反共振雙層隔振系統分析

張贛波， 趙 耀

(華中科技大學 船舶與海洋工程學院， 武漢 430074)

經典雙層隔振理論建立在Snowdon等[1-2]的研究工作上。相比于單層隔振，雙層隔振傳遞曲線在隔振區以2倍斜率下降而被普遍應用于艦船發電機組、通風機組等輔機隔振裝置中[3]。在無阻尼理想條件下，雙層隔振傳遞率在隔振區可達到-24 dB/Oct的最大衰減速率，但為抑制共振峰，一定阻尼必不可少，這反過來將減小傳遞曲線下降斜率，損失中高頻隔振效果。因此，單純提高阻尼抑制共振峰在雙層隔振系統設計中并不可取，應發展一種可抑制共振峰，但又不降低隔振區傳遞率衰減速率的新方法。

準零剛度隔振器因具有“高靜低動”的非線性剛度特性而受到廣泛關注，但研究表明其隔振性能同樣受阻尼困擾。文獻[4-5]分別針對準零剛度單層和雙層隔振系統傳遞率進行過理論推導，結果顯示共振峰值和隔振區傳遞曲線下降斜率受阻尼的影響效果也是相反的。

Karnopp等[6]曾提出天棚阻尼概念，假想阻尼的一個端點在慣性坐標系上，這樣阻尼力與另一個端點的絕對速度成正比。這種虛擬的單端點阻尼可采取半主動的開關控制策略實現，在共振區打開阻尼，而在隔振區關閉阻尼，達到有效抑制共振峰而不降低隔振區傳遞率衰減速率的目的，很好地解決隔振系統中阻尼的設計矛盾。Griffin等[7]提出以動力吸振器作為天棚阻尼的被動實現方法，基于共振峰和隔振區傳遞率衰減雙重目標進行優化計算，隔振效果取決于質量比，較大的質量比帶來的問題是被隔振設備承載很大的動力吸振器質量。文獻[8]將磁流變阻尼器作為船舶輔機雙層隔振系統的半主動控制裝置，理論分析結果指出在半主動控制下增大磁流變阻尼器的阻尼可明顯抑制主共振峰值，同時對非共振區傳遞率影響較小，但論文未提及半主動控制算法。

反共振隔振器(anti-resonant vibration isolator，AVI)是一類具有反共振特性的隔振器，融合吸振和隔振的技術特點，其基本原理是在隔振器中引入雙端點性質的慣性元件，利用慣性元件的慣性力抵消彈性元件的彈性力[9]。Smith[10]對這類雙端點性質的慣性元件進行理論化，首次提出“慣容”概念。因具有兩個端點，慣容與彈簧元件進行串、并聯連接，按一定的結構規律就可以構成AVI[11]。因增加慣性，AVI可降低隔振系統的固有頻率[12]。

基于反共振特性，本文提出以AVI進行雙層隔振系統設計，解決其阻尼矛盾問題，在共振區抑制共振峰值，在隔振區維持雙層隔振傳遞率衰減速率，以改善雙層隔振性能。由于AVI存在不同的結構形式，本文先針對三型單慣容AVI開展結構選型分析，在優化參數條件下與傳統隔振器進行雙層隔振特性比較，優選出適用的二級串聯型三元件AVI結構；根據傳遞曲線存在與阻尼無關的固定點，建立了反共振雙層隔振系統的調諧優化方法，分別得到了AVI安裝于上層和下層兩種方式下的動力參數優化數值解，并在調諧優化狀態下進行上層和下層反共振隔振效果比較；最后討論了傳統隔振器阻尼的影響，提出了反共振雙層隔振系統的阻尼設計方案。

1 雙層隔振系統傳遞函數

雙層隔振系統模型如圖1所示。由傳遞矩陣方法，列寫出設備和基礎的力和響應的傳遞矩陣方程

(1)

式中:F，X分別為力和響應復幅值；Z為位移阻抗；下標m，i，f分別為設備和中間體、隔振器、基礎。

求解式(1)得

(2)

代入基礎阻抗Zf至式(2)，整理得力傳遞函數

(3)

在基礎剛性條件下，式(3)簡化為

(4)

