含負泊松比超材料肋板的雙層板聲振特性分析

張兆龍， 朱 翔,2,3， 李天勻,2,3， 付俊勇

(1.華中科技大學 船舶與海洋工程學院，武漢 430074; 2.船舶與海洋水動力湖北省重點實驗室，武漢 430074;3.高新船舶與深海開發裝備協同創新中心，上海 200240)

負泊松比超材料具有特殊的“拉脹”[1]效應，在受拉時能夠在多個方向同時伸展，宏觀上體現為負的泊松比值。在航空航天、船舶工業、汽車制造等領域，負泊松比超材料因為力學性能優異而極具研究和應用價值。

目前大多有關負泊松比超材料的研究工作集中于其靜態力學性能[2]、沖擊力學性能[3]、面內壓縮性能[4]等的分析，在單胞設計[5]、制備工藝[6-7]、工程應用[8-9]等方面取得諸多成果。在力學性能方面，Lu等[10]發現在內六角蜂窩構型晶胞中添加肋條會顯著提升楊氏模量，結構整體的機械性能得到明顯改善。Chen等[11]提出了3種新型負泊松比單胞，該類單胞能夠同時具有較好的承載能力和吸能特性。在胞元設計方面，Qin等[12]將拓撲優化技術應用于負泊松比單胞的設計，將評價點的位移比近似為等效負泊松比，提出了一種設計任意負泊松比單胞的通用方法。在聲振研究方面，Ruzzene等[13]研究了六邊形胞元夾層梁的振動和聲輻射特性，對比分析了不同夾層型式梁的結構響應差異和聲壓分布。Idczak等[14]分析了拉脹材料晶格結構的動力學特性，研究了該類材料的頻響特性。總體而言，已有的負泊松比超材料研究中，關注其振動聲學特性并將其應用于結構減振設計的工作還相對欠缺。

雙層板結構是工程中廣泛使用的結構類型，對其開展振動噪聲控制研究具有重要意義。本文將含內六角負泊松比胞元的結構用于雙層板的連接肋板中，分析其振動特性，并與常規平板連接的雙層板結構進行對比，討論負泊松比層間結構的參數對聲振特性的影響，這對于將負泊松比超材料應用于工程中聲振控制具有參考意義。

1 內六角蜂窩胞元幾何特征與力學性能

本文分析的內六角蜂窩單胞的幾何構型，如圖1所示。由參數底邊長度h、斜腰長度l、特征凹角θ、胞元厚度t確定。單胞的泊松比特性與特征凹角θ有關，以圖示為例，定義沿豎直線逆時針方向角度為正，則當θ<0°時，胞元才具備負泊松比特性，當θ>0°時，胞元變為凸六邊形，泊松比恢復為正值。

圖1 內六角蜂窩單胞幾何參數

Gibson等依據線彈性理論，推導了內六角蜂窩單胞的等效泊松比解析式如式(1)，該理論忽略了t/l這一小量，且不考慮軸向變形和剪切變形，僅關注起主要作用的彎曲變形。

(1)

等效楊氏模量、等效剪切模量、相對密度的計算式分別為

(2)

(3)

(4)

式中：Es為胞元本體構造材料的楊氏模量；ρ*為不考慮孔隙的材料真實密度；ρs為單胞圍壁面密度。

2 含負泊松比超材料肋板的雙層板聲振特性

2.1 含負泊松比超材料肋板的雙層板模型

本文設計的雙層板尺寸為長1 500 mm、寬1 030 mm、上、下面板的間距150 mm。連接上、下面板間的肋板間距為500 mm，肋板寬度為20 mm，負泊松比胞元層數為5層。負泊松比肋板示意圖、內六角單胞尺寸和肋板分布示意圖如圖2所示。

(a) 負泊松比肋板示意圖

(b) 單胞尺度

采用2D殼單元建立的雙層板有限元模型，如圖3所示。上、下面板的厚度設置為6 mm，肋板的胞元板厚設置為3 mm。材料參數包括：楊氏模量E=210 GPa、泊松比μ=0.3、密度ρ=7 850 kg/m3。邊界條件設定為約束上、下面板四邊節點三向位移。

