抓住基本圖形 凸顯模型意識 直擊數學本質
——一道中考幾何壓軸題的解法賞析及思考

藍文英

(福建省廈門市海滄中學 361028)

新課標對幾何教學的要求是能引導學生從復雜圖形中分解出基本圖形，并能分析基本圖形中的基本元素及其關系，利用幾何直觀來進行思考,凸顯模型思想，進而發展數學學科核心素養.本文通過對一道中考幾何壓軸題的解法探究，既呈現通性通法也展示巧思妙解，追溯幾何問題本質，并引發幾何解題教學的幾點思考，思考解題思維與學科育人價值.

1 試題呈現

圖1

(2021年福建省數學中考24題)如圖1，在正方形

ABCD

中，

E

，

F

為邊

AB

上的兩個三等分點，點

A

關于

DE

的對稱點為

A

′,

AA

′的延長線交

BC

于點

G.

(1)求證：

DE//A

′

F

;(2)求∠

GA

′

B

的大小；(3)求證：

A

′

C

=2

A

′

B.

2 優點解讀

2.1 題目結構簡潔美觀，思維考查目標明確

本題是2021年福建省中考卷的幾何壓軸題，綜合性強，第(2)、(3)問具有一定的難度和區分度.題干簡潔優美，選用正方形為背景，結構對稱，富含數學味，解法多，不僅能用常規方法解，也能用創新解法解.但要準確完成3問的解答需具備較強的思維能力，思維考查目標明確.本題考查面廣，涉及的知識點多，既考查幾何基本知識又考查推理運算能力，綜合考查了正方形與軸對稱的性質、全等三角形與相似三角形的性質、三角形中位線定理、平行線、圓、解直角三角形等基礎知識.因此，本題不僅關注到中考的選拔性功能，更注重考查學生的數學能力和學科育人價值，試題立意深遠.

2.2 梯度分明學思并重，立足落實核心素養

教育的根本目的是立德樹人，而培育學生的核心素養是落實立德樹人的有效途徑.本題注重學科價值與思維并重，以發展學生的核心素養為落腳點.本題設問分明、巧設梯度、自然連貫，第(1)、(2)問為第(3)問鋪設臺階，思維鏈長且環環相扣，難度呈螺旋式上升.第(1)問設置平行知識，旨在引導學生直觀感知、捕捉基本圖形的同時能夠利用平行線轉移角的功能，并結合全等與相似知識解決問題.第(3)問需要在前兩問的基礎上，借助幾何直觀綜合分析,需具備一定的模型思想，透過現象看本質.因此，第(3)問難度大、區分度高，集中考查運算推理能力、空間觀念與直觀想象以及轉化思想，特別是有序有向思考的能力，有效考查學生的核心素養，具有較強的學科育人功能.

3 解法探究

問題(1)比較基礎，大部分學生能夠利用三角形中位線知識完成解答；問題(2)、(3)思維含量高，解法豐富，不同思維層次的學生呈現出不同的解法.學生借助幾何直觀，抓住基本圖形或者結合模型思想，能夠找到問題的突破口.下面針對問題(2)、(3)，給出幾種典型解法.

3.1 建構常規思維，立足自然解法

第(2)問是求∠

GA

′

B

，初中階段可以直接從特殊角入手，通過構造直角三角形，使待求角成為直角三角形中的一個內角.結合三角函數和勾股定理，發現所構造的三角形正好是等腰直角三角形，進而得出待求角為45°.

解法1 從特殊角入手，構造直角三角形

圖2

如圖2，過點

B

作

BH

⊥

AG

于點

H

，則∠

AHB

=90°.在正方形

ABCD

中，

AD

=

AB

,∠

DAB

=∠

ABG

=90°.設直線

DE

與

AA

′交于點

O

，因為點

A

和

A

′關于

DE

對稱，所以

DE

垂直平分

AA

′，即

DE

⊥

AA

′，

AO

=

OA

′.所以∠

AOD

=90°，即∠

ADE

+∠

DAO

=90°.又因為∠

BAH

+∠

DAO

=90°，所以∠

ADE

=∠

BAH

，△

DAE

≌△

ABG

，

AE

=

BG.

