基于改進自適應經驗傅里葉分解的滾動軸承故障診斷方法

曹仕駿， 鄭近德， 潘海洋， 童靳于， 劉慶運

(1.特種重載機器人安徽省重點實驗室，安徽 馬鞍山 243032；2.安徽工業大學 機械工程學院，安徽 馬鞍山 243032)

滾動軸承是旋轉機械設備中的重要組成部分，是工業領域中應用最為廣泛、但同時也是最容易出現故障的旋轉機械零部件之一。機械設備中有將近21%的故障是由滾動軸承故障引起的[1]，滾動軸承的運行狀態是否正常直接影響整個機器的運行狀態和性能[2]。因此，開展滾動軸承故障診斷方法的研究具有重要的現實意義。

具有局部故障的滾動軸承的信號往往是非平穩的，傳統的傅里葉變換只能處理線性和平穩信號，時頻分析可以同時獲得時域特征和頻域特征上的信息[3-4]，能夠分析非平穩信號的局部化特征，被廣泛應用于滾動軸承故障診斷[5]。常見的時頻分析方法有小波分析[6]，Wigner-Ville分布[7]，短時傅里葉變換[8]等，然而這些時頻分析方法都有各自不同的特點和局限[9]，其中一個共同缺陷是缺乏自適應性。

經驗模態分解(empirical mode decomposition，EMD)[10-11]是Huang等[12-13]在1998年提出的一種數據驅動的非平穩信號處理方法，該方法無須預先設定任何基函數，依靠時間尺度特征來進行信號分解，在很多領域得到了廣泛的應用。但EMD方法也存在不足之處，如模態混疊，過包絡，欠包絡和端點效應等，且算法本身缺少完整的理論基礎。針對此問題，程軍圣等[14]提出了一種新的自適應分解方法——局部特征尺度分解(local characteristic-scale decomposition，LCD)方法，該方法是對局部均值點采用三次樣條方法得到均值曲線，與EMD方法相比，可以克服過包絡和欠包絡，抑制端點效應，計算時間等有一定的優勢[14-16]，但仍然不可避免地出現端點效應和模態混疊。Gilles等[17-18]提出了經驗小波變換(empirical wavelet transform，EWT)，該方法是在小波變換的基礎上提出來的，具有較快的計算速度和完備的理論基礎[17]。該方法通過先預設分解的模態個數N，再對原始信號的頻譜進行自適應分割，得到N個區間，然后對每個區間通過尺度函數和小波函數構造正交小波濾波器組來進行重構，從而得到單分量信號。EWT方法在受噪聲影響和頻率成分比較復雜時，頻譜分割的效果比較差，從而影響EWT方法的分解效果。EWT方法關鍵問題是傅里葉頻譜分割，眾多學者對EWT方法進行了改進，李從志[19]提出了基于頻譜包絡的改進EWT方法，鄭近德等[20]提出了自適應經驗傅里葉分解(adaptive empirical Fourier decomposition，AEFD)，該方法能將一個非平穩信號自適應地分解為若干個瞬時頻率具有物理意義的單分量信號之和，但是AEFD方法分割的邊界集需要人為經驗設置，不具有自適應性。

為了克服AEFD方法的缺陷，受改進EWT方法啟發，論文提出了改進的自適應經驗傅里葉分解(enhanced adaptive empirical Fourier decomposition，EAEFD)，EAEFD方法以快速傅里葉變換為基礎，再以包絡熵值[21]最小作為評價指標得到最優的分解模態數N，其次采用頻譜極大值包絡的頻譜分割技術得到分割邊界和邊界集，最后對每個邊界集進行逆快速傅里葉變換，從而得到若干個瞬時頻率具有物理意義的單分量信號。最后，通過仿真信號和具有局部故障的滾動軸承振動信號分析，將所提出的EAEFD方法分別與EWT，EMD和LCD等方法進行了對比，試驗結果表明：EAEFD方法不僅能夠有效診斷滾動軸承的局部故障，而且診斷精度比所對比的方法更高。

