基于分數階黏彈性模型的混凝土阻尼頻率相關性研究

梅生啟, 李韶華, 李鵬飛, 徐浩然, 張元昊

(1.省部共建交通工程結構力學行為與系統安全國家重點實驗室，石家莊 050043；2.石家莊鐵道大學 土木工程學院，石家莊 050043；3.橋梁結構安全技術國家工程實驗室，北京 100088)

阻尼作為反映系統耗能特征的重要參數之一，對控制系統在穩態及隨機激勵下的振動響應幅值，保證動力系統穩定性有重要作用[1]。實際結構分析時，阻尼取值的不同，會造成分析結果間明顯的差異[2]。2020年5月，我國懸索橋虎門大橋橋面發生明顯振動，經專家組判斷由于阻尼原因導致橋梁振動的平息時間較長[3]。目前我國[4-5]、歐洲[6]及美國[7]等國家和地區的規范中，建議一般情況下混凝土結構阻尼比取值為5%。但Newmark等[8]對大量的試驗測試數據分析后發現結構在不同外部作用下的阻尼值并不相同。由于結構形式的多樣性和內外影響因素的復雜性，導致結構阻尼發生改變，其準確取值仍是一個難題。

劉鐵軍等[9-10]通過試驗研究發現，在混凝土結構彈性階段及破壞前期，混凝土材料阻尼是結構阻尼的主要來源。Chung[11]認為材料的阻尼性能不僅依賴于材料自身，還依賴于外部荷載頻率，正如黏彈性響應依賴于荷載頻率一樣。Kimball等[12]對多達18種固體材料(包括木材、金屬等)進行測試發現，彈性范圍內這些固體材料的內耗并不服從黏滯定律，而與應變幅值相關?；诮浀漯碚撚嬎愕捏w系每周振動能量損失依賴于激勵(或反應)頻率，被認為與試驗結果不符[13]。Chopra[14]在金屬結構的試驗中發現循環變形過程中內部耗散能量基本上與循環頻率無關。但對于混凝土材料，Zhang等[15]對聚合物改性水泥漿體的阻尼性能進行測試發現，其阻尼性能不僅與溫度相關，還與頻率相關。梁超鋒等[16]通過試驗發現，在0.5～1.0 Hz內，不同類型纖維混凝土的損耗因子隨頻率降低較快，在1.0～2.0 Hz內漸趨平緩，基于經典整數階黏彈性模型可以分析單一頻率時的損耗因子。Mei等[17]通過對C50普通混凝土進行軸壓滯回測試發現，損耗因子隨滯回頻率提高呈非線性降低趨勢，但采用經典整數階黏彈性模型只能對單一頻率滯回曲線進行分析，無法反映整體的耗能頻率相關性。

如果將經典黏彈性模型中的彈性元件應力應變關系表示為：σ(t)=Ed0ε(t)/dt0，黏性元件的應力應變關系表示為：σ(t)=μd1ε(t)/dt1。那么介于純彈性體和純黏性體之間的黏彈性材料的應力應變關系可采用一種分數階微積分σ(t)～dαε(t)/dtα(0≤α≤1)進行表征。由于在整數階經典黏彈性模型中, 單個黏性元件只描述單一滯后機理，Schiessel等[18]通過頻域內的運算證明, 分數階黏性元件的力學模型可看成是由一系列彈簧和黏性元件組成的樹狀分形網絡模型，如圖1所示，可以更好反映整個受力范圍內的材料黏彈性。Bagley等[19]采用三參數分數階模型擬合了黏彈性材料特性，發現分數階模型能夠在非常寬的頻率范圍內與試驗數據吻合良好。Jia等[20]采用分數階模型進行阻尼器滯回性能的研究分析。

