附有限制條件的切比雪夫多項式在精密星歷插值中的應(yīng)用

尹傳恒

(中國鐵路設(shè)計集團有限公司, 天津 300251)

0 引言

為了提升全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng)(global navigation satellite system,GNSS)單點定位技術(shù)的定位精度,1997年,Zumberge等人提出了利用事先確定的精密衛(wèi)星星歷數(shù)據(jù)、衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)、觀測數(shù)據(jù)解算測站絕對三維坐標的精密單點定位技術(shù)(precise point positioning,PPP)[1-4]。在精密單點定位技術(shù)中,可獲取的GNSS精密衛(wèi)星星歷采樣間隔一般為15、5 min,而GNSS觀測數(shù)據(jù)采樣間隔為30、15、1 s,兩者采樣間隔并不一致,因此在精密單點定位數(shù)據(jù)處理中需要對精密衛(wèi)星星歷進行插值計算,以獲取觀測數(shù)據(jù)每一歷元所對應(yīng)的衛(wèi)星位置。

常見的插值方法有切比雪夫多項式插值、牛頓插值、三次樣條插值、拉格朗日插值、廣義延拓逼近法插值等,國內(nèi)眾多學(xué)者對上述精密衛(wèi)星星歷插值算法進行了詳細研究[5-13]。李振昌等人利用滑動式切比雪夫多項式擬合法,分析中圓地球軌道(medium Earth orbit,MEO)、地球同步軌道衛(wèi)星(inclined geosynchronous satellite orbit,IGSO)、地球靜止軌道衛(wèi)星(geostationary Earth orbit,GEO)的北斗衛(wèi)星擬合節(jié)點數(shù)和擬合階數(shù),達到了亞毫米級的內(nèi)插精度[5]。廖怡萍等人提出了采用不同階數(shù)的傅里葉級數(shù)進行衛(wèi)星精密星歷插值,通過與9階切比雪夫多項式擬合內(nèi)插結(jié)果比較,證明了采用4階的傅里葉級數(shù)進行MEO精密星歷內(nèi)插精度更高[6]。也有些學(xué)者針對精密星歷插值中存在的龍格現(xiàn)象進行了相關(guān)研究[14-15]。吉長東等人通過對高次多項式擬合與插值數(shù)學(xué)機理的研究,在精密衛(wèi)星星歷前后各增加15 min已知數(shù)據(jù)進行擬合和插值計算,有效地避免了龍格現(xiàn)象的發(fā)生[14]。雖然這些方法基本實現(xiàn)了衛(wèi)星精密星歷的插值,但仍各有缺點。

在不增加兩側(cè)精密星歷的條件下,為了保證精密星歷的插值精度,且避免龍格現(xiàn)象的發(fā)生,本文將利用地面觀測數(shù)據(jù)與衛(wèi)星精密星歷之間的關(guān)系,構(gòu)造限制條件,并結(jié)合切比雪夫多項式對精密星歷進行插值計算。

1 附有限制條件的切比雪夫多項式

1.1 切比雪夫多項式

設(shè)t0為初始歷元時刻,Δt為插值區(qū)間時長,則在精密星歷插值中,首先將t∈[t0,t0+Δt]變換成τ∈[-1,1],以達到時間變量歸一化的目的。

(1)

那么,衛(wèi)星三維坐標分量的切比雪夫多項式可表示為：

(2)

式中,L為衛(wèi)星三維坐標分量;n為切比雪夫多項式階數(shù);Ci是X、Y、Z坐標分量的切比雪夫多項式系數(shù);切比雪夫多項式Ti(τ)遞推為：

(3)

1.2 限制條件

若地面觀測站S的空間坐標為(XS,YS,ZS),則歷元時刻t地面觀測站S至觀測衛(wèi)星的空間距離ρt為：

(4)

地面觀測站S在歷元時刻t的載波相位觀測值為φt,則此刻地面觀測站S至觀測衛(wèi)星的空間距離ρt也可表示為：

(5)

式中,λ為載波的波長;N為載波整周模糊度。

現(xiàn)在，圖紙都采用CAD制圖，路線的平面圖一目了然，有的護欄直接在平面圖上標注，除互通匝道的接點不能準確標識外，直線和曲線段基本都和實際施工一樣，所以，電腦水平好的話可以直接在電腦上進行設(shè)計放線，這樣把平面圖交給現(xiàn)場人員施工，就不會有長短不一的異形板了，同時也為材料精確的訂購提供準確數(shù)量。另一種就是現(xiàn)場進行放樣，不要要求一次性放到位，根據(jù)放樣的結(jié)果，再重新調(diào)整個別立柱間距，《公路工程質(zhì)量檢驗評定標準》（JTGF80/1-2004）要求立柱間距±50mm，通過立柱間距或多少使異形板消除或達到0.5m的整數(shù)倍。這樣經(jīng)過多次調(diào)整，既可以省材料，又可以使后續(xù)材料省工、省時。

(6)

式中,Ti為歷元時刻的切比雪夫多項式。

1.3 函數(shù)模型

根據(jù)切比雪夫多項式原理可得衛(wèi)星三維坐標分量的函數(shù)模型為：

(7)