1 改進的自適應經驗傅里葉分解方法

論文提出的EAEFD方法包括兩個部分：一是對傅里葉頻譜進行自適應分割，得到合理的分割邊界；二是對傅里葉頻譜分割得到的區間采用逆快速傅里葉變換進行重構。EAEFD方法能夠將一個非線性非平穩的信號自適應的分解為若干個瞬時頻率具有物理意義的傅里葉本征模態函數(Fourier intrinsic mode function, FIMF)之和，且該分解方法具有自適應性、完備性、局部性和正交性。

為了自適應分割傅里葉頻譜，選取分解最優的模態數N，論文采用包絡譜熵作為EAEFD方法分解效果的評價指標。將EAEFD方法分解得到FIMF分量信號通過Hilbert解調運算后得到的包絡信號處理成一個概率分布序列pj，由此得到的熵值稱為包絡熵值，包絡熵值可以反應原始信號的稀疏特性。得到的包絡熵值越大，則分量信號的稀疏性越弱，反之包絡熵值越小，則分量信號的稀疏性越強，波形中出現規律性沖擊脈沖越明顯。信號x(j)(j=1,2,…,K)的包絡熵Ep可以表示為

(1)

式中：a(j)為信號x(j)經過Hilbert解調運算后得到的包絡信號；pj為a(j)歸一化形式，即概率分布序列。

EAEFD方法步驟具體如下：

步驟1對原始信號x(t)進行快速傅里葉變換(fast Fourier transform,FFT)，得到其復系數F(ω)，再計算傅里葉頻譜，原始信號x(t)的傅里葉變換為

(2)

記原始信號x(t)的傅里葉頻譜為f(ω)=F(ω)。

步驟2對傅里葉頻譜f(ω)進行自適應分割，確定分解的模態個數N，設置分解模態數初始為N=2和搜索范圍，執行步驟4～步驟9。

步驟3計算模態數目為N的各FIMF分量的包絡譜熵值，則可以確定此N下的最小包絡譜熵值，稱之為局部極小熵值，再比較搜索范圍內中各模態數的包絡譜熵值，從而確定搜索范圍內的最小包絡熵值，最后確定分解方法中最優模態數目N。

步驟4找出并記錄頻譜中所有的Emax個極大值和Emin個極小值的位置。

步驟5如果Emin>5N，則進入步驟6，反之Emin≤5N，則進入步驟7。由于在步驟6中，每當頻譜包絡檢測處理一次，Emin個極小值以1/3左右的倍率衰減，將Emin與模態個數N設置為5倍的關系是為了保證最后一次頻譜包絡檢測處理的極小值個數大于所需要分解的模態個數N。

步驟6連接所有的極大值，得到極大值包絡曲線，再統計包絡曲線的極小值和極大值的個數并記錄其位置，此時的極小值個數記為Emin，極大值個數記為Emax，則返回步驟5。

(3)

(4)

步驟9最后得到每個區間Bi重構的FIMF分量，記為

xi(t)=ρi(t)eφi(t),i=1,2，…，N

(5)

則原始信號可以表示為

(6)

EAEFD方法以快速傅里葉變換為基礎，以包絡熵值最小作為評價指標，確定最優分解模態數目，再采用極大值包絡方法自適應地獲得一個合理的分割邊界，最后再采用逆快速傅里葉變換對每個區間進行重構得到FIMF分量。故該方法能將一個復雜的信號自適應地分解為若干個瞬時頻率具有物理意義單分量信號(FIMF)之和。該方法將經典的常幅值和常頻率的傅里葉展開擴展成為變幅值和變頻率的廣義傅里葉展開。由于EAEFD方法是自適應地將整個頻譜分成若干個區間，再分別對每個區間進行重構，該分解方法具有自適應性、完備性、局部性和正交性。

EAEFD方法具體流程如圖1所示。

圖1 EAEFD方法流程圖

2 仿真信號對比分析

為了驗證論文所提方法的有效性，采用式(7)所示的仿真信號x(t)進行分析

x(t)=x1(t)+x2(t)+x3(t)

(7)

式中:x1(t)=1.5e-0.5tcos(30πt+6πt2);x2(t)=0.5sin(90πt);采樣頻率為Fs=1 024 Hz；x3(t)=(0.5+0.6sin(6πt))sin(140πt+1.5cos(6πt))；x(t)是由兩個調幅調頻分量和一個正弦分量組成，x(t)和各個分量的時域波形圖如圖2所示。