式(4)表明，隔振器阻抗特性決定雙層隔振系統的隔振特性，體現在兩方面：一是隔振器阻抗函數的零點對應于隔振系統的反共振特性；二是Zm1Zm2與Zi1Zi2的階數差對應于傳遞曲線在隔振區的下降斜率，決定中高頻隔振效果。

為以示區分，本文將基于“彈簧-阻尼”結構體系的隔振器稱之為傳統隔振器(conventional vibration isolator，CVI)，其阻抗函數無零點，因而無反共振特性。AVI建立在“慣容-彈簧-阻尼”結構體系下，利用慣容慣性力和彈簧彈性力在共振狀態下等值反向相互抵消形成反共振，抑制共振峰值。

2 AVI結構選型

單慣容元件可以綜合三型AVI結構，如圖2所示。記作AVI-Ⅰ，AVI-Ⅱ，AVI-Ⅲ。若圖2中K為CVI，AVI-Ⅰ，AVI-Ⅱ，AVI-Ⅲ為在CVI結構上分別并聯單慣容、串聯“慣容-彈簧”二元件并聯支路和并聯“慣容-彈簧”二元件串聯支路。

AVI-Ⅰ

AVI-Ⅰ，AVI-Ⅱ，AVI-Ⅲ阻抗分別為

(5)

式中：b為慣質；k，K為剛度；s為復變量。當AVI-Ⅰ，AVI-Ⅱ，AVI-Ⅲ作為上、下層隔振裝置時，b，k，K分別加以下標1，2表示。

將設備和中間體看作剛體，質量分別以M1，M2表示，則Zm1=M1s2，Zm2=M2s2。當AVI-Ⅰ同時作為上、下層隔振裝置時，Zi1Zi2=(b1s2+K1)(b2s2+K2)是4階多項式，與Zm1Zm2=M1M2s4階數相同，傳遞曲線在隔振區將接近于一水平漸近線而無衰減。即使僅作為一層隔振裝置，力傳遞函數分母多項式和分子多項式的階數差也僅有2階，隔振區傳遞率衰減速率為-12 dB/Oct，相當于單層隔振水平。因此，AVI-Ⅰ不適用于雙層隔振。

對于AVI-Ⅱ，AVI-Ⅲ，其阻抗分母多項式和分子多項式具有相同的階數，作為雙層隔振裝置時，代入式(4)將不改變力傳遞函數的階數差，因而也不影響傳遞曲線的下降斜率，適用于雙層隔振。

以下針對AVI-Ⅱ，AVI-Ⅲ作進一步結構優選。制定比較方案：以傳統雙層隔振系統M1-K1-M2-K2為參照對象，剛度比λ=K2K1和質量比u=M2M1按兩固有頻率比值最小化設計，滿足λ=1+u；將AVI-Ⅱ，AVI-Ⅲ替換K1，K2，共有8種上、下層隔振器組合方案，分別與參照對象進行隔振特性比較。

(6)

式中：n為共振峰數量；α為加權系數，取α=0.5。

采用粒子群優化算法搜尋優化變量值[13]。作為示例，取u=0.5，λ=1.5，根據優化變量值得到不同隔振器組合方案下傳遞特性，如圖3所示。觀察圖3，反共振隔振系統傳遞曲線都有典型的反共振峰。AVI-Ⅱ，AVI-Ⅲ無論作為上層、下層或雙層隔振裝置，其傳遞曲線在越過共振區后的衰減斜率均與CVI相當，但傳遞率幅值存在差異。其中，AVI-Ⅲ對應的傳遞率幅值高于CVI，而AVI-Ⅱ與CVI基本一致。因此，AVI-Ⅱ更有結構優勢，本文以AVI-Ⅱ開展雙層隔振系統反共振設計分析。

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

(h)

為抑制隔振系統的共振峰值，在AVI-Ⅱ結構中應增加阻尼元件。根據阻尼與慣容、彈簧的組合規律，并聯阻尼不破壞慣容和彈簧的反共振特性。為此在AVI-Ⅱ中引入并聯阻尼元件，見圖4中虛線所示，共有3種不同排列方式。

