基于多元回歸模型的鈣質(zhì)土固結(jié)特性優(yōu)化模型＊

劉鎧誠，郭 睿，劉容川，喬洪磊

（1.武漢理工大學(xué)，湖北 武漢 430000；2.合肥工業(yè)大學(xué)，安徽 合肥 230000；3.山東大學(xué)，山東 濟南 250000）

1 背景及意義

鈣質(zhì)土是長期在飽和碳酸鈣溶液中，經(jīng)物理、化學(xué)作用后形成的富含碳酸鈣顆粒、天然膠結(jié)物的碳酸鹽沉積物。珊瑚礁主要由鈣質(zhì)砂構(gòu)成，其幾乎是中國在南海唯一的陸地國土類型。南海區(qū)域具有極其重要的軍事、航運地位，是中國重要的能源和貿(mào)易資源通道。近年來中國島礁填筑工程發(fā)展迅猛，針對珊瑚砂的研究成為學(xué)術(shù)熱點[3]。珊瑚砂具有多孔隙、形狀不規(guī)則、易破碎的特征，性質(zhì)上與陸源砂土有較大差異。珊瑚礁碎石土如圖1所示。

圖1 珊瑚礁碎石土

為了在遠(yuǎn)離大陸的南海珊瑚礁上面進行各項工程建設(shè)，同時降低成本，利用鈣質(zhì)土進行基礎(chǔ)建設(shè)的鋪墊，然而鈣質(zhì)土以其特殊的物理特性和固結(jié)特性，導(dǎo)致在使用時可能出現(xiàn)一些安全隱患，為了更加了解鈣質(zhì)土的各項指標(biāo)，對鈣質(zhì)土的特性進行實驗仿真具有很大意義[4]。其中由于鈣質(zhì)土的粒徑大小可能會影響鈣質(zhì)土的使用和特性，因此對鈣質(zhì)土的粒徑大小的研究，對于幫助南海海洋工程建設(shè)有著重要意義。但是鈣質(zhì)土的固結(jié)特性的指標(biāo)具有多樣性，而鈣質(zhì)土的粒徑大小也對其各項指標(biāo)有不同的影響趨勢，其中包括一些對建設(shè)和使用有參考價值的指標(biāo)[5-6]。

而回歸分析是一種統(tǒng)計學(xué)上分析數(shù)據(jù)的方法，目的在于了解兩個或多個變量間是否相關(guān)、相關(guān)方向與強度，并建立數(shù)學(xué)模型以便觀察特定變量來預(yù)測需求變量[7]。回歸分析的基本思想是雖然自變量和因變量之間沒有嚴(yán)格的、確定性的函數(shù)關(guān)系，但可以設(shè)法找出最能代表它們之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達形式。在自變量很多時，其中有的因素可能對應(yīng)變量的影響不是很大，而且x之間可能不完全相互獨立的，可能有種互相作用的關(guān)系。在這種情況下可用逐步回歸分析，進行x因子的篩選，這樣建立的多元回歸模型預(yù)測效果會更好。本文中由于鈣質(zhì)土的固結(jié)特性包含較多方面的影響，且其具有指標(biāo)多樣性的特點，通過對多項指標(biāo)之間的關(guān)聯(lián)性進行判斷，采用多元非線性回歸方程作為預(yù)測模型更加符合鈣質(zhì)土固結(jié)特性的多個因變量的特點[8]。

基于以上背景，本文以鈣質(zhì)土固結(jié)特性的幾個重要建設(shè)指標(biāo)為研究目標(biāo)，對其進行分析和建模，設(shè)置相關(guān)性權(quán)值，而對變化通向統(tǒng)一模型，對于單一變化趨勢的目標(biāo)單獨分析，建立多元非線性回歸曲線，從相關(guān)數(shù)據(jù)中得到預(yù)測的最優(yōu)解，而后通過擬合曲線的特點增加其抗干擾性和準(zhǔn)確性，最后通過對多元非線性回歸曲線的擬合效果進行數(shù)據(jù)計算得到本文設(shè)計的擬合模型的擬合準(zhǔn)確度，保證其在對鈣質(zhì)土的固結(jié)特性的粒徑最優(yōu)解分析方面有更為精準(zhǔn)的預(yù)測，為南海地區(qū)的海上工程建設(shè)提供幫助。

2 擬解決的問題

通過顆粒分析試驗將鈣質(zhì)土的粒徑大小進行數(shù)據(jù)區(qū)間分組，研究粒徑級配對其性質(zhì)的影響；通過相對密度試驗了解8組不同粒徑鈣質(zhì)土的相對密度；通過相關(guān)性分析及計算得到鈣質(zhì)土固態(tài)特性的主要影響因素；利用多元回歸方程對多因子的固態(tài)特性因素進行擬合，得到各自擬合曲線，并通過構(gòu)建擬合曲面的方法得到最終的固態(tài)特性最優(yōu)解。