不妨設

AE

=

a

，則由

E

和

F

為

AB

邊上的兩個三等分點，得

AE

=

EF

=

FB

=

BG

=

a.

在Rt△

A

′

HB

中，設

BH

=

x

，因為則

AH

=3

x

，所以

AH

+

BH

=

AB

,即(3

x

)+

x

=(3

a

),解得同理，由第(1)問可知∠

AA

′

F

=90°.在Rt△

AA

′

F

中，不妨設則

A

′

A

=3

y.

所以

A

′

A

+

A

′

F

=

AF

，即(3

y

)+

y

=(2

a

)，解得所以所以Rt△

A

′

HB

是等腰直角三角形，即∠

GA

′

B

=45°.

解法2 利用相似三角形

如圖2，過點

B

作

BH

⊥

AG

于點

H

，則∠

AHB

=90°.由

DE

垂直平分

AA

′，得

OA

=

OA

′，∠

AOE

=∠

AHB

=90°，所以

DE

∥

HB.

又由第(1)問知

DE

∥

A

′

F

，故

DE

∥

A

′

F

∥

HB

，不妨設

AE

=

a

，則由

E

和

F

為

AB

邊上的兩個三等分點，知

AE

=

EF

=

FB

=

a.

所以又因為

OA

=

OA

′，故

A

′

H

=

AO

=

A

′

O.

易證△

AOE

∽△

DAE.

所以所以Rt△

A

′

HB

是等腰直角三角形，∠

HA

′

B

=45°，∠

GA

′

B

=45°.

3.2 抓住基本圖形，探尋創新解法

復雜幾何圖形是由多個簡單的基本圖形疊加或者組合而成，借助幾何直觀和空間想象思考圖形之間的關聯，從整體到局部地觀察圖形的結構特征，抓住基本圖形，就等于握住了解題的“金鑰匙”，也就打開了通往解題的康莊大道.波利亞在《怎樣解題》中說過：“當我們的問題比較困難時，我們可能感到很有必要進一步把問題再分解成幾部分，并研究其更細微的末節.”因此，解決幾何問題的一個基本策略就是仔細推敲題目條件，尋找與其關聯的基本圖形，感知基本圖形所獲得的相關結論及其隱含的線索.從圖3(1)中發現，四邊形

A

′

FBG

中有一組對角為直角，很容易通過作垂線段構造矩形.同時該四邊形有一組對角互補，聯想到四點共圓，從而能得出創新解法3和特殊解法5.由圖3(2)、3(3)的發現，較容易想到可以通過旋轉△

A

′

FB

或△

A

′

BG

，進而得到創新解法4.可見，通過基本圖形可以將陌生的、復雜的圖形轉化為熟悉的圖形，從而發現解題方向，這不僅是幾何教學的基本策略，也是本題特殊解法的重要源泉.

圖3

解法3 旋轉全等

圖4

如圖4,分別過點

B

作

BH

⊥

AG

于點

H

，作

BP

⊥

A

′

P

于點

P

，則∠

A

′

HB

=∠

A

′

PB

=90°.由第(1)問知∠

GA

′

P

=90°，所以四邊形

A

′

PBH

是矩形，∠

PBH

=90°，即∠

PBF

+∠

FBH

=90°.又因為在正方形

ABCD

中，∠

ABC

=90°，得∠

HBG

+∠

FBH

=90°，∠

HBG

=∠

PBF.