圖3 雙層板有限元模型

由式(1)～式(4)，可得單胞的等效力學性能參數，如表1所示。

2.2 模態分析

對有限元模型進行模態分析，可得雙層板前5階固有頻率如表2所示，部分振型云圖如圖4所示。

表1 內六角蜂窩單胞的力學性能參數

表2 雙層板前5階固有頻率

(a) 第1階云圖(48.56 Hz)

(c) 第60階云圖(526.97 Hz)

從結構固有頻率與振型云圖分布規律來看，由于負泊松比肋板的剛度值較低，與肋板連接的面板局部區域剛度的增強并不顯著，所以在低頻范圍內，雙層板以整體的垂向彎曲模態為主，上、下面板的振型與單層板結構的振型基本一致，且上、下面板之間的振動差異性也并不顯著，表明負泊松比肋板在低頻時具有較好的振動傳遞特性。

隨著頻率的提升，負泊松比肋板的局部模態特征會逐漸凸顯，除了垂向彎曲振動，負泊松比肋板在中高頻段還出現了明顯的橫向和縱向上的耦合振動模態。該現象表明在中高頻范圍內負泊松比肋板局部模態特征更容易被激發，局部變形會更加顯著，能夠更好地發揮多孔結構易于轉化和衰減振動能量的性能優勢。

2.3 雙層板面板振動響應特性

對上面板施加100 Pa的均布動壓載荷，選用模態疊加法進行頻率響應分析，計算頻段為1～2 000 Hz，步長為2 Hz。考慮到結構的對稱性，在上、下面板平面內選取的評價點位置分布如圖5所示。

提取各組評價點加速度，按式(5)和式(6)分別計算上、下面板評價點的加速度級及平均振級。

(5)

(6)

圖5 評價點位置分布

定義上、下面板間的平均加速度級之差為上、下面板的振級落差。得到上、下面板的平均加速度級曲線和振級落差曲線分別如圖6和圖7所示。

圖6 上、下面板平均加速度級曲線

圖7 上、下面板振級落差曲線

從圖6可見，上、下面板的加速度級差異與結構的諧振頻率關系密切。在1～2 000 Hz內，上、下面板的平均加速度級曲線存在多個響應峰值，在諧振頻率處，上、下面板的平均加速度級差異較小。在相鄰諧振頻率之間，上、下面板響應加速度級的差異明顯，大部分下面板響應值均低于對應頻率的上面板響應值，體現出較為理想的減振效果。

從圖7可見，在大多數頻段內，上、下面板之間的振動響應存在比較明顯的傳遞衰減，下面板的振動響應得到了有效控制。

2.4 肋板阻尼對振動特性的影響

提升結構阻尼是工程中減振降噪的常用方法之一，多孔結構因為存在更多可利用的孔隙空間，為實施阻尼措施提供更多便利。通過在胞元孔隙間填充輕質橡膠或PUR泡沫[15]、在胞元壁面貼附粘彈性阻尼材料等方法可以有效提升負泊松比肋板的結構阻尼。

本研究中將負泊松比肋板的材料阻尼系數設置為0.5，用于模擬阻尼材料對負泊松比肋板結構阻尼的提升。對比得到肋板有、無阻尼時的上面板平均加速度級、下面板平均加速度級、振級落差曲線分別如圖8～圖10所示。

圖8 上面板平均加速度級對比曲線

圖9 下面板平均加速度級對比曲線

圖10 振級落差對比曲線

從圖8和圖9可見，結構阻尼對振動響應的主要作用體現在大幅削減響應峰值，該“削峰”作用的效果與頻率有一定關聯，500～2 000 Hz的中高頻段“削峰”效果相比500 Hz之前的低頻段會更加突出，低頻段多以降低響應峰值為主，而中高頻段則能夠大幅削弱絕大多數的響應峰。在整個計算頻段內，在阻尼的“削峰”作用下，整個加速度級響應曲線變得平穩，有效提升了振動控制效果。

從圖10可見，阻尼對提升上、下面板間振級落差具有積極作用，且隨著頻率值的提升，振級落差提升效果更明顯。在500 Hz之后的中高頻段內，振級落差曲線的大幅振蕩現象得到了很有效的控制，在900～1 300 Hz內，有阻尼振級落差值相比無阻尼情形得到了更加明顯的提升。