首先，采用EAEFD方法對仿真信號x(t)分解，初始化模態數N=2，設定N的搜索范圍為[2,8]，利用最小包絡熵值原則優化模態數N，模態數N與局部極小熵值關系如圖3所示。從圖3可以看出，當N=3時，取得最小包絡熵值為2.867 6，因此，最優模態數N=3，這也與仿真信號三個分量吻合。由于EAEFD方法最優的分解模態數N=3，此時頻譜包絡檢測處理次數為0次。

(a)

(b)

(c)

(d)

圖3 局部極小熵值隨分解模態數N的變化曲線

其次，為了比較EAEFD，EWT，EMD，LCD和AEFD方法分解的效果，分別采用這五種方法對x(t)進行分解，EWT方法在傅里葉頻譜中取幅值最大的前N個極大值，將前N個極大值的中點位置作為分割邊界，獲得分割邊界后再通過尺度函數和小波函數構造正交小波濾波器組來進行重構，AEFD方法初始邊界集根據頻譜設置為[19,63]，EMD和LCD方法終止判據是標準偏差法(standard deviation,SD)[22]，當SD<0.3時終止迭代，且LCD方法中參數a=0.5,由于EMD分解得到的分量比較多，從第四個分量開始波形比較相似，故選取前四個分量，圖4(a)和圖4(b)分別為EAEFD和EWT的頻譜的分割邊界，由圖4可知，EAEFD方法能夠將原始信號的三個分量的傅里葉頻譜劃分開，得到合理的分割邊界，而EWT方法未將三個分量的傅里葉頻譜劃分開，而是將原始信號中的第一個分量的頻譜劃分成兩個區間，即對應EWT方法分解得到的前兩個分量，并且將原始信號中的第二個分量和第三個分量劃分至同一個區間，對應EWT方法分解得到的第三個分量，故EWT的分解效果不佳。EAEFD方法與EWT、EMD和LCD方法相比較，EAEFD方法分解效果是最優的。

(a) EAEFD

(b) EWT

分別采用五種方法對仿真信號x(t)進行分解，分解結果如圖5(a)～圖5(e)所示。由圖5(b)可知，從時域波形上看，EWT分解得到的分量出現了模態混疊和端點效應(虛框所示)，分解得到的三個分量與對應真實分量相差較大；由圖5(c)中虛框所示，EMD方法分解得到的第二個分量波形對應x1(t)，該分解方法得到的分量也同樣存在模態混疊；由圖5(d)可知，LCD方法分解得到的第一個分量對應x3(t)，第二個和第三個分量發生了嚴重模態混疊(虛框所示)；如圖5(e)中虛框所示，AEFD方法的第二個分量存在嚴重的模態混疊，第三個分量波形對應真實分量，但幅值發生了變化，該方法未將仿真信號中的三個分量分開。EWT和EMD方法未將原始信號中第二個和第三個分量分離。由圖5(a)可知，論文提出的EAEFD方法分解得到的三個分量分別對應仿真信號x(t)中的x1(t)，x2(t)，x3(t)，波形和原始信號的三個分量吻合，保真性比較好。

為了更加直觀地對比五種方法分解得到的分量的精確性，論文給出了五種方法得到的分量與真實分量之間的絕對幅值誤差，如圖6所示。其中絕對幅值誤差定義為分解得到的分量與真實分量之差的絕對值，由圖6可知，與EWT，EMD，LCD和AEFD方法對比，論文提出的EAEFD方法分解得到的三個分量絕對幅值誤差均是最小的，且絕對幅值誤差趨近于零，故該方法分解得到的分量精確性是最高的，同時也說明了EAEFD方法分解效果具有一定的優勢。

(a) EAEFD

(b) EWT

(c) EMD

(d) LCD

(e) AEFD

(a)

(b)

(c)

最后，為了進一步驗證論文所提出方法的有效性，表1給出了五種分解方法分解得到的分量與真實分量之間的相關系數R，表2給出了五種分解方法的分解正交性指標(index of orthogonality，IO)和五種分解方法分解得到的分量與真實分量之間的誤差能量比ER。相關系數越大，說明相關性越好，正交性指標越小，說明分解的正交性越好，誤差能量比越小，說明誤差越小。其中誤差能量比(ER)，正交性指標(IO)和相關系數(R)分別定義為

