超彈塑性泡沫連續(xù)沖擊動(dòng)力學(xué)行為分析的新方法

盧富德， 任夢(mèng)成， 高 德， 奚德昌

(1.湖南工業(yè)大學(xué) 包裝與材料工程學(xué)院，湖南 株洲 412007；2.浙江大學(xué) 航空航天學(xué)院，杭州 310027)

塑料泡沫由于其良好的緩沖性能、質(zhì)輕、價(jià)廉等特點(diǎn)，常用于緩沖包裝中。利用最大加速度-靜應(yīng)力曲線表征緩沖材料的緩沖特性是最基本且最常用的方法，在一系列緩沖材料厚度與跌落高度條件下，直接利用最大加速度與靜應(yīng)力曲線便可以計(jì)算出緩沖材料的面積與厚度兩個(gè)尺寸參數(shù)[1]。通過(guò)最大加速度-靜應(yīng)力曲線得到的結(jié)構(gòu)比較簡(jiǎn)單，對(duì)于復(fù)雜結(jié)構(gòu)，一般通過(guò)試驗(yàn)手段得到緩沖材料應(yīng)力-應(yīng)變曲線[2-6]，然后利用一些特殊的數(shù)學(xué)函數(shù)對(duì)準(zhǔn)靜態(tài)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系建立單軸本構(gòu)模型[7-9]。在此基礎(chǔ)上考慮應(yīng)變率、密度等參數(shù)的作用，建立一個(gè)適用范圍較廣的本構(gòu)模型，但是這些本構(gòu)模型很少有考慮泡沫材料在卸載階段的力學(xué)響應(yīng)，因此也就不能適用于泡沫在受到加載-卸載-再加載-再卸載循環(huán)載荷時(shí)的情形下的力學(xué)性能預(yù)測(cè)。

文獻(xiàn)[10]利用ABAQUS工具內(nèi)置的彈塑性可壓縮泡沫本構(gòu)模型材料模型，分析了高密度聚乙烯泡沫加載-卸載力學(xué)行為；材料模型中利用線彈性卸載力學(xué)行為，但沒(méi)有考慮卸載階段的非線性行為。文獻(xiàn)[11]利用ABAQUS工具的HYPERFOAM材料模型，并結(jié)合MULLINS模型，分析了EPP泡沫加載-卸載力學(xué)行為，此模型考慮了非線性卸載力學(xué)行為，并預(yù)測(cè)了泡沫超彈力學(xué)性能，但它沒(méi)有預(yù)測(cè)實(shí)際所發(fā)生的殘余應(yīng)變。文獻(xiàn)[12]介紹了LS-DYNA工具中MAT_LOW_DENSITY_FOAM(MAT57)模型， MAT57中的滯回卸載因子HU與形狀因子SHAPE等效于ABAQUS中的MULLINS模型，MAT57可以表征具有非線性卸載行為，但同樣不能預(yù)測(cè)實(shí)際發(fā)生的殘余應(yīng)變。文獻(xiàn)[13]利用兩個(gè)主流有限元工具ABAQUS與LS-DYNA中的本構(gòu)模型，對(duì)EPS與EPE泡沫力學(xué)性能進(jìn)行了一系列對(duì)比研究，結(jié)果發(fā)現(xiàn)實(shí)際泡沫力學(xué)性能是介于彈塑性力學(xué)性能與超彈性力學(xué)性能之間，既有殘余應(yīng)變，又有一定的超彈性，而兩個(gè)有限元工具都不能完整分析泡沫復(fù)雜的卸載力學(xué)行為，尤其是殘余變形的預(yù)測(cè)。

考慮殘余應(yīng)變影響以及非線性卸載力學(xué)特征，文獻(xiàn)[14]分別建立了加載、卸載與再次加載本構(gòu)模型，成功預(yù)測(cè)了泡沫連續(xù)多次沖擊響應(yīng)，但需要的試驗(yàn)次數(shù)較多，涉及到的參數(shù)較多。本文為塑料泡沫連續(xù)多次沖擊力學(xué)行為提出新的計(jì)算方法，把一般性泡沫分解成兩種典型泡沫力學(xué)性能:一個(gè)是彈塑性層，按照線彈性行為卸載;第二種是超彈性層，按照非線性方式卸載；通過(guò)兩層特殊力學(xué)行為的疊置組合，進(jìn)而達(dá)到簡(jiǎn)化連續(xù)多次沖擊力學(xué)行為的目的。

1 泡沫力學(xué)本構(gòu)模型基本理論

1.1 超彈性泡沫

超彈泡沫本構(gòu)模型是基于應(yīng)變能密度函數(shù)而提出的，代表性的應(yīng)變能密度函數(shù)是Ogden提出的勢(shì)函數(shù)，此函數(shù)U是3個(gè)主伸長(zhǎng)量λ1,λ2與λ3函數(shù)，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(1)