對上、下面板的測點平均加速度在計算頻段內計算加速度總級，得到在肋板有、無阻尼兩種情形下，上、下面板評價點的加速度總級，如表3所示。由表3可見，增大負泊松比肋板的結構阻尼能夠有效控制上、下面板的響應加速度總級，有助于增強負泊松比肋板對振動的損耗衰減能力。

表3 肋板有、無阻尼情形下上、下面板加速度總級

3 肋板剛度對聲振特性的影響

本章主要分析負泊松比肋板胞元的厚度與寬度變化對雙層板的聲振特性的影響。

3.1 對比算例結構參數

保持肋板結構總質量不變，以肋板中心線為基準，調整負泊松比肋板寬度與胞元壁厚，并與等質量的平板構成的實肋板模型對比，設計了4個對比模型，其各自肋板參數如下：① 對比模型1，肋板寬度20 mm、胞元壁厚3 mm；② 對比模型2，肋板寬度40 mm、胞元壁厚1.5 mm；③ 對比模型3，肋板寬度60 mm、胞元壁厚1 mm；④ 對比模型4，6.31 mm厚的等質量平板肋板。

對比模型中負泊松比肋板的胞元層數均為5層，單胞的結構尺寸為底邊寬度30 mm、高度30 mm、特征角-34°。

按照式(1)～式(4)計算得到的不同模型內六角蜂窩胞元的力學參數如表4所示。

表4 內六角蜂窩單胞的力學性能參數

3.2 肋板結構參數對靜力學性能的影響

考慮使用負泊松比超材料肋板后雙層板的結構強度問題，在上面板施加大小為100 Pa的均布壓力載荷，肋板參數改變時靜力學分析結果，如表5所示。

從表5可見，超材料肋板雙層板結構剛度相比于實肋板雙層板結構有一定削弱，在靜壓力作用下，其最大位移與最大應力均大于常規實肋板雙層板結構。隨著肋板寬度的增大，超材料肋板的剛度因板厚減小而受到相應削減，最大靜位移逐步提升。對于超材料肋板雙層板而言，肋板寬度變小時，在肋板與面板連接區域、面板約束邊界附近更容易產生應力集中現象，因此其最大應力值會偏大。

表5 不同肋板形式雙層板結構靜力學分析結果

3.3 肋板剛度對面板振動特性的影響

使用模態疊加法進行頻率響應分析，計算頻段為1～3 500 Hz，步長為2 Hz，計算得到各對比模型的上面板加速度級、下面板加速度級、振級落差曲線分別如圖11～圖13所示。

圖11 上面板評價點平均加速度級曲線

圖12 下面板評價點平均加速度級曲線

從圖11和圖12可見，負泊松比肋板與實肋板雙層板之間的振動響應差異與頻率有關。由于實肋板剛度較大，其第一階響應峰頻率相比負泊松比肋板的雙層板要高。在110 Hz以下的低頻區間內，提升肋板剛度可以有效減小振動響應，但對比響應峰值，高剛度的實肋板沒有體現出類似優勢。隨著頻率增大，負泊松比肋板的作用會逐漸凸顯。在110～500 Hz間，負泊松比肋板與實肋板模型的上面板響應曲線基本類似，但是下面板響應差異較大，含負泊松比肋板的雙層板上、下面板響應峰值均比實肋板雙層板響應小。在500 Hz以上的頻率區間，負泊松比肋板模型的響應峰值相比于實肋板模型明顯減小，平均加速度級曲線更加平穩。這說明負泊松比肋板在這些頻段對振動能量有良好的吸收和衰減功能，能更好地控制面板的振動響應。

圖13 上、下面板振級落差曲線

對比不同厚度的含負泊松比肋板的雙層板的振動響應，可見負泊松比肋板的胞元厚度越小，面板的響應峰值也越小。從表4可見，厚度越小的負泊松比肋板，其等效彈性模量和剪切模量越低，因此剛度越低，可以更好地發揮低剛度多孔肋板的減振性能。