又因為∠

BHG

=∠

BPF

=90°，由解法1可知

FB

=

BG

=

a

，則△

BHG

≌△

BPF

(AAS)，所以

BH

=

BP

，所以矩形

A

′

PBH

是正方形，

A

′

H

=

HB

，Rt△

A

′

HB

是等腰直角三角形，即∠

GA

′

B

=45°.解法4 如圖5，過點

B

作

BA

′的垂線交

A

′

G

的延長線于點

H

，∠

A

′

BH

=90°，得∠

A

′

BG

+∠

GBH

=90°.因為在正方形

ABCD

中，∠

ABC

=90°，所以∠

FBA

′+∠

A

′

BG

=90°，∠

FBA

′=∠

GBH.

在四邊形

A

′

FBG

中，∠

ABG

=∠

FA

′

G

=90°，則∠

A

′

FB

+∠

A

′

GB

=180°.又因為∠

BGH

+∠

A

′

GB

=180°，所以∠

BGH

=∠

A

′

FB.

由 解法1可知

FB

=

BG

=

a

，所以△

A

′

FB

≌△

HGB

(ASA)，

A

′

B

=

HB

，Rt△

A

′

BH

是等腰直角三角形，即∠

GA

′

B

=45°.

圖5 圖6

當然，如圖6，如果過點

B

作

BA

′的垂線交

A

′

F

的延長線于點

H

，∠

A

′

BH

=90°，則∠

A

′

BF

+∠

FBH

=90°.因為在正方形

ABCD

中，∠

ABC

=90°，所以∠

FBA

′+∠

A

′

BG

=90°，∠

FBH

=∠

A

′

BG.

在四邊形

A

′

FBG

中，∠

FBG

=∠

FA

′

G

=90°，所以∠

A

′

FB

+∠

A

′

GB

=180°.又因為∠

A

′

FB

+∠

BFH

=180°，得∠

BFH

=∠

A

′

GB.

由解法1可知

FB

=

BG

=

a

，則△

A

′

GB

≌△

HFB

(ASA)，

A

′

B

=

HB

，Rt△

A

′

BH

是等腰直角三角形，∠

HA

′

B

=45°，∠

GA

′

B

=45°.

解法5 構造輔助圓，四點共圓

圖7

如圖7，取

FG

的中點

O

，連結

OA

′，

OB.

由第(1)問可知

DE

∥

A

′

F

，則

A

′

F

⊥

AA

′,所以∠

FA

′

G

=90°.在正方形

ABCD

中，∠

ABG

=90°.在Rt△

FA

′

G

和Rt△

FBG

中，所以

OF

=

OB

=

OG

=

OA

′，點

A

′，

F

，

B

，

G

四點在以

O

為圓心、

OA

′為半徑的同一個圓上.根據同弧所對的圓周角相等，∠

GA

′

B

=∠

GFB

，由解法1可知△

DAE

≌△

ABG

，

AE

=

BG.

又因為

E

和

F

為

AB

邊上的兩個三等分點，得

AE

=

EF

=

FB

=

BG

，所以Rt△

FBG

是等腰直角三角形，∠

GFB

=45°，∠

GA

′

B

=∠

GFB

=45°.

3.3 借助幾何直觀，直擊問題本質

余文森教授提出的“讀思達”教學法同樣適用于解題教學，數學解題過程其實就是一個閱讀、思考、表達的過程.幾何題閱讀的不僅僅是題干信息，更是一個閱圖、思圖的過程.在閱圖的過程中，幾何直觀發揮了不可或缺的作用.幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題,其本質是對幾何圖形產生的一種強烈的直覺感知.比如本題第(3)問要證

A

′

C

=2

A

′

B

，即證明兩條線段的數量關系，依然要回歸圖形，從圖形中發現蛛絲馬跡，仔細觀察圖形，通過敏銳的直覺容易聯想到相似.看到圖形直觀感知到的聯想往往是解題的方向，順著解題方向獲得猜想，進而再結合第(2)問的結論，容易獲得證法1.同樣，此問證法2和3依然是依托強烈的直觀想象和空間觀念，利用相似這一基本知識疊加軸對稱性完成解答.證法1、2、3本質是一樣的，都是證明相似得到線段的比例關系.因此,借助幾何直觀，不僅能感知問題解決的方向和思路，更能預測可能的結果，直擊幾何問題的本質.第(3)問的解法展示如下：

證法1 勾股定理+三角函數+相似

圖8

如圖8，由第(2)問中的解法1，可得△

DAE

≌△

ABG

,則

AE

=

BG.