(8)

(9)

(10)

式中：i,j=1,2,3;yi(t)和yj(t)為分解方法得到的第i個和第j個分量。

表1 五種分解方法的x(t)相關系數的評價指標對比

表2 五種分解方法的x(t)正交性和誤差能量比的評價指標對比

由表1可知，在第一個分量中，EAEFD方法分解得到的分量相關系數是最高的，EMD和EWT方法分解得到分量相關系數比EAEFD方法分解得到的分量相關系數略小，AEFD和LCD方法分解得到的分量相關系數最小；在第二個分量中，EAEFD方法分解得到的分量相關系數同樣是最高的，而其他四種方法分解得到的分量相關系數均較小，可以說明在分解過程中存在一定程度的模態混疊，沒有將各個分量完全分開；在第三個分量中，EAEFD方法分解得到的分量相關系數仍然是最高的，AEFD方法分解得到的分量相關系數僅次之，EMD和LCD方法分解得到的分量相關系數再次之，EWT和EMD方法分解得到的分量相關系數最小，EAEFD方法分解得到的三個分量與原始信號的三個分量相關系數均達到0.99，相關性較大，也驗證了論文所提方法的有效性。

由表2可知，EAEFD方法分解結果的正交性指標幾乎為零，說明了各FIMF分量是相互獨立的，AEFD方法分解結果的正交性指標比EAEFD方法分解結果的正交性指標略大，而EWT方法分解結果的正交性指標最大，EMD和LCD方法分解結果的正交性指標相比EWT方法分解結果的正交性指標略小一點，而正交性指標越小越能說明分解的正交性越好，故EAEFD方法的正交性是最好的。此外，從絕對誤差能量比上來看，在第一個分量中，EAEFD方法得到的分量絕對誤差能量比是最小的，EMD和EWT方法得到的分量絕對誤差能量比則次之，LCD和AEFD方法得到的分量絕對誤差能量比是最大的；在第二個分量中，EAEFD方法得到的分量絕對誤差能量比也是最小的，其他的四種方法得到的分量絕對誤差能量比均比較大；在第三個分量中，EAEFD方法得到的分量絕對誤差能量比仍然是最小的，AEFD方法得到的分量絕對誤差能量比則次之，LCD方法得到的分量絕對誤差能量比再次之，EWT和EMD方法得到的分量絕對誤差能量比是最大的。

綜合以上分析，EAEFD方法與EWT，EMD，LCD和AEFD方法相比較，EAEFD方法分解得到的FIMF分量在相關性、正交性和精確性等方面均有一定的優越性。

圖7 含噪聲的仿真信號時域波形

圖8 局部極小熵值隨分解模態數N的變化曲線

(a) EAEFD

(b) EWT

(a) EAEFD(b) EWT(c) EMD(d) LCD(e) AEFD

為了對比五種分解方法得到的分量與真實分量之間的吻合程度，由圖11所示的絕對誤差圖可以看出，EWT，EMD，LCD和AEFD方法分解得到的三個分量與真實分量之間的絕對幅值誤差均比較大，與這四種方法相比較，EAEFD方法分解得到的三個分量與真實分量之間的絕對幅值誤差均比較小，故可以說明EAEFD方法的精確性和抗噪聲效果更好，具有一定的優越性。

(a)

(b)

(c)

由表3可知，EAEFD方法分解得到的分量與三個對應真實分量之間的相關系數分別為0.991 36,0.981 99和0.988 64，相關性較高，分別大于EWT方法的0.953 21,0.516 09和0.681 4，EMD方法的0.765 86,0.465 81和0.593 24，LCD方法的0.015 52,0.045 34和0.738 32以及AEFD方法的0.812 62,0.600 79和0.798 68。LCD方法分解得到的三個分量中，前兩個分量與真實分量之間的相關系數很小，幾乎為零，這說明LCD方法分解效果較差，而EAEFD方法分解得到的分量與真實分量之間的相關系數較大，說明分解效果好，在含噪聲的背景下，EAEFD方法與另外四種方法相比，分解效果仍是最優的。