為進一步分析外部荷載頻率對混凝土材料阻尼的影響，本文分別采用經典黏彈性模型和修正分數階黏彈性進行計算分析。首先采用整數階Kelvin模型對普通混凝土和再生混凝土的阻尼頻率相關性進行分析。結合測試數據規律提出分數階Kelvin模型和修正分數階模型，校準分數階黏彈性模型的描述效果。然后收集了國內外152組測試數據，分析了不同條件下的混凝土阻尼頻率相關性規律，并分別采用經典黏彈性模型和分數階模型進行計算分析，驗證分數階模型對混凝土材料動態耗能性能的計算分析效果。

(a)

1 基于整數階黏彈性模型的混凝土耗能頻率相關性分析

作者于2017年開展了一批C50混凝土軸壓滯回試驗。試件尺寸為100 mm×100 mm×300 mm棱柱體，滯回荷載加載頻率分別為0.2 Hz,0.5 Hz,1 Hz,2 Hz,3 Hz。具體加載工況如表1所示，其中平均力為滯回過程中的平均荷載，加載幅值為滯回過程達到的最大荷載。

表1 C50混凝土試塊加載工況

基于滯回試驗測試結果，可以對表征混凝土阻尼性能的損耗因子進行計算。基于試驗滯回環曲線計算損耗因子與頻率的關系如圖2所示。

圖2 滯回加載頻率與損耗因子的關系

從圖2中可以看出，隨著頻率的增加，混凝土阻尼呈非線性降低。導致這一現象的原因可能是由于混凝土中骨架體系隨荷載近似彈性變形實時，而黏性變形為材料黏彈性導致的滯后變形，如反映在時間維度上即應力應變曲線存在相位差。為進一步計算混凝土的耗能頻率相關性，采用黏彈性模型進行分析。梁超峰等、歐進萍等[21]、蘇力[22]先后采用經典整數階Kelvin模型進行計算分析，發現可以良好模擬混凝土在單一荷載條件下的軸壓滯回曲線。

經典整數階Kelvin模型由彈性元件和黏性元件并聯組成，如圖3所示。

圖3 經典整數階Kelvin模型

該模型的應力應變關系可寫為

(1)

式中:涉及到的材料參數有彈性模量E和材料的黏滯系數μ兩項;σ(t)為應力;ε(t)為應變。

對式(1)進行Fourier變換，可得到

σ(ω)=(E+μωi)ε(ω)=(E′+iE″)ε(ω)

(2)

式中:E′=E為存儲模量；E″=μω為耗散模量。

由式(2)，可得經典整數階Kelvin模型的損耗因子頻率相關性表達式為

(3)

目前的經典整數階黏彈性模型主要是基于單一荷載工況下的每周滯回耗能面積和損耗因子進行模型參數識別，利用經典整數階模型進行了混凝土耗能頻率相關分析尚較少見到。

2 基于分數階微積分的黏彈性模型修正

何明明等[23]、趙永玲等[24]、朱俊濤等[25]先后采用分數階黏彈性模型對巖石、瀝青等材料的動態黏彈性行為進行分析，發現采用分數階黏彈性模型可以實現更少的參數來反映不同材料在動態荷載下的耗能行為。

如將彈性元件的應力應變關系表示為

(4)

黏性元件的應力應變關系表示為

(5)

那么介于純彈性體和純黏性體之間的黏彈性材料的應力應變關系可采用一種分數階微積分進行表征,

(6)

分數階導數的具體表達式如式(7)所示。

(7)

將經典整數階Kelvin模型中的黏性元件替換為分數階元件，即可形成分數階Kelvin模型，如圖4所示。

圖4 分數階Kelvin模型示意圖

則分數階Kelvin模型的應力應變關系為

σ(t)=Eε(t)+μDαε(t)

(8)

式中，a為分數階導數的階數，當a=0時模型退化為純彈性元件，當a=1時模型退化為經典Kelvin模型。

對分數階Kelvin模型進行Fourier變換，并引入iα=cos(απ/2)+i·sin(απ/2)，得到分數階Kelvin模型損耗因子為

(9)

