數學運算素養視角下高中生思維敏捷性的培養策略

唐 蕾 唐笑敏

(湖州師范學院教師教育學院 313000)

1 引言

數學是一門高度形式化、抽象性和精準性的學科，同時也具有廣泛的應用性，所以數學教學應該深入到學生的數學能力和思維方式層面．數學學科的核心素養和思維品質之間有著密切聯系，兩者的培養和發展是相輔相成的．數學學科核心素養是數學課程目標的集中體現，反映了學生數學學習所需的六種關鍵能力．數學思維品質是數學思維活動中個體差異性的體現，即數學思維水平、關鍵能力的差異，同時也能體現出學生數學學科核心素養發展水平的差異．數學思維是學生分析、理解數學現象，解決數學問題的著力點，以課堂教學為平臺來培養學生的數學思維，本質上也是從思維層面系統而完整地發展學生數學學科核心素養．因此，在教學中可以將思維品質作為突破口，通過培養和塑造學生良好的數學思維品質，來發展學生的數學素養．

在課堂教學和平時練習中，教師和學生往往容易輕視存在于運算中的阻礙，但“不會算”和“算不對”通常是導致學生最終無法解決問題的關鍵因素．數學運算素養的發展并不是簡單機械的技能訓練，而是運算技能和邏輯思維的有效整合，所以在發展學生數學運算素養的過程中不能忽略思維的作用，其中最為關鍵和直接的就是思維敏捷性．

2 數學運算素養與思維敏捷性

圖1

數學運算可以用于解決各類數學問題．高中階段的運算過程遠不是加減乘除那樣簡單，它涉及到知識的綜合運用、數據處理的方法和嚴謹的科學精神等，學生在經歷了這一系列數學化的活動之后所積淀和升華的產物就是數學運算素養．目前數學教育將其界定為在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的素養．數學運算主要表現為理解運算對象、掌握運算法則、探究運算思路和求得運算結果．思維敏捷性是指在思維過程具有減縮性、快速性的同時，也要能夠保證思維結果的準確性．它不僅是對思維速度的衡量，也是對思維效度的要求，并能夠在數學運算中起到至關重要的推動作用(圖1)．

2.1 理解運算對象：捕捉關鍵信息

理解運算對象是運算的基礎，即明確在問題中需要對誰進行運算，包括了解運算對象的背景、理解運算對象的本質、掌握相關數學思想以及具有關聯性的概念等．高中階段數學運算對象不僅類型多，而且難以理解，更需要學生反應迅速，“數感”靈敏，抓住問題的關鍵，才能理解為什么要這樣做．

有時候學生無法解得正確答案，不是因為沒有解題思路，而是對運算對象內涵的理解出現偏差，浮于表面．例如，若存在大于零的常數

T

，使得函數

y

=

f

(

x

)滿足

f

(2

x

+

T

)=

f

(2

x

)，求函數

y

=

f

(2

x

)的一個正周期．許多學生的答案是

T

，出現這樣錯誤的原因在于沒有真正理解周期函數的定義．教材對周期函數的定義為“對函數

f

(

x

)，如果存在一個非零常數

T

，使得當

x

取定義域內的每一個值時，都有

f

(

x

+

T

)=

f

(

x

)，那么函數

f

(

x

)稱作周期函數，非零常數

T

叫做這個函數的周期．”這里的關鍵信息是

x

，即它所代表的自變量．思維敏捷性較強的學生能夠敏銳地發現這一要點，在處理函數

y

=

f

(2

x

)時，依然能夠確保自變量為

x

，而非2

x

．

2.2 掌握運算法則：及時反思內化

運算法則是數學運算的根本，決定運算過程的繁簡和結果的正誤．數學運算法則的表達形式和使用方式并非一成不變，不能生搬硬套，所以應當讓學生領會其本質，在充分理解和掌握的基礎上靈活應用．思維敏捷性較好的學生會及時反思，這對學習主體深化認知是非常重要的，并且能將反思結果付諸于實踐，以達到調節控制的目的．反思的過程并不會暫緩思考的進程，反而會使得思路更加暢通．

學生通過診斷運算中的問題或阻礙，吸取教訓，實現對運算法則的深入理解、熟悉和掌握．例如，已知數列{

a

}的前

n

項和為

S

，

a

=1，

S

=2

a

+1，求

S

的值．按照常規操作過程，利用公式法運算會造成錯誤解答．當

n

=1時，

S

=2

a

，則當

n

≥2時，

a

=

S

-

S

-1=2

a

+1-2

a

，則于是求得數列{

a

}是首項為1、公比為的等比數列，從而這看似符合邏輯，實則不然，那么問題究竟出在哪里？思維敏捷的學生會思考，僅僅當

n

≥2時，滿足的數列{

a

}不一定是等比數列；在運算過程中忽視了

n

=1與

n

≥2這兩種情況下數列前后項關系之間的關聯．在反思后，學生對“已知數列前

n

項和求通項”的運算法則就會有更加深刻的理解和掌握．

2.3 探究運算思路：鎖定最佳方案

運算思路是運算操作的指示圖，本身應當具備邏輯性．普通高中數學課程標準強調運算思路的重要性，并將其與程序思想相結合，進一步發展學生的數學運算素養，要求能夠設計、理解運算程序，并運用程序思想理解和表達問題．

