三角圖的原理、快速繪制以及在砂巖分類中的應用

單云鵬，王紅軍，張良杰，白振華，蘇朋輝，赫英旭，孟維康，劉航宇，程木偉

1.中國石油勘探開發研究院，北京 100083

2.中海石油（中國）有限公司天津分公司渤海石油研究院，天津 300459

3.中海油能源發展股份有限公司工程技術分公司，天津 300452

4.北京大學地球與空間科學學院，北京 100871

0 引言

三角圖的散點分類效果顯著，三角圖中某一點三個組分含量之和為1 或100%，一般某個點距離最近的角，其所對應的組分所占權重較大，可以快速直觀表述受三個影響因素事物的相似程度及分類結果。三角圖在各學科中已有普遍應用[1-7]，如地理科學中工廠選址的三個影響因素比重：市場需求、交通運輸以及礦產資源；有機地球化學中判斷沉積環境的三環萜烷指標[8]：C19+20TT、C21TT 與C23TT，判斷油氣來源的C27-C28-C29規則甾烷[9-12]；無機地球化學中判斷玄武巖成因的指標[13]：MnO、TiO2與P2O5；地質學中判別巖石的各種礦物組分[14-18]，砂巖類型的三端元組成：石英、長石與巖屑[19-22]等。但由于各專業特點不同，三角圖內部的區域劃分以及投點讀值方法不盡相同，本研究僅關注三角圖最廣泛的用法以及在砂巖分類中的應用。

砂巖的分類方案眾多，Krynine[23]在1948 年提出第一個普遍應用的砂巖三端元分類體系，三端元分別為：石英+硅質巖（代表成分成熟度）；長石+高嶺石（代表母巖性質）；云母+綠泥石（代表構造變動強度），這個分類體系僅注重沉積巖中的礦物組分，而沒有考慮沉積巖中不可忽略的巖屑組分，不管是從科學角度，還是油氣田實際應用出發，今天都不再適用。隨后Gilbert[24]在1954 年引入“雜砂巖”與“凈砂巖”的概念，形成了“三端元四組分”劃分方案的理論雛形，在進行砂與砂巖分類之前，先依據雜基含量將其劃分開，雜基小于15%的為“凈砂巖”，雜基大于15%的為“雜砂巖”。同年，Folk[25]提出一個三角圖砂巖分類方案，三端元分別為：石英+燧石（代表沉積來源）；長石+巖漿巖屑（代表火成來源）；云母+變質巖屑（代表變質來源）。1964 年Dott[26]根據Gilbert 引入的概念，以棱柱圖的方式進行表示，兼顧了成分成熟度與結構成熟度的表達，三端元分別為石英+“燧石類”；長石；不穩定碎屑。其中，燧石類包括如去玻化的酸性玻璃等硅質火山物質，顯然，這種并非穩定的硅質火山碎屑與穩定石英劃分為一組是有失妥當的。1968 年，Folk[27]對自己提出的三角圖進行了修改，將燧石歸入到巖屑單元，以石英作為三角形單獨的一個端元，另外兩個單元為長石+火成巖屑+片麻巖屑以及其它巖屑+燧石。Folk 的砂巖分類強調結構成熟度概念，需要依據砂巖中黏土含量、顆粒磨圓以及分選性等，將砂巖結構成熟度劃分為若干等級。曾允孚、夏文杰在1986 年的主編的《沉積巖石學》教材中，在總結了前人研究以及1978 年成都地質學院（現成都理工大學）巖石教研室編制的砂巖分類方案的基礎上提出一種三端元四組分分類方案，與Dott相同，使用棱柱圖的方式進行表達，雜基含量作為棱柱，反映細砂級以上砂巖的水動力作用，三端元分別為：石英（代表成分成熟度）；長石（代表深層來源）；巖屑（代表表層來源），其中巖屑包括燧石、石英巖以及其它硅質巖屑。因為燧石和石英巖的耐磨性與化學穩定性與石英相比，還是弱一些，并且成分成熟度高的海灘相中，燧石與硅質碎屑少見，故燧石等成分歸于巖屑比較合理。其中三端元的三角圖，為目前國內各大油氣田常用的砂巖分類三角圖，即是本文探討制作的重點。這種分類方案分區數目適中，且屬于脆性礦物的石英、長石含量分別作為單獨的端元，在致密砂巖這類非常規儲層評價中[28-29]依然適用，體現了該分類方案的優勢。本文在闡述了前人的疏漏以及三角圖的基本原理后，以同一組數據分別利用Excel、Origin 以及Grapher 繪制三角圖進行相互驗證與對比。并采用對計算機運行環境要求相對較低的VBA 編程分別提供國內油氣田常用的，以及劃分更加詳細的砂巖分類圖版。