表3 五種分解方法的相關系數的評價指標對比

為了進一步驗證EAEFD方法的有效性，計算五種分解方法結果的正交性指標，結果如表4所示。從表4可以看出，EMD和EWT方法分解結果的正交性指標分別為0.158 49和0.141 41，大于LCD方法的0.032 42，以及AEFD方法的2.87×10-17，而EAEFD方法分解結果的正交性指標最小，幾乎為零，說明EAEFD方法分解的正交性最好。接下來從誤差能量比上來看，EAEFD方法分解得到的分量與真實三個分量之間的誤差能量比分別為0.018 13，0.044 09和0.026 24，三個分量的誤差能量比均是最小的，分別小于EWT方法的0.094 66，2.297 35和1.241 24，EMD方法的0.474，1.447 02和0.778 31，LCD方法的1.171 56，1.961 11和0.456 84，以及AEFD方法的0.340 45,1.975 20和0.609 29。相比EAFED方法，EWT，EMD和AEFD方法的第二個和第三個分量誤差能量比都比較大，LCD方法的第一個和第二個分量誤差能量比均較大，故可以說明EAEFD方法的有效性。

表4 五種分解方法的正交性和誤差能量比的評價指標對比

綜上分析，與EWT，EMD，LCD和AEFD方法相比，EAEFD方法的抗噪能力更強且分解得到的分量在相關性、正交性和精確性等方面均有一定的優越性。

3 實測信號分析

為了進一步驗證所提出EAEFD方法的有效性和優越性，將其應用于滾動軸承故障模擬試驗臺的實測信號數據分析，該試驗數據來自安徽工業大學滾動軸承故障試驗臺，如圖12所示。試驗臺由驅動裝置、支撐裝置、加載裝置以及緩沖裝置四部分構成，試驗裝置中，1號傳感器采集徑向振動信號，2號傳感器采集水平振動信號，3號傳感器采集軸向振動信號。試驗采用的滾動軸承型號為SKF 6206-2RS1/C3，使用電火花加工技術分別在深溝球軸承上布置了內圈、外圈和滾動體的單點故障，試驗選取了內圈故障深度為0.3 mm進行驗證，如圖13所示，負載為5 kN，采樣頻率為10 240 Hz，主軸轉速為300 r/min，3號傳感器采集的軸向振動信號，采集的時間為1 s。計算得轉頻為fr=5 Hz，故障特征頻率為fi=27.15 Hz，振動信號的時域波形如圖14所示，從圖14可以看出，時域波形沖擊成分比較明顯，原始振動信號的包絡譜圖如圖15所示，圖15中僅能提取一倍故障特征頻率fi，而且包絡譜圖中干擾成分嚴重，無法有效地診斷其故障類型。

1.變頻電機;2.主軸;3.滾動軸承;4.1號傳感器;

圖13 內圈故障的滾動軸承

圖14 內圈故障的滾動軸承信號時域波形

圖15 內圈故障滾動軸承信號的包絡譜圖

首先，采用EAEFD方法對具有內圈故障的滾動軸承信號進行分解，分解的初始化模態數N=2，設定分解模態數N的搜索范圍為[2,16],利用包絡譜熵值評價指標優化分解的模態數N，得到局部極小熵值隨模態數N變化的關系圖，如圖16所示，當N=9時，取得最小包絡熵值為3.745 7，故EAEFD方法分解的最優模態數N=9。

圖16 局部極小熵值隨分解模態數N的變化情況

由圖16可知，EAEFD方法分解的最優模態數N=9，此時頻譜的處理次數為四次，為了比較EAEFD，EWT，EMD，LCD和AEFD方法分解的效果，分別采用五種方法對具有內圈故障的滾動軸承信號分解，EAEFD方法分解的個數為九個，AEFD，EWT方法和LCD方法分解的個數為五個，AEFD方法初始邊界集設置為[160,380,500,620]，由于EAEFD方法和EMD方法分解的個數均比較多，由于篇幅原因，故取前5個分量，分解的結果如圖17(a)～圖17(e)所示，EAEFD方法分解得到五個分量具有明顯的沖擊成分特征，EWT方法分解得到的第一個分量中出現了模態混疊(圖中虛框所示)，第五個分量有沖擊成分的特征，但不明顯，EMD方法分解得到的分量中無明顯的沖擊成分特征，第五個分量中出現了模態混疊，LCD和AEFD方法分解得到的前四個分量沖擊成分特征不明顯，第五個分量的沖擊成分特征比較明顯。與EWT，EMD，LCD和AEFD方法對比，說明了EAEFD方法的有效性和優越性。