當前教學由于時間所限，通常會采用“包辦”式教學模式，導致大多數學生的運算思路受到限制，缺少自主探究的機會．思維敏捷性可以幫助學生在遇到問題時，將與問題有關的數字信息自動聯結，激發學生的創新思維，形成通暢的思維“通道”，甚至是非常規的路．這不僅可以避免思路的停滯不前，還省去繁瑣的邏輯推理過程，從而保證思維快速、高效運轉．例如，求解方程tan

x

+ cot

x

=1.5，可以繞過繁瑣的三角函數之間的轉換與計算，而從等式本身的矛盾出發解決問題．因為tan

x

和cot

x

在定義域內互為倒數，而一個正數與其倒數之和不小于2，一個負數與其倒數之和不大于-2，所以tan

x

+cot

x

=1.5無解，從而省去復雜的計算過程．

2.4 求得運算結果：綜合能力素養

數學運算的最終目的是得到準確結果，這需要多方因素的合力促成．所以數學運算素養是一種綜合性素養，其內在是知識、能力、思維以及情感態度的綜合體，而外在又以其他素養為依托．例如，可以通過數據分析或數學建模對問題中的運算對象進行分析，在設計運算思路時必然會用到邏輯推理等．同樣，思維敏捷性并不完全獨立存在，而是以其他思維品質為必要前提，也是其他思維品質高度發展的體現．例如，思維深刻性和廣闊性為思維活動能夠觸及到的目標問題拓展了空間，批判性體現了思維活動較強的自我認識和監控能力，靈活性和批判性使學生在擁有廣闊思維方向的同時又能篩選出新穎的最佳方案．在整個思維活動過程中，由于這些思維品質的共同作用，思維的減縮性、快速性和準確性得以體現，所以思維敏捷性也并不表現為一個獨立的過程．因此，思維敏捷性可以幫助調動和協調運算過程所需的多種因素，以得到最終準確的結果．

例如，在求sin 10° sin 30° sin 50° sin 70°的值時，通過觀察和簡單嘗試可以發現已知的特殊三角函數值并不能直接解決這一問題，關鍵在于度數的變化，需利用二倍角公式、和差化積公式等探尋原式的內涵關系．

思路1 采用整體性思想，整體配對，設

a

=sin 10° sin 30° sin 50° sin 70°，

b

=cos 10° cos 30°·cos 50° cos 70°，由二倍角公式可得從而

思路2 50°=60°-10°，70°=60°+10°，由和差角公式，原式10°+sin 10°)，得sin 10° sin 30°·sin 50° sin 70°的值為

在解題過程中，學生要擁有足夠的知識儲備，熟悉此類題型的解題技巧以及較強的運算能力，通過敏捷性靈活調控，完成解題過程．

3 培養策略

數學運算是解決數學問題的基本手段，是鍛煉學生思維的過程．思維敏捷性訓練要特別關注思維起點、思維路徑和思維進程，就是要實現思維啟動快、思路廣、運行短這三個目標．例如，在△

ABC

中，點

D

在線段

BC

上，

BD

=

AD

，求的值．當看到這個題目時，能夠聯想到三角函數和向量等相關知識，可采用三角法、平面幾何法、解析法和向量法等，從而迅速找到解題所需概念和方法．在確定起點和方向之后，起點與終點仍有較遠距離，那么思維是否能夠行駛最短航線，這是決定思維速度的關鍵所在．

3.1 思維起點：加快思維啟動速度

運用數學運算解決問題要從搜集和整合信息開始，一方面要在問題中尋找突破口，另一方面要在大腦中提取相關內容．學生對問題信息的反應速度是體現思維敏捷性的重要標志．要使學生的思維在面對眾多信息時能夠快速啟動，這需要培養學生抓住關鍵、提綱挈領的能力．