1 兩種形態劃分與讀值規則

一般來講，三角圖最常呈現的形狀為等邊三角形；在國內，各大油氣田與高校最常用的砂巖分類三角圖則是底邊與底邊上的高長度相等的等腰三角形[30-40]，而這種特殊的等腰三角形在形態上與等邊三角形十分相似，在尺度較小的時候難以分辨其形態，加上分類圖版中會添加一些輔助線，導致科研人員忽略了這兩者的區別，造成了三角圖概念與使用不清晰的情況。

等邊三角形有三個坐標軸，讀值是以三角形的每條邊作為一個做坐標軸，如圖1a，每一個坐標軸代表一個組分的含量由0～100%，常以逆時針方向增大。判斷其中某一點A的數值，通過A點分別做三角圖三條邊的平行線，取三條平行線增大的方向與三角圖邊的交點為A點該組分的含量。

等腰三角形讀值以底邊上的高為Y 軸，含量為0～100%；以與平行于底邊的三角圖內部的某一條線段為X 軸，含量為0～100%。判斷其中某一點B 的數值，如圖1b，首先讀取其Y值，這個Y值為B點的石英（Q）組分在石英+長石+巖屑中的含量；再通過B點做與底邊平行的線段，分別交兩條邊于B1和B2點，B1與B2兩點分別代表0 與100%，而這條邊上的數值代表巖屑（R）組分在長石+巖屑中的百分含量。而理論上不同的砂巖樣品中石英的含量有無數個數值，所以線段B1B2的位置就有無數個可能，即等腰三角形中有無數個X軸。

圖1 兩種三角形態與讀值規則圖Fig.1 Two types of triangle shape plots and reading rules

2 投點規則

由于兩種三角形的讀值規則不同，必然其相應的投點規則也就不同。實際上就是將三組數據（X，Y，Z）相加等于100%的數據經過不同的公式變換，形成在直角坐標系中的兩組數據（X，Y）進行投點。前人有過高引用率的探索和推導[41-42]，但遺憾的是，文獻[42]中等邊三角形與等腰三角形的推導都具有邏輯性錯誤，下面將對前人的錯誤進行論證。

2.1 前人錯誤的證明

為方便讀者進行考證對比，圖2中關鍵的交點命名、直線命名以及各礦物含量的取值符號將與文獻[42]中的圖2保持完全一致，進行推導和證明，并在表1 中將推導過程中的錯誤點進行總結。圖2 中兩種三角形的F點與坐標系的原點重合，底邊與坐標系的橫坐標重合，即取點F（0，0）、R（100，0），在等邊三角形 中 取Q（50，50），在等腰三角形中取Q（50，100）。

圖2 前人使用的推導圖（據文獻[42]修改）Fig.2 Derivation plots used by predecessors (modified from reference [42])

2.1.1 等邊三角形的錯誤

文中雖然在等邊三角形推導的開始的描述階段，規定了三條邊長度相等，即QF=FR=RQ=100，見圖2a，但是在其“直線方程推導原理”以及“相似三角形推導原理”的推導過程中，第一步就將P1點的縱坐標推導為Y=P1C1=Q，出發點就出現錯誤。假設極端情況下，某砂巖樣品長石F 與巖屑R 的含量為0，石英Q 的含量為100%，這一點在三角圖中應該是三角形的石英頂點Q；而按照文中的投點公式，這一點橫坐標值為50，坐標值為Y=100，見圖2a點Q’，三邊長度均為100 的等邊三角形，底邊上的高僅僅為()/2×100，該點在三角圖中的投點已經溢出三角形的范圍。也就是說，這種推導仍然是按照底邊=底邊上的高=100的等腰三角形進行的，已經不是等邊三角形，而造成這種推導錯誤的原因是沒有正確認識兩種三角形圖版讀值的本質區別。

2.1.2 等腰三角形的錯誤

首先是直線方程的推導，如圖2b，直線L2為經過等腰三角形中任意一點P2（X，Y）的平行于底邊的直線，直線L2的解析方程為Y=Q，即P2點縱坐標為這一點的石英含量QP2；經過P2點與Q點的直線M2與底邊相交于B2，B2的坐標值為（X0，0），作者根據投點規則，推導：