圖4 阻尼在AVI-Ⅱ中的排列方式

3 AVI動力參數設計

3.1 固定點

由圖3可知，在雙層隔振系統中設置一層或雙層AVI-Ⅱ都可以抑制原第1階共振峰。與一層AVI-Ⅱ相比，上下雙層AVI-Ⅱ有助于進一步改善隔振性能，如抑制原第2階共振峰，但考慮到AVI-Ⅱ是二級串聯型結構，二級彈簧k，K串聯的合成剛度小于K，使得隔振系統的靜位移有所增大，尤其在上下雙層AVI-Ⅱ時靜位移增加量會更大。兼顧隔振系統穩定性，本文研究上下一層AVI-Ⅱ情形，另一層仍采用CVI。

在AVI-Ⅱ結構中并聯阻尼c1，忽略CVI阻尼。當AVI-Ⅱ作為上層隔振裝置時，根據第2章定義無量綱量，由式(4)推導無量綱力傳遞函數為

(7)

同理，可推導出AVI-Ⅱ作為下層隔振裝置時的無量綱力傳遞函數為

(8)

根據式(7)和式(8)，力傳遞函數將整理成如下形式

(9)

式中，Nr(γ)，Ni(γ)，Dr(γ)，Di(γ)都為關于γ的函數，并且與阻尼比ζ1無關。

考慮阻尼比ζ1的兩極限情況。

當ζ1=0時，有

(10)

當ζ1→∞時，有

(11)

對于任意阻尼比ζ1，將式(9)進一步整理為

(12)

傳遞曲線Tζ1與Tζ1→∞存在交點，假設交點P，其橫坐標γP，代入式(11)和式(12)，有

(13)

對照式(10)、式(11)和式(13)可知，Tζ1=0=Tζ1→∞成立。這說明交點P也是傳遞曲線Tζ1=0與Tζ1→∞的交點。因此，交點P是傳遞曲線Tζ1與阻尼比ζ1無關的固定點，其橫坐標γP由式(13)唯一確定。

以AVI-Ⅱ作為上層隔振裝置為例，Tζ1=0=Tζ1→∞整理后是關于γ的6次方程，有3個解，故傳遞曲線Tζ1存在3個與阻尼比ζ1無關的固定點。這3個固定點，分別以P，Q，S表示，如圖6所示。對于AVI-Ⅱ作為下層隔振裝置，固定點特征與之相似。

圖6 傳遞曲線固定點

3.2 動力參數優化

3.2.1 調諧優化方法

基于固定點對AVI-Ⅱ動力參數進行調諧優化設計，其基本步驟是：先令兩固定點P，Q的幅值相等，確定最優剛度比；再令兩固定點P，Q為極大值點，確定最優阻尼比[14]。

以上層反共振隔振說明。由圖6可知，兩固定點P，Q都在傳遞率曲線Tζ1=0，Tζ1→∞的相反邊上，相位相反，根據Tζ1=0=Tζ1→∞有

Nr(γ)Di(γ)+Ni(γ)Dr(γ)=0

(14)

根據式(7)對Nr(γ)，Ni(γ)，Dr(γ)，Di(γ)具體化，代入式(14)，整理式(14)得關于γ的6次方程，令α=γ2，將式(14)化簡為如下標準型一元三次方程

(15)

式中，x，y，z，w為關于u，λ，u1，λ1的關系式。

采用Cardano公式求解。設α=β-y3x，式(15)轉化為

β3+pβ+q=0

(16)

當判別式(q2)2+(p3)3<0時，式(16)有3個不等實根，分別為

(17)

其中

聯立式(15)～式(17)，可求解各固定點橫坐標γP，γQ，γS。再根據兩固定點P，Q在傳遞曲線Tζ1→∞共振峰的兩邊，相位也相反，由式(11)得兩固定點P，Q幅值相等條件為

(18)

求解式(18)得到最優剛度比λ1opt，由λ，u，u1共同確定。

當兩固定點P，Q為極大值點時，滿足

(19)

3.2.2 上層反共振隔振優化結果

以u，u1為自變量，λ1，ζ1為因變量，由于方程階數較高，無法推導出優化解析解表達式，編程計算出其優化數值解。最優剛度比λ1opt和最優阻尼比ζ1opt關于u，u1的等值線，如圖7、圖8所示。從計算結果看，u1>0.5才有調諧優化解。在u一定條件下，λ1opt與u1成正相關性，而ζ1opt與u1成負相關性，隨u1減小，ζ1opt變化靈敏度越大。總體上，ζ1opt受u變化影響很小，λ1opt和ζ1opt主要決定于u1。