不妨設

AE

=

a

，則由

E

和

F

為

AB

邊上的兩個三等分點，得

AE

=

EF

=

FB

=

BG

=

a.

在Rt△

ABG

中，由勾股定理可得同理，由第(1)問可知∠

AA

′

F

=90°.在Rt△

AA

′

F

中，不妨設

A

′

F

=

x

，tan∠

A

′

AF

=則

A

′

A

=3

x

,

A

′

A

+

A

′

F

=

AF

，即(3

x

)+

x

=(2

a

),解得所以又因為在正方形

ABCD

中，∠

ABC

=90°，由(2)得在四邊形

A

′

FBG

中，∠

FBG

=∠

FA

′

G

=90°.由四邊形內角和可得∠

A

′

FB

+∠

A

′

GB

=180°，又∠

A

′

GC

+∠

A

′

GB

=180°，所以∠

A

′

FB

即

A

′

C

=2

A

′

B.

證法2 如圖9，連結

A

′

D

，在正方形

ABCD

中，

AD

=

DC

,∠

ADC

=90°.因為

DE

垂直平分

AA

′，所以

AD

=

A

′

D

=

DC

，從而∠1=∠2，∠3=∠4.在四邊形

ADCA

′中，由∠1+∠2+∠3+∠4=270°，得2(∠2+∠3)=270°，∠

AA

′

C

=135°，∠

CA

′

G

=45°.由第(2)問得∠

GA

′

B

=45°，∠

FA

′

G

=90°，所以∠

FA

′

B

=45°，∠

CA

′

G

=∠

FA

′

B

=45°，又因為∠

A

′

FB

+∠

A

′

GB

=180°，∠

A

′

GC

+∠

A

′

GB

=180°，所以即

A

′

C

=2

A

′

B.

圖9 圖10

證法3 如圖10，連結

A

′

D

，過點

B

作

BM

∥

A

′

C

交

A

′

G

的延長線于點

M

，由本問的證法1可得∠

CA

′

G

=45°，由第(2)問得∠

GA

′

B

=45°，所以∠

CA

′

B

=90°，∠

A

′

BM

=180°-∠

CA

′

B

=90°，△

A

′

BM

是等腰直角三角形，

A

′

B

=

BM.

又因為

BM

∥

A

′

C

，所以從而即

A

′

C

=2

A

′

B.

3.4 緊扣基本模型，挖掘特殊解法

“數學家波利亞在《怎樣解題》中說：‘解題的成功，要靠正確的轉化’”.如果能將一些常見的、重要的基本模型進行提煉并深入研究，在解題中往往能起到化難為易的效果.比如常見的手拉手模型、角平分線模型、平行下的相似、一線三垂直模型等.模型思想是直觀想象素養的重要組成部分，解題過程中有意識地去分解或者構建模型，不僅能拓展思維、開拓思路，更能培養創新性思維和多角度思考問題的能力，進而挖掘出多種靈巧的解法.有時題中呈現的基本模型與條件并不吻合，這時需關聯相關知識，通過添加輔助線構建與之匹配的基本模型，以達到順利解題的目的.本題第(3)問中的特殊解法的探究思路是聚焦基本模型，如圖11，證法4中的角平分線基本模型是解決本問的一個題眼，在得到

A

′

G

是角平分線的時候，很自然地想到其性質，通過構造兩條垂線段，利用面積法順利解決問題.如圖12，證法5則綜合運用等腰三角形以及正方形背景下的一線三垂直模型，成功突破思維瓶頸.縱觀本問的多種解法，無論是常規解法還是創新解法，基本圖形與基本模型從始至終都貫徹于整個解題思維過程中.

