與調和級數有關的幾個數理問題賞析*

韋燕平

(江蘇省無錫市第一中學 214000)

謝廣喜

(江南大學理學院 214122)

一般地，我們將表達式

a

+

a

+

a

+…+

a

+…稱為無窮級數(簡稱級數)，當無窮級數的極限存在時，稱級數收斂(無窮等比數列各項和就是一個特殊的收斂級數)，否則稱級數發散．有關級數問題的深入研究主要在數學分析或復變函數論相關內容中有探討，前者主要探討實數背景下的數列斂散性問題，而后者主要探討復數背景下的數列斂散性問題．

本文重點圍繞特殊的發散級數——調和級數展開.所謂調和級數，簡單地說就是數列的無限項和．調和級數是發散的(例1)，利用這一性質可以解決兩道全國高中數學競賽試題(例2和例3)，接著我們討論在特定前提下調和級數的“反常收斂”(例4)，最后介紹調和級數在物理問題解決中的應用(例5)，并聯系悉尼歌劇院的造型設計，指出調和級數理論對現實生活中的具體生產實踐也有指導意義．

例1

已知試證當

n

→∞時，無界．解析 很顯然，數列{

S

}是遞增的，接著先取

n

=2(

m

∈

N

)的特例，有于是當

n

→+∞時，必有

m

=log

n

→+∞，此時無界，同時

m

+1=1+log

n

→+∞，此時也無界，我們將全體自然數集劃分為

N

=

A

∪

A

∪

A

∪…∪

A

∪…，其中

A

={2,2+1,2+2,…,2+1-1}(

m

∈

N

)，而任意一個非零自然數必然屬于其中之一，于是當自然數

n

→ +∞時，無界．

評注

n

→+∞時，有時也記為(注意：此時

S

無下角標，表示無限項的和)．

例2

(2004年全國高中數學聯賽二試第2題改編)已知數列{

b

}的通項證明：存在

n

∈

N

，使得對

n

>

n

，都有解析 我們注意到待證不等式左邊有

n

項，這樣可以嘗試考慮證明該式的等價變形于是構造數列也就自然而然了，由于于是分子分母同時乘上自己的有理化因子，得而于是聯想到調和級數發散(證明見例1)，易知必存在

n

∈

N

，使得對從而待證等價不等式也成立．(注：本題中的2 004可以改為任意有限大的正數，結論不變)