再通過B2（X0，0）與Q（50，100）以兩點式的方式列出來M2的直線方程：

表1 前人推導過程中的錯誤總結Table 1 Summary of errors in previous derivations

由于要求取的是直線M2上P2點的橫坐標值，則代入Y=QP2可得

又由于各個點的三端元組分相加均為100，所以QP2-100=-（FP2+RP2），即X的取值方程化簡為：

由于P2點與B2點石英含量是不同的，所以兩點的長石與巖屑的含量之和一定是不相等的，即

求取P2點橫坐標的方程無法繼續進行化簡。但在文中，作者忽略了P2點與B2點的差別，當隱去（1）式中兩點的下標，繼續推導，就可以得到

接下來是相似三角形的推導，如圖2（b），C2點為過等腰三角形中任意一點P2（X，Y）做底邊的垂線，與底邊的交點。可知P2點的橫縱坐標值為

由于△P2C2B2∽△QA2B2，則

可得

即

將方程（5）代入到方程（4）中得

即

由于任意一點的三端元組分之和為100，則

由于方程（2）的存在，方程（6）無法再繼續進行化簡。而在文中，作者仍然忽略兩點石英含量不同的差別，可以看到，在隱去兩點下標，方程（6）即可化簡為方程（3）。

在等腰三角形中的推導中，由于其坐標轉換的結論是“正確”的，很多讀者會忽略這看似正確的推導過程，而沒有注意到其中的邏輯性錯誤。

2.2 等邊三角形投點規則

首先規定三條邊的頂點分別為QFR，使F點做為直角坐標系的原點，如圖3a所示，等邊△QFR的三條邊長度分別為100，按照逆時針方向增大，底邊代表巖屑（R）含量，右側邊代表石英（Q）含量，左側邊代表長石（F）含量。經過三角形中任意一點A，分別做三條邊的平行線，且經過A 點做X 軸的垂線，交點分別標在圖中，三個組分的數值分別為石英（Q）：RG=q；長石（F）：EQ=f；巖屑（R）：FB=r。

圖3 兩種三角形投點原理圖Fig.3 Projection principle plots for two triangles

推導X 值：由平面幾何關系，易知AD=GR=q，又△ABD為等邊三角形，則

推導Y值：△ABD是邊長為q的等邊三角形，則

2.3 等腰三角形投點規則

建立直角坐標系，定點F（0，0），Q（50，100），R（100，0），規定等腰三角形三條邊的頂點分別為QFR，QF=QR 為腰，過Q 點做底邊FR 的垂線，交于Q’，如圖3b所示，可知FR=QQ’=100。經過三角形中任意一點A，連接QA，并延長至FR 邊，與FR 邊交于B點；經過A點做FR邊的垂線，與FR邊交于C點；過R 點做Y 軸的平行線L，經過A 點做FR 邊的平行線，與Y 軸、兩條側邊、QQ’以及L 分別交于D、E、G、H、I點；三個組分的數值分別為石英（Q）∶q；長石（F）∶f；巖屑（R）∶r。

對于A點，坐標系的Y軸即為其Y軸，直線EH即為其X 軸，EA 在EH 上的長度占比代表巖屑組分在巖屑+長石組分中的百分比。

推導Y值：由投點規則易知，A點的縱坐標值Y=AC=q；

推導X值：

GQ’=AC=q，則QG=100-q；又△QFR∽△QEH，且QFR 為底邊與底邊上的高相等的等腰三角形，所以EH=QG=100-q；

又DE+EH+HI=DI，且DI=FR=100，則DE+HI=100-EH=q；

且△DEF≌△IHR，DE=IH，則

由讀值規則知

又由于EH=100-q，且q+f+r=100，即EH=f+r；則

最終可得

至此，可以證明，等邊三角形與等腰三角形在坐標轉換時的橫坐標轉換公式相同，均為X=r+q/2，但這其中卻反應著不同的讀值思維，有質的差別。且可以發現，線段EA、AH、AC的絕對長度，分別為A點巖屑、長石、石英的含量，可以使用三條線段的絕對長度快速讀值判斷三端元的含量。

3 圖版建立

等邊三角形的三角圖沒有特別的圖版，一般為方便讀值，作圖者會在三角形內部畫出分別與三條邊平行的輔助線，如圖4a。

對于等腰三角形，國內油氣田常用的圖版會劃分出r/（f+r）=25%，r/（f+r）=50%，r/（f+r）=75%三條輔助線，分別對應r/f=1∶3，r/f=1∶1，r/f=3∶1，這幾條輔助線不都呈特殊的角度，下面證明劃分出來的區域符合砂巖分類的區間要求：

圖4 等邊三角形及國內油田常用三角圖版Fig.4 Equilateral triangle plot and plot commonly applied in domestic oilfields

