ 0.2時，Spa(ζ,T)與Spv(ζ,T)近似滿足：

Sd、Spv和Spa分別與地震動引起的體系的變形峰值、應變能峰值(地震輸入體系的能量)和基底剪力(或等效靜力)峰值相關，具有明確的物理含義[9]。

由式(1)和式（3）可得[8]：

由式(4)和式(5)可見：若分別以lgSpv和lgT為縱坐標和橫坐標，則對應于一固定的lgSd值，lgSpv-lgT為斜率-45°的直線；而對應于一固定的lgSpa值，lgSpvlgT為斜率+45°的直線；再注意到從體系振動的物理意義出發要滿足的兩個極限條件：①對無限剛的體系(T→0)，它與地基同步加速，故：

②對無限柔的體系(T→+∞)，它與地基完全隔震，故：

可見，PGA和PGD亦相當于一種特殊的反應譜。由上述幾點，可在圖3中，采用四對數坐標系，在一條曲線上說明Spv、Spa和Sd三種譜，該方法是 1960 年A.S.Veletsos和N.M.Newmark首次提出[9]。N.M.Newmark和W.J.Hall于1982年給出了在該坐標系中由PGA、PGV和PGD分別乘以動力放大系數αA、αV和αD來構建三個Spa=常數、Spv=常數和Sd=常數的平臺及彈性設計譜的方法，分別如圖3中的bc、cd、de和gabcdefh所示[9]，它們相當于實際反應譜經平均平滑處理后的結果，其中ga和fh段分別為考慮式(6)和式(7)的結果，從a到b段可用于考慮從剛體的同步加速到變形體的非同步加速時加速度放大系數隨剛度降低而增大的情況，從f到e段可用于考慮從無限柔到有限剛時位移放大系數隨隔震程度減弱而增大的情況。計算αA、αV和αD的經驗公式，表述為以ζ為自變量的函數，對應于ζ=5%的值如表1所示。

圖3 四對數坐標反應譜圖

動力放大系數值[9]表1

由上述彈性設計譜的構建方法可見，短周期段主要決定于PGA，中長周期段主要決定于PGV，長周期段主要決定于PGD，分別將它們稱為加速度敏感區、速度敏感區和位移敏感區[9]。地震強度PGA、PGV和PGD分別決定了Spa、Spv和Sd的平臺值大小。

由圖3可見，拐點周期Sc和Td決定了Spa、Spv和Sd平臺的寬窄，反映了地震動最大值的頻段含義[10]。

由式(5)在圖3中c點處的關系可推導得：

由式(4)和式(5)在圖3中c點和d點的關系可推導得：

由式(8)和式(9)可推導得：

3 抗震設計規范中反應譜性質的體現

根據圖 3，并結合式(4)、式(5)和式(8)，可推導得Spa的ab段、cd段和de段在普通線性坐標系中的方程分別為：

對于ab段，若取表1中的αA=2.71，則Spa=PGA(11.56T0.7)，為非整數次冪函數；若改用線性變化，則可推導得Spa=PGA(18.06T+0.45)，將兩者及其差值在1/33≤T≤1/8的變化繪于圖4中，可看出兩者的差別非常小，前者接近線性變化，故實際中該段一般采用線性假設，如圖1和圖2中的起始段。該段主要用于考慮剛度較大的結構在遠震、大震和場地土較軟時，由于激振頻率與自振頻率相隔較遠從而動力放大系數較小的情況。

圖4 ab段線性變化與非整數次冪變化的對比

由式(12)可見，cd段從c點開始按Tc/T衰減。圖1的衰減模式即如此；圖2中，冪次下降段在ζ=5%時按(Tc/T)0.9衰減，與該種衰減模式亦較接近，衰減指數γ主要用于考慮阻尼的影響，為防止對長周期時地震作用的低估，5Tg～6s段改用下降較緩和的直線段，而非按式(13)中的(1/T)2衰減。

4 工程地震學中反應譜性質的體現

在圖3中，由PGD=常數、PGV=常數和PGD=常數組成的虛線所代表的譜，可看作地震動未經結構慮波前的結果[10]，用與式(8)、式(9)和式(10)的相同的方式推導可得：

對于包括不同頻率的地震運動而言，T1可解釋為等效簡諧波周期，以反映地震動的優勢周期[10]。Seed和Idriss曾建議了不同場地條件下T1的值，它與震級、距離和場地有關[11,12]。(PGA)(PGD)/(PGV)2可用來表示地震波的零亂性，當它等于1時，即為簡諧波[10]，此時T1=T2，PGV平臺寬度為零，此時相當于只有一種周期的波，而該周期大小由式(14)決定，但對于地震波，不大可能是單一周期的，但它可體現優勢周期。由此可見，ij的寬度體現了地震動所含頻率成分的多寡。

由式(8)～(10)和式(14)～(15)可推導得：

Δω1=2π/Tc-2π/T1和 Δω2=2π/Td-2π/T2可看作結構振動對地震動的移頻作用，它們取決于放大系數，而放大系數主要取決于頻率比和阻尼比。

由上述對式(15)的討論的啟示，Td/Tc亦可用來表示結構振動的零亂性，當它等于1時，即為簡諧振動，此時Tc=Td，Spv平臺寬度為零，此時相當于只有一種周期的波，而該周期大小由式(8)決定，但對于地震反應，不大可能是單一周期的，但它可體現與優勢振型對應的優勢周期。由此可見，cd的寬度體現了結構振動所含頻率成分的多寡。