由式(9)可知，由分數階Kelvin模型計算出的損耗因子與頻率和導數階數呈非線性正相關。以E=3.42×104MPa，μ=117 MPa·s為例進行分析。保持E和μ不變，改變分數階導數，得到的損耗因子結果如圖5所示。

圖5 分數階Kelvin模型的損耗因子參數分析

可以看出，當a趨近于1時，分數階模型逐漸退化為經典整數階模型。可以通過導數階數的改變，更好模擬不同黏彈性的材料動態性能。但由于分數階Kelvin模型計算的耗能與頻率呈非線性正相關性，與測試數據規律不完全相符，因此還需尋找一類耗能頻率非正相關模型進行計算分析。

根據測試結果，無論是正弦波還是方波軸向滯回加載，得到的損耗因子隨著滯回頻率的提高呈非線性降低趨勢。而Kelvin模型中的彈性元件與黏性元件并聯，意味著彈性和黏性變形的大小相同。而研究人員通過納米壓痕等微觀試驗觀察發現，混凝土黏彈性能主要是由于內部水和凝膠體組成的。在滯回變形過程中，骨料及硬化漿體形成的混凝土骨架體系近似彈性變形，而水和凝膠體等會出現滯后黏性變形。考慮分數階黏性元件的導數階數可變性，提出修正分數階黏彈性模型為兩個分數階黏性元件并聯，分別用來表示滯回過程中的彈性變形和黏性變形。模型示意圖如下所示，其中兩個黏性元件根據不同加卸載階段可以分別變化為彈性元件、整數階黏性元件和分數階黏性元件。

圖6 修正分數階模型示意圖

對應模型應力應變關系為

(10)

式中,a1μ1，a2μ2分別為對應材料參數。

因為混凝土黏彈性在彈性階段的表現更為明顯，因此模型可變化為彈性元件與分數階黏性元件串聯，對應應力應變關系對應為

(11)

對修正分數階模型進行Fourier變換，可得到其存儲模量、耗散模量和損耗因子的表達式分別為

存儲模量

(12)

耗散模量

(13)

損耗因子

(14)

以E=3.42×104MPa，μ=117 MPa·s為例，保持E和μ不變，進行分數階模型的耗能頻率相關性分析結果，如圖7所示。

圖7 分數階Maxwell模型的損耗因子頻率相關性參數分析

可以發現，隨著頻率的增加，該分數階模型的損耗因子呈非線性減小趨勢，且隨著導數階數的減小，其減小幅度也逐漸趨于平緩。通過改變導數階數，采用分數階導數形式的黏彈性模型可以更好模擬混凝土等材料黏彈性材料耗能隨頻率的增大而減小的行為。

基于本文提出的黏彈性模型損耗因子-頻率相關性公式，分別采用Kelvin模型、分數階Kelvin模型和分數階修正模型對單一混凝土的耗能頻率相關性試驗結果進行計算。考慮到參數擬合的方便性，在計算表達式中引入參數τ=μ/E。得到的結果如圖8所示，各模型的參數見表2。

圖8 黏彈性模型的混凝土耗能-頻率相關性擬合結果

表2 黏性模型擬合參數

由圖8可以看出，分數階模型的計算分析效果明顯優于經典黏彈性模型，尤其是分數階修正模型的預測效果最好，最大誤差僅為6%。上述結果表明，分數階黏彈性能夠良好分析混凝土材料的整體耗能-頻率相關性規律，為分數階黏彈性模型在混凝土動態黏彈性能描述中的應用提供了數據支持。

3 基于分數階黏彈性模型的耗能頻率相關性多樣本數據分析

3.1 文獻數據統計

為更好分析荷載頻率對混凝土耗能的影響，本文進一步收集了國內外文獻中采用強迫振動方法測試混凝土材料阻尼的152組阻尼測試數據進行分析。試驗基本信息如表3所示，得到的測試結果如圖9所示。