3 項目內(nèi)容

3.1 總體設(shè)計

南海淺層鈣質(zhì)土沉積物主要以粗顆粒鈣質(zhì)土為主，其中包含有部分珊瑚礁塊，影響鈣質(zhì)土的物理力學(xué)性質(zhì)，其鈣質(zhì)土有顆粒形狀很不規(guī)則、高孔隙率、顆粒含有內(nèi)孔隙、顆粒易破碎、高內(nèi)摩擦角等特點[9]，其鈣質(zhì)土粒徑放大圖如圖2所示。

圖2 鈣質(zhì)土粒徑圖

鈣質(zhì)土內(nèi)部結(jié)構(gòu)如圖3所示，由圖可知，鈣質(zhì)土的顆粒之間空隙較大，而且成分較為多樣，從粒度來看其是以黏土及粉砂粒級為主，伴有中砂和礫級以上的較大顆粒的貝殼碎屑，其中的碳酸鹽溶解結(jié)晶作用導(dǎo)致產(chǎn)生了大量的碳酸物，其中部分碳酸物互相膠結(jié)，最后形成固結(jié)狀態(tài)，其固結(jié)特性達到穩(wěn)定，形成復(fù)雜的骨架式剛性連結(jié)。

本文通過對鈣質(zhì)土的影響因素進行分析，而后對其中影響趨勢進行統(tǒng)計，通過對多種影響因素的數(shù)據(jù)進行分析得到對維曲線，對其中的數(shù)據(jù)源進行結(jié)點分析，設(shè)置其中分析結(jié)點，通過資料獲取不同荷載作用下鈣質(zhì)土的固結(jié)沉降量、沉降時間和固結(jié)速率特征，通過綜合數(shù)據(jù)分析總結(jié)鈣質(zhì)土壓縮特性。鑒于影響因素的較多且變化較為復(fù)雜，不采用單一線性回歸的結(jié)構(gòu)，采用多元結(jié)構(gòu)的設(shè)計，單元分別為固結(jié)沉降率、沉降時間、固結(jié)速率數(shù)據(jù)，利用單個回歸方程結(jié)點設(shè)置為不同粒徑大小進行多項數(shù)據(jù)采集分析，從而進行信息的分散化處理，加快了數(shù)據(jù)分析的效率，實現(xiàn)多維度數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的分析與處理，得到的結(jié)果更具有綜合性。

3.2 多元回歸方程模型設(shè)計

3.2.1 算法步驟

對于鈣質(zhì)土的影響因素最優(yōu)解求解算法主要步驟如下：①根據(jù)數(shù)據(jù)建立回歸模型，其中的數(shù)據(jù)本文從仿真以及文獻中獲取；②對模型進行顯著性檢驗，通過得到的多因子數(shù)據(jù)，包括固結(jié)沉降率、沉降時間、固結(jié)速率數(shù)據(jù)3方面的變化數(shù)據(jù)，得到數(shù)據(jù)庫，對多元回歸方程模型進行訓(xùn)練，實現(xiàn)數(shù)據(jù)的多維處理效果；③對模型進行回歸診斷，對模型得到的結(jié)果進行分析，實現(xiàn)其信息負(fù)反饋效果，保證得到的結(jié)果在期望值附近小范圍波動。

3.2.2 影響因素指標(biāo)的定性剔除

本文通過數(shù)據(jù)可知，固結(jié)試驗粒徑在1 mm以上的荷載增加孔隙比下降幅度很大，其他組別則下降平緩，荷載增加孔隙變化因素屬于分類變量，會增加模型的復(fù)雜度且在數(shù)據(jù)中無法控制單一影響因素來研究鈣質(zhì)土粒徑對鈣質(zhì)土固結(jié)特性的影響，因此本文將荷載增加孔隙變化因素剔除，單獨研究其他影響結(jié)果的最優(yōu)值。

而后通過查閱相關(guān)文獻也得出了鈣質(zhì)土孔隙比和鈣質(zhì)土壓縮特性在粒徑變化過程中可能出現(xiàn)不同的變化趨勢，因此單獨對其鈣質(zhì)土的壓縮特性進行仿真實驗。而固結(jié)沉降量、沉降時間和固結(jié)速率特征3個因素對固結(jié)特性影響權(quán)值相同，并且三者之間相關(guān)性較低，無需進行單獨分析，且通過建立多元回歸方程可增強其關(guān)聯(lián)性，得出的實驗結(jié)果也更具有普遍性。各項因素的相關(guān)性表示圖如圖4所示。

圖4 各項因素的相關(guān)性表示圖

上圖為設(shè)定各自因子的權(quán)值，區(qū)域顏色越深，相關(guān)性越強，區(qū)域顏色越淺，相關(guān)性越弱，分布位置選擇每一變量與自身影響變化完全相同，當(dāng)其中的因素對固結(jié)特性的影響同步時，實現(xiàn)共線性。后文對其設(shè)定的多元非線性回歸模型進行參數(shù)設(shè)定，對其中的權(quán)值進行采樣式擬合，擬合曲線可以根據(jù)得到的數(shù)據(jù)進行分析比對，在其中設(shè)計負(fù)反饋結(jié)構(gòu)，通過類PID結(jié)構(gòu)，在對得到的結(jié)果進行不斷修正的同時，也可對其中的外界影響因素進行刪減，通過擬合曲線的方法，可以大大提高整體模型的抗干擾性。