評注

注意到所以只要取

n

=2(符合要求的自然數

n

有無窮多個，由于是存在性命題，此時不必追求符合要求的最小的

n

)，即有對于是要證的命題也成立．

例3

(2012年全國高中數學聯賽二試)設是正整數．證明：對滿足0≤

a

<

b

≤1的任意實數

a

,

b

，數列{

S

-[

S

]}中有無窮多項屬于(

a

,

b

)．這里[

x

]表示不超過實數

x

的最大整數．解析 利用前面例1的結果(詳細證明此處略)，可證對于任意正整數

n

，有故當

n

充分大時，

S

可以大于任意一個指定的正數．已知0≤

a

<

b

≤1，令由高斯函數[

x

]的定義有

x

-1<[

x

]≤

x

，于是令得當

k

>

N

時有我們將證明，對于任意大于

S

的正整數

m

，必存在

n

>

N

，使得

S

-

m

∈(

a

,

b

)，也即

m

+

a

<

S

<

m

+

b

，否則利用正項數列{

S

}的遞增性，必存在

S

-1≤

m

+

a

，而

S

≥

m

+

b

，于是

S

-

S

-1≥

b

-

a

，與(*)式矛盾！故一定存在

n

>

N

，使得

m

+

a

<

S

<

m

+

b

(** )．為了與待證目標建立聯系，我們令

m

=[

S

]+

i

(

i

=1,2,3,…)，利用(** )式，則

m

>

S

，再利用(*)式，知存在

n

，當

n

>

N

時，有

m

+

a

<

S

<

m

+

b

，而0≤

a

<

b

≤1，此時顯然有[

S

]=

m

，因此

a

<

S

-

m

=

S

-[

S

]<

b

，符合這樣要求的自然數

i

有無窮多個，于是數列{

S

-[

S

]}中有無窮多個屬于區間(

a

,

b

)．

盡管調和級數本身是無法求和化簡的，但我們還是可以找到適當的函數，動態描述其“下界”特性：

聯想1

(2005年湖北高考數學卷壓軸題)已知不等式其中

n

為大于2的整數，[log

n

]表示不超過log

n

的最大整數，設數列{

a

}的各項為正，且滿足求證：略．

簡證 (1)為了與條件不等式聯系上，我們需要對另一個條件不等式進行取倒數處理，也即進一步將其疊加求和，化簡并利用條件不等式于是

聯想2

(2010年湖北高考數學卷第21題)已知函數的圖象在點(1,

f

(1))處的切線方程為

y

=

x

-1．(1)用

a

表示

b

,

c

；(2)若

f

(

x

)≥ln

x

在[1,+∞)上恒成立，求

a

的取值范圍；

(3)證明：

簡解 (1)易得到

b

=

a

-1，

c

=-2

a

+1．(2)詳細解題過程略，

a

的取值范圍是(3)由(2)知當時，有

f

(

x

)≥ln

x

．令有且當

x

>1時令∈

Z

),從而有即將上述的

n

個不等式依次相加，得整理即得

評注

事實上，這兩道題給出了的兩個動態“下界”函數：一個是另一個是哪一個更接近于(*)呢？事實上，在

n

≥4時有ln(

n

+1)+可見是(*)式的更準確的近似，另外，我們還有其中

γ

是基本的數學常數之一，其前五位的近似值為0.577 21，不過到目前為止，我們尚不知該常數是否為無理數．

例4

如果調和級數中所有含某個數字的項不存在(具體地說，比如所有含數字5的項不存在，即去掉證明：此時調和級數剩下的無限項的和收斂．解析 為理解方便，我們下面具體針對不含數字9的情形予以證明(讀者可以發現，我們的證明實際上與該數字具體是幾是無關的).記

r

=調和級數中不含數字9的1位(十進制)數的倒數之和(其中共有8項)，

r

=調和級數中不含數字9的2位(十進制)數的倒數之和(其中共有8×9項)，

r

=調和級數中不含數字9的3位(十進制)數的倒數之和(其中共有8×9項)，…，

r

=調和級數中不含數字9的

n

位(十進制)數的倒數之和(其中共有8×9-1項；一般地，我們利用乘法原理可得到這個結果，首位由于不能為0，又不能為9，故有8種選法，其他各位有9種選法，故滿足要求的

n

位(十進制)數共有8×9-1個)．很顯然，有于是使

n

→+∞，結論亦然，故待證命題成立．

評注

為了記憶簡單方便，我們不妨稱此為特殊前提下調和級數的反常收斂，當然，如果我們將個位數的部分放縮得精致一些(現在的放縮顯然是比較粗糙的)，則可得到更小一點的上界．

聯想3

(2016年全國高中數學聯賽浙江省預賽卷第19題)設集合

A

={

x

∈

N

|

x

的十進制數碼中不含2,0,1,6}，證明：簡解 與上題完全類似地，在

k

(

k

∈

N

)位十進制正整數中，各位上的數碼不含2,0,1,6者共有(10-4)=6個，其中首位分別為3,4,5,7,8,9的各有6個，于是

進而有=

圖1

例5

如圖1所示，將若干塊完全相同的均勻長方體磚塊疊放起來，第一塊磚相對于第二塊磚最右端能伸出去的最大長度為

x

；此時將1,2塊磚看成一個整體，第二塊磚相對于第三塊磚最右端能伸出去的最大長度為

x

；此時再將1,2,3塊磚看成一個整體，記第三塊磚相對于第四塊磚最右端能伸出去的最大長度為

x

……第

n

塊磚相對于第(

n

+1)塊磚最右端能伸出去的最大長度為

x

，試求

S

=

x

+

x

+…+

x

(設每塊磚的長度為

l

)．解析 如圖1，設每塊磚的質量為

m

，先求

x

，由于每一塊質量均勻的磚的重心在其全長的中點(準確地說，體對角線的交點處，本題只需將其抽象看成一維坐標即可)，故再求

x

，由題意結合力矩平衡有解得下面求

x

，將1,2兩塊磚捆綁，于是解得類似地，求

x

時，將上面的(

n

-1)塊磚看成一個整體，得于是

圖2

評注

聯系調和級數的發散性，當

n

→+∞時，可知(一個無窮級數乘以一個非零常數不影響收斂性)，即從理論上講，這個磚塊群相對于最低點，可以壘到任意的長度(當然，成比例地，垂直方向也能達到任意的高度)．事實上如何呢？由于這個體系是一個不穩平衡系統(稍微的偏離就將使平衡被破壞)，即使我們可以造出無數塊完全一樣的質量均勻的磚塊，我們也只能將其壘到某個有限的高度，因為到一定高度時，地球的自轉、高空的氣流等不穩定因素將破壞系統的平衡．即使如此，這一想法對我們的生活實際也是有一定的參考價值的.世界著名的澳大利亞悉尼歌劇院(時年37歲的丹麥設計師約恩伍松設計，澳大利亞的地標建筑，被稱為20世紀最具特色的建筑之一， 圖2)，形為幾片貝殼狀，關鍵是它的上部是矗立在底部之外的，如果就一般的思維來看，這是違背建筑力學基本原則的，然而根據上面我們討論的問題，這樣的方式是有存在的可能的，只要保證整個系統重心不在底部之外就可以，這就從建筑力學的角度保障了這個設計的可行性．