若Td/Tc=T2/T1=1，即地震動激勵和結構響應皆為簡諧的，該種情況，必須兩者的相位差在0°、90°和 180°時才可能發生。由式(18)可得：

場地之對基巖地震動，類似于結構之對場地地震動，均相當于有移動窗的濾波器。基巖地震動主要受震源和路徑的影響；場地土質或地形對基巖地震動起到選頻放大、衰減濾波或激發新波的作用，從而使得基底地震動是基巖地震動經場地土質或地形調幅調頻后的結果，而單自由度體系再對基底地震動進行調幅調頻，從而使得產生的反應譜是基巖地震動經過兩次調幅調頻后的結果。故震源、路徑和場地的綜合影響直接體現在圖3中的gaijfh上，進而再綜合結構的影響，體現在gabcdefh上。在GB18306-2015中采用調幅亦調頻的雙參數調整方法來考慮場地效應[2]。在圖1和圖2中，在同等強度情況下，從小震、近震和硬土到大震、遠震和軟土，Tg增大，反應譜從窄譜變到寬譜。

5 設計反應譜的構建與簡化方法

由圖 3可看出，在Ta、Tb、Te和Tf選定的情況下，若再根據大量統計得出αA、αA和αV的分布值(比如表1所示)，則為了構建彈性設計譜，ad段只需Tc、PGA和PGV中的兩個參數，這亦可從式(8)中看出，即只有兩個獨立參數；de段只需Td和PGD中的一個參數，這亦可從式(8)和式(10)中看出，即只有一個獨立參數。綜合可知，總共只有三個獨立參數。

若對反應譜的形狀作某種假定，則可進一步簡化它的獨立參數，如圖1和圖2所示。由式(6)可知，只有絕對剛體才滿足Spa=PGA，故一般不考慮圖3中的ga段，可修改并令Ta=0；加速度最大值來自高頻地震動，周期遠小于0.1s[1]，可修改并令Tb=0.1s。圖1將圖3中c點以后直至10s的部分按式(12)的方式衰減，而圖2將圖3中Tc～5Tc的部分按接近式(12)的方式衰減，將衰減指數從1改為依賴于阻尼的函數，而之后直至6s段，則假定為直線變化。經該處理后，獨立參數均只有兩個，即A和Tg、αmax和Tg。

由于位移敏感區主要是對長周期結構影響比較大，比如由波傳播過程中的行波效應、相干效應和場地效應所致的不均勻地基變形對直埋管的影響、支點差動對多支點大跨超靜定結構的影響等，而對于一般結構，可只考慮加速度敏感區和速度敏感區[10]，又如式(8)所示，αAPGA、αVPGV和TC只有兩個獨立，故可簡化。

如圖5所示，1978年美國規范ATC-3分別將ζ=5%時的Spa和Spv在0.1s≤T≤0.5s之間和T=1s附近平均為一常數，并分別定義有效峰值加速度與有效峰值速度為：

圖5 由反應譜確定aE和vE

其中，2.5代表放大系數的經驗值，如圖3中的αA和αV，在表1中，它們平均值+1個標準差的結果分別為：2.71和2.3，較接近2.5，而在圖1和圖2中，放大系數分別為2.5和2.25。在定義了αE和vE后，用它們共同標定反應譜，αE控制加速度敏感區，vE控制速度敏感區，二者之比控制兩者交界處的拐點周期：

按場地類別給出調整系數，根據地震危險性分析或由其分析成果之地震動區劃圖確定αE和vE[1,10,12]。“有效”的概念主要是從對結構地震反應有明顯影響的角度來說，要高于某個閾值，但亦要剔除孤立高頻地震波所致的過高的峰值加速度，因為加速度最大值來自高頻地震波，而最大加速度脈沖對于周期比它長的結構而言，其作用相當于給結構一個初始動量，由于作用時間短，該動量不大，對結構影響小，要避免由它引起的對峰值加速度的高估[1]。

上述構建和簡化設計反應譜的思想，成了許多抗震設計規范參考的典范，進一步，可將三個獨立參數簡化為兩個。由 (22)可見，aE、vE和Tg中只有兩個獨立參數，故可只采用aE和Tg的組合來標定反應譜，分別表征強度和頻譜，此亦即GB18306-2015所采用的方法[5]。若將Tc之下標c看作是代表英文corner之含義，則亦可將之換成g，即代表中文guaidian之含義，即Tc和Tg都可用來表示第二拐點周期，后者乃圖1和圖2中的用法。

6 地震危險性分析對反應譜獨立參數的預測

上述為確定反應譜所需的未知的獨立參數，即為地震危險性分析的預測對象[1,2,10,12]。即結構抗震設計對地震動輸入的需求，是對地震危險性分析的要求。前面對反應譜性質的梳理和推導，呈現了它們內在的邏輯體系建構，有助于加深對地震動參數區劃圖和結構抗震設計編制原理的理解。

7 結語

①基于四向對數反應譜圖，對反應譜性質進行了系統性梳理和推導，呈現出它們內在的邏輯體系建構。

②對反應譜性質與地震危險性分析、地震動區劃和結構抗震設計之間的邏輯關聯進行了探討，以此來深化對地震動參數區劃圖和結構抗震設計規范編制原理的解讀。