3.3 模型結(jié)構(gòu)設(shè)計

多元非線性回歸模型通常用來描述變量y和x之間的隨機線性關(guān)系，即：

式（1）中：y為鈣質(zhì)土的固結(jié)特性，是隨機的因變量；βk為其中的3項變量的影響權(quán)值，是回歸系數(shù)；xk為固結(jié)沉降量、沉降時間和固結(jié)速率特征，是非隨機的變量；ξ為隨機誤差項。

其用矩陣表示為：

鈣質(zhì)土的粒徑得到其他因子計算：

式（4）中：V為其總體測量體積；d為鈣質(zhì)土的粒徑；α、β為相關(guān)系數(shù)；D為權(quán)值。

假設(shè)鈣質(zhì)土的密度為常數(shù)，可得到：

而后通過歸一化處理，可初步得到需要模擬的變量式：

上述為鈣質(zhì)土的固結(jié)特性在三維數(shù)據(jù)的變化中的單一變化趨勢，通過對其中的變化進行相關(guān)性處理，可得到其多元擬合回歸模型。

通過多元回歸方程構(gòu)建的模型實際上是用一個多元非線性曲面來近似地代替實際的復(fù)雜函數(shù)關(guān)系，其基本原理是當(dāng)某點周圍鄰近一定數(shù)量點的實際函數(shù)值已知時，可通過某種方式建立起一個多元非線性曲面。其條件是采用的數(shù)據(jù)點在最優(yōu)點附近。故本次實驗求出的最優(yōu)解附近及預(yù)處理得到的區(qū)[0.025，0.075），[0.075，0.5），[0.5，1），[1，2），[2，5）組合中選擇增加5個實驗，將最優(yōu)解與區(qū)間組合對比。實驗仿真結(jié)果圖如圖5所示。

圖5 實驗仿真結(jié)果圖

以本文中的3個影響因素指標(biāo)為自變量，固結(jié)特性為因變量首先進行多元非線性回歸，回歸的擬合優(yōu)度為0.690，效果不佳。分析其結(jié)果可能是因為回歸方程的次數(shù)過低且自變量之間存在交互影響，以下考慮對回歸方程提高次數(shù)并引入交互項來提高優(yōu)度。

通過實驗得到了鈣質(zhì)土的壓縮特性、固結(jié)速率、沉降時間、固結(jié)沉降率的變化趨勢，圖5中顯示了其各自的最優(yōu)解，通過模型分析可得到粒徑大小的最優(yōu)解，本文獲取的數(shù)據(jù)，包括固結(jié)沉降量、壓縮系數(shù)、壓縮模量，分析得到了結(jié)沉降量、固結(jié)速率、沉降時間及壓縮系數(shù)與含水率、干密度之間的相關(guān)關(guān)系。

3.4 擬合效果評估

將回歸方程的次數(shù)提高為2次，并引入交互項后的多元非線性回歸方程為：

式（7）中：ai為平方項系數(shù)；bi為交互項系數(shù)；cij為一次項系數(shù)；d為常數(shù)項。

將自變量和因變量的取值代入式（7）中，用MATLAB求解出來方程的各項系數(shù)中一次項系數(shù)矩陣A為：

交互項系數(shù)矩陣C為：

常數(shù)項d=53.5576，擬合曲線的擬合優(yōu)度R2=0.9172，標(biāo)準(zhǔn)誤差RMSE=2.716 0，表明多元非線性回歸模型的擬合效果很好。考慮到繼續(xù)提高方程的次數(shù)對擬合優(yōu)度的提升并不顯著且會大大增加方程的復(fù)雜度以及回歸方程求解的難度，所以不再進行回歸方程次數(shù)的提升。

4 總結(jié)

本文通過對鈣質(zhì)土的固結(jié)特性因素進行數(shù)據(jù)分析，通過已有數(shù)據(jù)的各項實驗結(jié)果，通過對多項影響因子進行比較和分析，本文選取固結(jié)壓縮特性、固結(jié)沉降量、沉降時間和固結(jié)速率特征為主要因子，其中由于固結(jié)壓縮特性出現(xiàn)反向趨勢，對其進行單獨曲線擬合，其余3項影響因子通過多元非線性回歸曲線進行模型建立，本文對其擬合結(jié)果設(shè)定反饋結(jié)點，通過對得到的預(yù)測的最優(yōu)解與實際值進行對比，可以對模型進行調(diào)整，訓(xùn)練數(shù)據(jù)庫在調(diào)整的過程中也能保證最優(yōu)解在準(zhǔn)確值附近小范圍波動，本文實現(xiàn)了鈣質(zhì)土固結(jié)特性因子的選取及分析，以及固結(jié)特性各項影響因子的變化仿真，而后通過對擬合曲線的擬合優(yōu)度和誤差計算，對模型進行改進，本文創(chuàng)造性地選用二次多元回歸方程進行求解，保證了單一擬合元素的關(guān)聯(lián)性，由保證了單一元素的突變性變化趨勢。