(a) EAEFD(b) EWT(c) EMD(d) LCD(e) AEFD

其次，為了更加有效地提取故障成分特征，分別計算五種分解方法中各個分量的包絡譜，由于篇幅原因，文中給出前五個分量包絡譜圖，結果如圖18(a)～圖18(e)所示，EWT方法的第一個分量和第五個分量包含內圈故障特征頻率fi，第二個分量包含內圈故障特征頻率fi及其倍頻2fi，而第三個和第四個分量沒有包含內圈故障特征頻率，對應著時域上第三個和第四個虛假的分量；EMD方法第二個至第五個分量包含內圈故障特征頻率fi，而第一個分量沒有包含內圈故障特征頻率；LCD方法的第三個和第四個分量包含內圈故障特征頻率fi，第五個分量包含包含內圈故障特征頻率fi及其倍頻2fi和3fi，剛好與時域上突出沖擊成分特征的第五個分量相對應；AEFD方法第二個至第四個分量包含內圈故障特征頻率fi，第五個分量包含包含內圈故障特征頻率fi及其倍頻2fi；EAEFD方法的第一個和第三個分量中包含內圈故障特征頻率fi及其倍頻2fi，第二個，第四個和第五個分量中均包含內圈故障特征頻率fi及其倍頻2fi和3fi，該方法的五個分量中故障特征頻率及各階倍頻明顯，而且頻譜圖中各階倍頻處有幅值逐漸下降的譜線，故EAEFD方法可以有效地診斷出滾動軸承的內圈存在故障。

最后，為了定量的比較EAEFD，EWT，EMD，LCD和AEFD方法分解得到的分量提取故障特征頻率的能力，采用文獻[23]定義的信噪比(signal-to-noise ratio,SNR)(RSN)指標來衡量故障特征的能量比，信噪比越大，噪聲干擾就越小，故障特征頻率就越明顯，信噪比定義為

(11)

式中：P[·]為快速傅里葉變換得到的功率譜;fm為故障特征頻率;N為時間序列長度;Δf為頻率分辨率。

(a) EAEFD(b) EWT(c) EMD(d) LCD(e) AEFD

論文中選擇峭度最大的分量計算信噪比，峭度值越大，說明分量包含故障成分越多，其峭度定義為

(12)

式中：y(ti)為在ti時刻內的樣本；μx為樣本的平均值；N為樣本長度。

五種分解方法峭度最大的分量的信噪比計算結果如表5所示，表5中n表示為故障特征頻率的倍頻，由表5可知，與EWT，EMD，LCD和AEFD方法相比，EAEFD方法分解得到的分量的一倍頻，二倍頻和三倍頻的信噪比均是最大的。表明EAEFD方法定量診斷效果優于其他四種方法，EAEFD方法分解效果相比另外四種方法具有一定的優越性。

表5 五種分解方法峭度最大的分量信噪比評價指標對比

4 結 論

論文提出了一種改進的自適應經驗傅里葉分解方法,并將該方法運用到滾動軸承診斷中，與現有的幾種方法對比，得出以下結論：

(1) 理論方面，EAEFD方法與AEFD方法相比，EAEFD方法可以避免人為設置邊界集，自適應地確定最優分解模態數；與EWT方法相比，EAEFD方法能夠得到一個合理的分割邊界；與EMD方法和LCD方法相比，能夠有效避免模態混疊問題。

(2) 通過仿真信號分析，將EAEFD方法與EWT，EMD，LCD和AEFD方法進行了對比，實驗結果表明，EAEFD方法在分解的相關性，正交性和精確性方面具有一定的優越性，同時還有更強的抗噪能力。

(3) 將EAEFD方法和EWT，EMD，LCD和AEFD方法與包絡譜相結合，運用在具有內圈故障的滾動軸承中，實驗結果表明，EAEFD方法不僅能夠有效地診斷故障，而且診斷精度更高。