相應(yīng)的誤差模型為：

(8)

由式(1)～式(6)與式(1)～式(8)組成附有限制條件的間接平差模型,即：

(9)

根據(jù)附有限制條件的間接平差原理,求得：

(10)

1.4 精度指標

對于附有限制條件的切比雪夫多項式插值結(jié)果,本文使用RMS精度指標進行精密星歷插值結(jié)果,以X方向坐標序列{X0,X1,X2,X3,…,Xn}為例,其各個歷元時刻的殘差為{ΔX0,ΔX1,ΔX2,ΔX3,…,ΔXn},則：

(11)

2 算例分析

多模GNSS實驗跟蹤網(wǎng)(the multi-GNSS experiment,MGEX)提供的2016年1月1日的混合精密星歷,包含多個衛(wèi)星定位系統(tǒng)采樣間隔為5 min的精密星歷數(shù)據(jù);IGS站提供的2016年1月1日JFNG站的O文件觀測數(shù)據(jù),包含多個衛(wèi)星定位系統(tǒng)的觀測數(shù)據(jù),采樣間隔為30 s。本文以北斗系統(tǒng)(Beidou navigation satellite syetem,BDS)中的GEO類型衛(wèi)星C01和MEO類型衛(wèi)星C14、全球定位系統(tǒng)(global positioning system,GPS)中的G06、全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(global navigation satellite system,GLONASS)中的R01的精密星歷為樣本進行相關(guān)實驗分析。

以15 min采樣間隔的衛(wèi)星精密星歷為已知節(jié)點,首先利用切比雪夫多項式對其進行擬合和插值,分析不同階次切比雪夫多項式的插值精度,確定切比雪夫多項式的最佳階次。然后,利用切比雪夫多項式和附有限制條件的切比雪夫多項式對采樣間隔15 min的衛(wèi)星精密星歷進行插值,分析比較兩種算法的插值精度及穩(wěn)定性。

2.1 切比雪夫多項式最佳階次確定

針對BDS系統(tǒng)的GEO衛(wèi)星和MEO衛(wèi)星、GPS衛(wèi)星、GLONASS衛(wèi)星的采樣間隔為15 min的精密星歷數(shù)據(jù),采用切比雪夫多項式分別進行6～15階的插值計算。將切比雪夫多項式插值結(jié)果兩端各1 h數(shù)據(jù)去掉,削弱龍格現(xiàn)象對四種類型衛(wèi)星精密星歷插值精度統(tǒng)計的影響,詳細結(jié)果如表1所示。

表1 四種類型衛(wèi)星的不同階次插值精度對比 單位：cm

從表1可以看到：8～15階切比雪夫多項式均實現(xiàn)四種類型衛(wèi)星精密星歷的準確插值,三個方向上最弱RMS為0.13 cm,滿足精密星歷的使用要求;從6～10階,切比雪夫多項式的插值精度逐漸提高,從12～15階,切比雪夫多項式的插值精度緩慢下降;相同階次的切比雪夫多項式在四種衛(wèi)星的X、Y、Z方向的精密星歷插值精度不一,Z方向上的插值結(jié)果明顯優(yōu)于其他兩方向的插值結(jié)果;在低階切比雪夫多項式精密星歷插值中,GEO衛(wèi)星的插值結(jié)果更加穩(wěn)定,MEO衛(wèi)星和GPS衛(wèi)星的插值結(jié)果次之,GLONASS衛(wèi)星的插值結(jié)果最差。

2.2 精密星歷插值

利用本文方法對四種類型衛(wèi)星采樣間隔為15 min的精密星歷數(shù)據(jù)進行插值,階次取n=10,并將其結(jié)果與同階次的切比雪夫多項式插值結(jié)果進行對比,最后2 h的插值結(jié)果如圖1所示,圖中虛線表示10階切比雪夫插值多項式插值結(jié)果,實線表示10階附有限制條件的切比雪夫多項式插值結(jié)果。

圖1 10階次兩種算法插值殘差圖

從圖1可以看出：附有限制條件的切比雪夫多項式對四類衛(wèi)星精密星歷插值中的龍格現(xiàn)象均有一定的改善作用;在GEO衛(wèi)星Y方向、GPS衛(wèi)星X和Y方向、GLONASS衛(wèi)星Y方向的最末端,附有限制條件切比雪夫插值誤差大于5 cm,但較傳統(tǒng)的切比雪夫多項式插值結(jié)果更加穩(wěn)定。

3 結(jié)束語

針對傳統(tǒng)精密星歷插值方法普遍存在的龍格現(xiàn)象,本文通過構(gòu)造限制條件,與切比雪夫多項式組成附有限制條件的切比雪夫多項式插值方法,詳細研究了附有限制條件的切比雪夫多項式的誤差模型、求解過程。通過混合廣播星歷提供的精密星歷數(shù)據(jù),分析了不同階次的切比雪夫多項式的插值精度,確定了切比雪夫多項式的最佳階次為10階;對比分析附有限制條件的切比雪夫多項式與傳統(tǒng)切比雪夫多項式的插值效果,驗證了附有限制條件的切比雪夫多項式對歷元末端的龍格現(xiàn)象具有很好的改善作用。