從圖9中可以清晰看出，在0～3 Hz滯回荷載頻率內，不同文獻耗能能力均隨著頻率的增大呈現非線性降低趨勢。而不同文獻中的耗能能力測試結果存在一定差別，其原因可能是不同試驗的荷載幅值存在差異，導致相同頻率下的測試結果差異較大。同時，不同試驗中所采用原材料并非完全是普通混凝土，還會有一定量摻合料對混凝土動態性能產生影響。外部荷載對混凝土材料的阻尼性能有明顯的影響，但由于強迫振動測試方法的復雜性和試驗設備的限制，相關的數據相對還較少。

表3 文獻中的測試條件和試件信息

(a) 普通形式

(b) 對數形式

圖9中所統計混凝土材料損耗因子統計數據均小于目前建筑、橋梁等規范中規定的結構阻尼比數值，其原因可能是一方面工程結構服役期間的耗能構成中不僅包括材料阻尼，還可能包括大變形下的構件連接處摩擦阻尼、周圍介質阻尼基于在地基中的輻射阻尼等[29]。目前已有研究表明結構阻尼會隨著振幅的改變發生改變，如在風振下的高層建筑瞬時響應幅值的增大伴隨著結構阻尼明顯的改變[30]。但針對軌道交通、道路交通中快速動荷載對振動響應及阻尼的影響，目前的研究關注仍較少。目前研究表明，在彈性階段和破壞初期，混凝土是阻尼的主要來源之一，通過材料層次的測試結果對結構的動力分析結果進行修正或分析，將會提高測試的簡便性，為混凝土結構動力性能的精細化研究提供一種新的可能性。

3.2 基于統計數據的分數階黏彈性模型驗證

考慮統計數據中材料阻尼試驗為彈性階段，為進一步驗證分數階黏彈性模型計算分析的效果，分別采用Kelvin模型、分數階Kelvin和修正分數階模型對3.1節統計數據來計算分析。首先采用3種模型對統計數據進行統一計算，得到的結果如圖10所示，各模型的參數如表4所示。

圖10 基于黏彈性模型的損耗因子-頻率相關性分析

表4 基于收集數據的黏彈性模型參數確定

從圖10中可以看出，分數階模型的預測效果均較經典黏彈性模型好。由于所統計數據的離散性和條件的多樣性，單一參數模型均無法對數據進行準確描述。

分別采用3種模型對文獻分別進行計算分析，得到的結果如圖11所示，模型參數如表5所示。

(c) 數據來源-文獻3

從圖11可以看出，經典整數階Kelvin模型對混凝土阻尼-頻率相關性的描述與試驗現象規律不一致，分數階微積分的引入有效改善了計算分析效果。來自不同文獻數據計算結果顯示，分數階Kelvin模型的擬效果和規律與試驗現象接近，尤其是修正分數階模型，能夠更好反映阻尼隨頻率增加的降低趨勢。

為進一步分析模型計算誤差分析，將計算結果與實測數據進行對比分析，如圖12所示。從圖12可以看出，修正分數階模型計算結果與試驗數據的誤差范圍主要在-50%～50%；由于Kelvin計算出的耗能隨頻率增加而增大，在頻率較大時明顯高估了材料的耗能性能，最大誤差超過150%。

4 結 論

本文基于試驗結果和國內外相關文獻數據，從耗能頻率相關性角度分析了經典黏彈性模型和分數階黏彈性模型在混凝土材料動態黏彈性能計算分析的適用性。結果表明，采用分數階黏彈性模型進行混凝土材料的動態分析的效果更好。

在耗能-頻率相關性方面，與收集的152組試驗數據對比分析結果表明，分數階模型的效果相對較好。與普通混凝土單一試驗數據的對比分析表明，修正分數階模型對混凝土耗能頻率相關性的計算效果最好，與試驗數據間的誤差在50%以內。

表5 基于單一文獻數據的黏彈性模型參數確定

(a) 計算結果對比

(b) 模型誤差分析