從圖13可見，在1 500 Hz之前的頻段范圍內，實肋板的振級落差在多數情況下會更大，尤其是在面板響應谷值附近的頻段，實肋板算例的上、下面板間加速度響應差異會更顯著。由于實肋板剛度大，上面板上有、無肋板支撐的兩類區域剛度差異明顯，上面板無肋骨支撐區域振動能量在總能量占比較高，通過實肋板傳遞至下面板的振動能量較少，導致振動能量在上、下面板間的分配不均衡。相比之下，負泊松比肋板剛度較小，上面板有、無肋骨支撐區域剛度差異沒有實肋板顯著，振動能量經由負泊松比肋板傳遞后，上、下面板的振動能量分配的更均衡。在1 500 Hz以后的頻段范圍內，實肋板在振級落差上已經沒有明顯優勢，負泊松比肋板因為能夠更好地分擔與吸收振動能量，從而表現出更穩定的減振效果，振級落差曲線的波動相比實肋板更加平緩。

依據式(7)計算4個對比模型上、下面板評價點在1～3 500 Hz內的加速度總級，具體結果如表6所示。

分析表6中數據，在控制質量和激勵不變時，負泊松比肋板模型的上、下面板的加速度總級均顯著低于實肋板模型，實肋板不能夠像多孔的負泊松比肋板一樣易于產生形變，導致振動能量主要集中在兩個面板上，同時實肋板算例的上面板振動要比下面板振動劇烈更多，加速度總級在計算頻段內差異更明顯。

表6 對比模型上、下面板加速度總級表

對比不同參數的負泊松比肋板算例，在總質量不變的條件下，當負泊松比肋板的剛度減小時，上、下面板的加速度總級隨之同時減小，負泊松比肋板以應變能的形式吸收轉化的振動能量會更多。同時低剛度有利于增大上、下面板加速度總級的差值，提升減振性能表現，更好地達到減振的設計目的。

3.4 肋板剛度對面板聲學特性的影響

使用直接邊界元法計算3.1節各對比算例面板聲輻射，將Patran中面板所有節點的速度響應以op2文件格式導出至LMS Virtual.Lab中作為聲學邊界條件，計算所得的4個對比算例在1～3 500 Hz內的輻射聲功率曲線如圖14所示。

圖14 雙層板輻射聲功率對比曲線

從圖14可見，與面板振動響應曲線類似，實肋板與負泊松比肋板對比算例的輻射聲功率曲線差異主要體現在峰值位置附近，且隨著頻率值的提升，這種差異性表現得更加明顯。在1～200 Hz內，由于負泊松比肋板剛度小，各階固有頻率整體偏低，輻射聲功率曲線先出現峰值。在200～1 500 Hz內，實肋板算例的輻射聲功率曲線具有更多的峰值，而負泊松比肋板算例的曲線則相對平緩，且肋板剛度越小，輻射聲功率曲線峰值越小。在1 500～3 500 Hz頻段的大部分頻點上，實肋板算例的輻射聲功率明顯高于負泊松比肋板算例。該頻段內負泊松比肋板算例的輻射聲功率維持在80 dB附近，肋板剛度削弱時，曲線更平穩。整體上負泊松比肋板構成的雙層板輻射聲功率比實肋板結構要低，且負泊松比肋板的板厚越小，層間結構的等效模量越低，輻射聲功率也越低。

4 結 論

本文主要研究了含內六角形負泊松比超材料肋板的雙層板振動與聲輻射特性，探討了結構阻尼、肋板剛度等參數對聲振特性的影響，主要結論包括：

(1) 雙層板上、下面板間采用負泊松比肋板連接后，下面板響應相比上面板有一定的衰減。在負泊松比肋板中增加阻尼后能起到較好削弱面板響應峰的效果，且在高頻范圍內更加明顯，同時上、下面板之間的振級落差也有一定的增大。

(2) 控制肋板總質量不變時，負泊松比肋板構成的雙層板結構上、下面板加速度均顯著低于傳統實肋板結構，實肋板不能像多孔的負泊松比肋板一樣易于吸收轉化振動能量。對于負泊松比肋板構成的雙層板而言，增大肋板寬度、減小肋板厚度可以降低等效模量，更好地削減雙層板面板的振動響應峰值，有助于提升雙層板減振效果。

(3) 不同肋板參數的輻射聲功率曲線與振動響應曲線有類似規律特征，負泊松比肋板構成的雙層板輻射聲功率比實肋板結構要低，且負泊松比肋板的板厚越小，層間結構的等效模量越小，輻射聲功率也越低。