圖11 圖12

證法4 如圖11，過點

G

作

GM

⊥

A

′

C

于點

M

，作

GN

⊥

A

′

B.

由本問證法3可知∠

CA

′

B

=90°，四邊形

A

′

NGM

是矩形.由第(2)問得∠

GA

′

B

=45°，則∠

CA

′

G

=45°，△

GA

′

N

是等腰直角三角形，所以

A

′

N

=

NG

，矩形

A

′

NGM

是正方形，于是即

A

′

C

=2

A

′

B.

證法5 如圖12，連結

A

′

D

，過點

D

作

DM

⊥

A

′

C

于點

M

，則∠

DMC

=90°.在正方形

ABCD

中，

AD

=

DC

=

CB

,∠

DCB

=90°.因為

DE

垂直平分

AA

′，得

AD

=

A

′

D

=

DC.

又因為

DM

⊥

A

′

C

，得

A

′

C

=2

CM

(三線合一).因為∠

DCA

′+∠

A

′

CB

=90°，在Rt△

DMC

中∠

DCA

′+∠

CDM

=90°，所以∠

A

′

CB

=∠

CDM

， △

DMC

≌△

CA

′

B

，

A

′

B

=

MC

，

A

′

C

=2

CM

=2

A

′

B

，

A

′

C

=2

A

′

B.

4 教學思考

4.1 凸顯模型意識，促成解法多元

本題第(2)、(3)問從學生最為熟悉的正方形十字架模型切入，不論是構造垂線還是從熟悉的平行線證相似,從始至終貫穿了數學模型思想.從基礎的十字架、平行線模型到疊加型模型，如一線三垂直模型、四點共圓等模型.第(2)問的難度逐漸增大，若沒能做好鋪墊，就很難突破第(3)問，借助模型思想可有效縮短思維鏈，提高解題效率，快速生成通性通法及一系列的巧解.求∠

GA

′

B

，通過構造直角三角形把求角問題轉化為求邊的比例關系，再結合正方形十字架模型巧妙構造旋轉變換，充分連通條件與結論的通道，使思路成型.在實際教學中教師應善于滲透模型思想，緊扣基本圖形和基本模型，以教材中的基本知識和中考題中的常見基本圖形為藍本，以基本模型為橋梁，感悟模型的本質，并將解法和題型及其對應的模型歸類，通過對基礎模型追根溯源、融會貫通構造復合模型，不斷地培養學生的數學創造性思維，進而提高解決問題的能力.

4.2 扎根直觀想象，提升數學思維

《義務教育數學課程標準(2011年版)》提出的十個核心關鍵詞中包含了空間觀念、幾何直觀、模型思想和應用意識，這是數學學科核心素養的關鍵組成部分.而直觀想象則是中學數學六大核心素養之一.本題第(3)問的常規解法與多種巧解均是建立在強烈的直觀想象的基礎上，要證明

A

′

C

=2

A

′

B

，需要仔細觀察圖形特征，猜想△

A

′

FB

∽△

A

′

GC.

同時，在第(2)問的基礎上發現

A

′

G

平分∠

GA

′

B

，能快速聯想到角平分線基本模型，構造垂線段完成證法4.直觀想象好比燈塔，為解題指明了方向，扎根直觀想象能感知圖形的形態與變化，通過已有數學經驗、直覺思維和數形結合思想，建構幾何問題的直觀模型,合情合理探尋解題思路，預測結果.因此，在雙減背景下，教師在日常的幾何解題教學中應注重培養學生的直觀想象能力，引導學生抓住圖形的特點，緊扣基本模型分析問題、推敲題意、感悟模型中所蘊藏的思想方法，借助幾何直觀與空間觀念，大膽構建與題干關聯的基本模型，鎖定解題策略，提高解題能力，更好地培養學生思維的靈活性，真正做到減負不減質.