首先，關鍵信息是反映數量關系的“紐帶”，是解決問題的突破口．面對問題時，學生的思維要“輕裝上陣”，精簡思緒，集中注意力于關鍵信息．教師可以引導學生養成勾畫關鍵信息、人為突出重點的習慣，也可以利用數形結合或構建數量圖表的方式，直觀反映數量之間的關系．其次，要想做到快速提取，就要優化學生的知識存儲結構，在教學中要有意識地指導學生用結構圖、思維導圖、程序圖以及表格等多種形式來對所學的知識進行系統的整理，使知識結構化、網絡化、系統化．這不僅要注意知識之間的內在聯系，還要把握知識之間的層次邏輯關系，并給知識網絡留下延伸的空間．例如，求解數列求和問題的一般方式是通過變形，轉化成等差數列或等比數列的求和問題，或轉化為其他常見的、已知公式的數列問題．最基本的方法就是直接利用公式求和，還有分組求和法、裂項相消法、錯位相減法等．在教學中，教師要讓學生理解這些方法的本質和特性以及這些方法間的聯系，在解決問題中善于總結所用方法，并在實踐與解決問題的過程中探索新方法．

3.2 思維路徑：開辟思維多向通道

學生反應遲鈍，解決問題緩慢，常常表現在對問題無從下手、思維局限、沒有思考的方向．學生有“法”可循，有“路”可行，方有敏捷性可言．選擇一條正確合適的思維路徑，一是需要有創新意識，沒有一種方法是可以一勞永逸解決所有問題的．例如，通過一題多解的訓練，可以開拓學生的思路，教師在教學中可以給學生預留部分空間和時間，讓學生自主探究和生成，激發學生創造性解決問題的能力．二是需要在思考過程中做出判斷，及時調整策略，通過反思不斷優化思維過程．反思監控是一種思維能力，更是一種情感態度，讓學生養成監控運算過程的習慣，不僅能有效提高學生的思維敏捷性，更能幫助學生形成嚴謹求實、一絲不茍的科學精神．

例如，設(

x

-

x

+1)=

a

x

+

a

x

+…+

a

x

+

a

，求

a

+

a

+…+

a

+

a

的值．觀察題目信息，直接將(

x

-

x

+1)展開，按要求進行計算可得到答案，但計算量、計算難度和式子的復雜程度對學生的能力都是極大考驗，并不能稱之為最佳方法．在“算不下去”的情況下，引導學生思考所給等式左右兩端有什么特點？能否給

x

賦予特殊的值，使式子變得簡單？撇開之前的方法，開啟新的思路，不難發現所要求的式子是以和的形式出現的偶數次冪的項的系數，可以將其看作一個整體來求值，沒有必要得出各自的值再相加，依據條件，通過給

x

賦特殊的值，可以得到

a

,…,

a

的不同的等量關系．

3.3 思維進程：縮短思維運轉時間

思維過程通常會出現許多轉換點，影響思維進程快慢曲折的關鍵就是這些轉換點．在數學活動中思維敏捷性表現為能縮短運算環節和推理過程，“直接”得出結果．這一方面體現在學生思維的熟練程度上，另一方面體現在學生的概括能力上．

思維定向訓練不等同于形成思維定勢．它通過訓練讓學生在遇到問題時善于思考，并能夠將過程中的要點進行分析，整理已知條件，盡快形成明確的解題思路，以提升學生解決問題的熟練程度．思維定向訓練猶如航行中的地圖，讓學生預先了解在這段思維進程中，哪里有“彎道”，哪里有“陷阱”，哪里有“捷徑”，從而略過簡單機械的步驟，避免可能出現的錯誤，縮短思維運轉時間．例如，求解排列組合應用問題的基本思想是先對問題分類，然后在每一類中分步，根據分步乘法計數原理，計算各類的數目，最后根據分類加法計數原理計算總數目．對較為復雜的排列組合題目，要對問題進行分解，應用加法原理或乘法原理來解決，一般遵循“先組合后排列”的原則．

克魯捷茨基說：“能‘立即’進行概括的學生也能‘立即’進行推理的縮短．”概括能力使得學生可以略過一些非必要的思考或運算過程，“直接”得出答案．例如，解方程不采用去分母解方程的方法，比較等式左右兩邊，可以發現等式成立必然要滿足求解之前的方程等價于求解這個方程，運算過程自然會簡便．

4 總結

在數學學習過程中，學生主要依靠數學思維來思考和解決問題．數學思維品質就是思維主體在數學活動中所表現出的個性差異．因而個體的思維品質必然會影響到個體本身數學素養的發展．在這種情況下，可以通過對學生思維品質的培養，達到促進數學學科核心素養發展的目的．數學運算是數學活動不可或缺的重要組成部分，思維敏捷性助力于數學運算素養的發展，在理解運算對象、掌握運算法則、探究運算思路、求得運算結果等環節中起到了重要作用．為了培養學生思維的敏捷性，需要遵循思維展開的過程，從思維起點、路徑和進程入手，有針對性地進行訓練，使思維達到快速、減縮、準確的要求．無論是素養的發展還是思維的培養都是一個長期的過程，都需教師細心栽培，培養學生良好的數學思維品質，為學生的全面發展打下堅實的基礎．