圖7 最優剛度比λ1opt關于u，u1的等值線

圖8 最優阻尼比ζ1opt關于u，u1的等值線

以u=0.5示例，調諧優化后的力傳遞特性。如圖9所示，圖9中一并繪制出傳統雙層隔振系統的力傳遞曲線。比較可見，原第1階共振峰在實施反共振隔振后被有效抑制，由尖銳的單共振峰轉變為平坦的雙共振峰，原第2階共振峰值也有所降低。在越過共振區之后的隔振區，反共振隔振與傳統隔振的傳遞曲線基本重合，傳遞率衰減速率無變化，中高頻隔振效果無損失。隨u1遞增，反共振隔振系統共振峰值也隨之升高，主要原因在于ζ1opt隨u1增大而減小。

圖9 調諧優化后的傳遞特性

3.2.3 下層反共振隔振優化結果

對于下層反共振隔振，其優化計算結果，如圖10、圖11所示。從計算結果看，u2>2才有調諧優化解。與上層反共振隔振規律相似，在u一定條件下，隨u2增大，λ2opt增大，而ζ2opt減小。λ2opt，ζ2opt與u和u2都存在強相關性，受兩者共同影響。當u和u2都較小時，ζ2opt變化較靈敏。

圖10 最優剛度比λ2opt關于u，u2的等值線

圖11 最優阻尼比ζ2opt關于u，u2的等值線

仍以u=0.5為示例，調諧優化后的力傳遞特性，如圖12所示。下層反共振隔振效果與上層也相似，在維持隔振區傳遞曲線下降斜率不變化的條件下，實現原第1階共振峰值的有效抑制；雙共振峰值隨u2增大而升高，也呈現正相關性。

圖12 調諧優化后的傳遞特性

3.3 上層和下層反共振隔振比較

從優化計算結果看，AVI-Ⅱ安裝于上層和下層的隔振效果和參數影響規律具有一致性，在u確定后，雙共振峰值隨u1，u2增大而升高，共振峰抑制效果減弱。

令u1=u×u2(u1>0.5，u2>2)，在同一慣質條件下對上層和下層反共振隔振效果進行比較。在調諧優化狀態下，AVI-Ⅱ安裝于上層和下層兩種方式的雙共振峰值比較，如圖13所示。圖13中計算結果對應于u=0.3，此時雙共振峰值最低。直觀看出，下層反共振隔振的雙共振峰值都低于上層反共振隔振。因此，在工程可行條件下，宜將AVI-Ⅱ作為下層隔振裝置。

圖13 上層和下層反共振隔振效果比較

4 阻尼影響

第3章分析結果僅考慮AVI-Ⅱ阻尼，而實際上安裝于另一層的CVI也存在阻尼，以下進一步分析CVI阻尼對反共振隔振效果的影響。

根據調諧優化結果，在u一定時，最優阻尼比ζ1opt，ζ2opt分別與u1，u2成負相關性，為此取u1=2，u2=6進行討論，此情形下最優阻尼比ζ1opt，ζ2opt較小，以凸顯CVI阻尼影響。取u=0.5，上層反共振隔振優化值λ1opt=0.91，ζ1opt=0.28，下層反共振隔振優化值λ2opt=0.92，ζ2opt=0.28。

因此，反共振雙層隔振系統合理的阻尼設計方案是：AVI-Ⅱ阻尼以調諧優化值設計抑制共振峰，而CVI阻尼最小化，使得隔振區傳遞率以接近于理論最大速率衰減。

圖14 上層反共振隔振時CVI阻尼影響

圖15 下層反共振隔振時CVI阻尼影響

5 結 論

(1) 在單慣容AVI結構中，二級串聯型三元件AVI結構適用于雙層隔振系統；與慣容并聯的阻尼是全局阻尼，同時控制共振峰值和反共振峰值。

(2) 以AVI-Ⅱ進行雙層隔振系統設計，可實現在保持隔振區傳遞率衰減速率不降低的條件下抑制共振峰值，改善雙層隔振性能；在工程可行條件下，宜將AVI-Ⅱ作為下層隔振裝置。

(3) 在進行反共振雙層隔振系統設計時，可先忽略CVI阻尼，開展AVI-Ⅱ調諧優化，AVI-Ⅱ阻尼按調諧優化值設計，而CVI阻尼應最小化。