式中:μi,αi與βi為待識(shí)別常數(shù);J=λ1λ2λ3。

在Ogden勢(shì)函數(shù)中引入損傷函數(shù)即可得到Mullins效應(yīng)本構(gòu)模型的勢(shì)函數(shù)，即

U(λ1,λ2,λ3,η)=ηU0(λ1,λ2,λ3)+φ(η)

(2)

損傷變量由式(3)給出

(3)

式中：r,m與β為材料常數(shù);U0為卸載階段的瞬時(shí)應(yīng)變能;Um為卸載階段的最大應(yīng)變能。

式(1)～式(3)以超彈泡沫材料模型與馬林斯模型植入有限元軟件，分別對(duì)應(yīng)有限元工具ABAQUS中的HYPERFOAM與MULLINS本構(gòu)模型。由式(1)與式(2)所決定的應(yīng)力-應(yīng)變曲線示意圖，如圖1所示。式(1)中的參數(shù)能夠表征線彈性階段、應(yīng)力屈服平臺(tái)階段及壓實(shí)階段等3個(gè)典型區(qū)域所圍成的形狀，式(3)能夠表征非線性卸載行為。

對(duì)于單軸情形，其應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為

(4)

對(duì)式(4)積分，即可得到式(3)的應(yīng)變能U0

(5)

對(duì)應(yīng)的最大應(yīng)變能Um為

(6)

圖1 超彈泡沫應(yīng)力-應(yīng)變曲線示意圖

為了簡(jiǎn)化模型，在單軸情況，應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系可以表示為

(7)

式中,a1,a2,a3與a4為待識(shí)別參數(shù)。

對(duì)應(yīng)的應(yīng)變能U0變?yōu)?/p>

(8)

最大應(yīng)變能成為

(9)

超彈泡沫一維本構(gòu)模型，可以表示為以下形式

(10)

1.2 彈塑性泡沫

文獻(xiàn)[6-8]利用有限元軟件ABAQUS的彈塑性可壓縮泡沫材料模型，對(duì)彈塑性材料EPS力學(xué)性能進(jìn)行模擬，其加載曲線與圖1的類(lèi)似，示意圖如圖2所示，具有線彈性階段、平臺(tái)屈服階段及壓縮階段，但卸載階段是線彈性卸載，即有殘余變形發(fā)生，這說(shuō)明ABAQUS的可壓縮材料模型不能模擬泡沫的非線性卸載行為。在單軸情況，彈塑性泡沫的本構(gòu)模型可以表示為

(11)

圖2 彈塑性泡沫應(yīng)力-應(yīng)變曲線示意圖

1.3 超彈塑性泡沫

實(shí)際上，泡沫在卸載階段既有非線性卸載特點(diǎn)，同時(shí)伴有殘余應(yīng)變的發(fā)生，如圖3所示。把此問(wèn)題看作是兩層特殊本構(gòu)力學(xué)行為串聯(lián)形式[15]，示意圖如圖4所示。兩層具有相同的橫截面積但有不同的厚度，設(shè)兩部分所具有的厚度分別是λh，(1-λ)h。兩層具有相同的加載力學(xué)行為，但有不同的卸載力學(xué)行為。超彈層按照MULLINS效應(yīng)規(guī)律進(jìn)行卸載，彈塑性層按照線彈性規(guī)律進(jìn)行卸載。這樣既可以考慮非線性卸載，又可以表征泡沫實(shí)際變形中所產(chǎn)生的一定程度的殘余變形。超彈塑性泡沫的超彈力學(xué)性能由式(7)中a1,a2,a3與a4等4個(gè)參數(shù)確定；其非線性卸載行為由式(3)的r，m，β這3個(gè)參數(shù)確定，線性卸載力學(xué)行為由式(11)第2個(gè)公式中的E確定，所以，基于超彈塑性泡沫應(yīng)力-應(yīng)變?cè)囼?yàn)結(jié)果，識(shí)別a1，a2，a3，a4，r，m，β，E與λ等9個(gè)參數(shù)，即可完整表征泡沫的力學(xué)性能。

在確定兩層材料本構(gòu)模型后，可以按照?qǐng)D5所示的泡沫動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行動(dòng)力學(xué)行為預(yù)測(cè)，動(dòng)力學(xué)方程為

(12)

式中：M為物體的質(zhì)量;x為物體的運(yùn)動(dòng)坐標(biāo);y為超彈層與彈塑性層分界線的運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)。

圖3 超彈塑性泡沫應(yīng)力-應(yīng)變曲線示意圖

圖4 泡沫力學(xué)性能等效示意圖

圖5 泡沫動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)示意圖

初始條件為

(13)

式中,H為跌落高度。

2 參數(shù)識(shí)別

2.1 試驗(yàn)方法

選取平均密度為28 kg/m3的EPS，尺寸：100 mm×100 mm×20 mm。因EPS具有率相關(guān)性，當(dāng)用于緩沖包裝中時(shí)，應(yīng)變率大約在100 s-1，試驗(yàn)設(shè)備采用跌落塔，重錘質(zhì)量為7 kg,跌落高度分別取0.3 m,0.5 m及0.7 m。利用加速度傳感器得到加速度-時(shí)間曲線，結(jié)果如圖6(a)中的虛線所示，然后得到圖6(b)虛線所表示的應(yīng)力-應(yīng)變曲線。

(a)

(b)

2.2 參數(shù)結(jié)果

利用圖6(b)中的加載曲線，利用最小二乘法識(shí)別出式(7)中的參數(shù)分別為：a1=0.21 MPa,a2=30,a3=0.096 MPa,a4=0.9；剩下的參數(shù)r，m，β，E，λ，是基于圖6(b)中的卸載曲線并采用最小二乘法得到：r=1.2,m=0.003 MPa,β=0.5,λ=0.31，E=5.1 MPa。

利用得到的參數(shù)，求解振動(dòng)方程式(12)，得到質(zhì)量塊的加速度-時(shí)間響應(yīng)，如圖6(a)中的實(shí)線所示，以及圖6(b)材料應(yīng)力-應(yīng)變曲線。試驗(yàn)與理論結(jié)果對(duì)比，可以看出二者具有較好的吻合性。

3 連續(xù)跌落沖擊行為預(yù)測(cè)

3.1 連續(xù)跌落動(dòng)力學(xué)方程

根據(jù)振動(dòng)方程式(12)，得到系統(tǒng)在第1次跌落高度H1條件下的沖擊加速度-時(shí)間歷程，并得到彈塑性層的殘余應(yīng)變?yōu)?/p>

(14)

由兩層材料的變形路徑示意圖如圖7所示可知，第2次跌落情形，超彈模型可以表示為

(15)

其中

(16)

圖7 第2次沖擊時(shí)兩層材料變形路徑

第2次跌落，彈塑性模型可以表示為

(17)

第2次跌落沖擊條件下，系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程為

(18)

初始條件為

(19)

重復(fù)以上步驟，可以求解泡沫在第3次及以后的連續(xù)跌落沖擊條件作用下的加速度響應(yīng)。

3.2 連續(xù)跌落動(dòng)力學(xué)行為結(jié)果

采用參數(shù)h=0.04 m,M=8 kg,H1=H2=H3=0.6 m,得到物體在相同跌落條件下連續(xù)3次沖擊的加速度-時(shí)間曲線結(jié)果，如圖8中的實(shí)線所示，可以看出理論計(jì)算能夠很好地吻合試驗(yàn)結(jié)果(如圖8中的虛線)。

圖8 連續(xù)3次相同跌落條件下加速度-時(shí)間曲線理論與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比

采用參數(shù)h=0.03 m,M=8 kg,H1=0.4 m,H2=0.5 m,H3=0.6 m,得到物體在不同跌落條件下連續(xù)3次沖擊的加速度-時(shí)間曲線如圖9中的實(shí)線所示，可以看出，除了第3次沖擊有較大誤差外，其余兩層均具有較好地吻合性。第3次誤差較大原因：第3次沖擊時(shí)，最大壓縮應(yīng)變達(dá)到0.83，這已經(jīng)進(jìn)入泡沫的壓實(shí)階段，這個(gè)階段的應(yīng)力會(huì)急劇上升，因此會(huì)導(dǎo)致較大的誤差。

圖9 EPS連續(xù)3次不同跌落條件下加速度-時(shí)間曲線理論與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比

4 結(jié) 論

本文把泡沫看作是由超彈層與彈塑性?xún)蓪盈B置而成，對(duì)泡沫力學(xué)復(fù)雜非線性行為計(jì)算提出了新的方法。利用雙曲正切函數(shù)與雙曲函數(shù)組合，表征了兩層相同的加載力學(xué)行為。超彈層按照MULLINS效應(yīng)規(guī)律進(jìn)行卸載，彈塑性層按照線彈性規(guī)律進(jìn)行卸載。采用單軸力學(xué)試驗(yàn)，識(shí)別了28 kg/m3的EPS泡沫超彈本構(gòu)模型與彈塑性本構(gòu)模型中的參數(shù)。從連續(xù)3次跌落沖擊力學(xué)行為可知，3次加速度-時(shí)間曲線具有不同的形狀，隨著跌落次數(shù)的增加，加速度峰值越來(lái)越大，這是由于EPS泡沫殘余變形所導(dǎo)致的力學(xué)性能變化引起的。

通過(guò)對(duì)比物體在3次連續(xù)跌落條件下的加速度-時(shí)間曲線的理論結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果，驗(yàn)證了本文所提出的計(jì)算方法的可靠性。