在圖3b中，△QEA∽△QFB；△QAH∽△QBR；則

設EA=m，AH=n，FB=M，BR=N，EA/FB=QA/QB=AH/BR=α；可知

又m=αM且n=αN，則可以推出：

公式（8）說明等腰三角形內經過頂點Q 的與底邊FR相交的任意一條直線上的點的巖屑在其長石+巖屑的組分中的含量百分比是相等的，即這條直線上的所有點，其r/（f+r）或r/f都是相等的。

在等腰三角形中，連接Q點與FR邊上的25%與75%兩點，并截去石英含量q＞75%以上的部分；通過Q 點做FR 邊上的垂線，并截去石英含量q＞95%以上的部分，即是國內油氣田最常用的砂巖分類圖版，如圖4b。

4 等邊三角形的進階拓展應用

4.1 “兩邊一高”砂巖分類圖版

在明確兩種三角形的讀值與投點規則后，可以將兩種三角形的思維結合起來使用。朱筱敏主編的《沉積巖石學》教材（2008）中，倡導了一種在華東石油學院（現中國石油大學（華東））于1975年編制的砂巖分類方案基礎上改進的分類方案，如圖5a，雖然使用廣泛程度不如等腰三角形，但近年來也有學者在使用[43-44]，這種三角圖使用了3個坐標軸，可將其形象地稱為“兩邊一高”砂巖分類三角圖。其投點與讀值規則仍為等邊三角形的相應規則，但進行了一些等價變換。在圖5b中，梯形QFBH為等腰梯形，即QH=FB=r，以QF邊作為判斷長石含量的坐標軸，以QR邊作為判斷巖屑含量的坐標軸，將底邊FR上的高QQ’作為判斷石英含量的坐標軸，AD=GR=q，由于△ADC∽△QRQ’，則AD/QR=AC/QQ’，可知AC 在QQ’中的所占百分比即為石英的含量，即

為讀值方便，可以把將QQ’看做100%，AC 相對于QQ’的長度為石英的含量q。等邊三角形的投點是按照絕對長度進行的，而石英的讀值則是取的AC邊在QQ’邊上的相對占比，這也是前人推導出現錯誤的原因。

4.2 “三邊一高”砂巖分類圖版

另外，文獻[45-47]使用了文獻[48]提出的砂巖分類方案，如圖6a，這種分類方式相對來講是最復雜的一種，一共使用了4 個坐標軸，可以稱為“三邊一高”砂巖分類三角圖，投點與讀值規則仍為等邊三角形的規則。與圖5b 的變換規則相似，見圖6b，以QF 邊作為判斷長石含量的坐標軸，以QR邊作為判斷巖屑含量的坐標軸，將底邊FR上的高QQ’作為判斷石英含量的坐標軸；對于三角形內任意一點A，連接QA并延長至FR 邊與FR 邊交于B 點；通過A 點做FR 邊的垂線，交于C點；通過A點做三條邊的平行線，與三邊的交點如圖6b 所示，由等邊三角形的平面幾何關系，易知EA=r，AH=f，與等腰三角形的公式（7）相同；繼續借鑒公式（8）的證明過程，可以說明直線QB 上的點，其r/（f+r）的值或者r 與f 的相對比例關系是相同的。在圖6a中，連接Q在FR邊上的25%與75%兩點，分別截去f＜25%與r＜25%的部分；通過Q點做FR邊上的垂線，截去q＞90%的部分以及50%＜q＜75%的部分，即是“三邊一高”砂巖分類圖版。

圖5 “兩邊一高”砂巖分類三角圖Fig.5 Ternary plots for sandstone classification with two side axes and one high axis

圖6 “三邊一高”砂巖分類三角圖Fig.6 Ternary plots of sandstone classification with three side axes and one high axis

5 實例驗證與作圖對比

5.1 Excel作圖

當將圖7a 中的縱向坐標系重新分配，以Q 點的縱坐標高度為100，即為圖7b。這里需要注意的是，圖7b中是按照等腰三角形的投點經過拉伸壓縮變換成等邊三角形的，成為等邊三角形后，其三條邊的絕對長度代表三端元組分的含量；某一點縱向的絕對長度并不是石英的含量，而其在縱向坐標軸上的占比才是石英的含量，即公式（9）所表達的含義。

圖7 Excel 繪制等邊三角形Fig.7 Mapping equilateral triangles using Excel

在兩類三角形圖版中分別添加表2 中的國內油田常用砂巖分類圖版中的輔助線，經過拉伸壓縮變換，可以分別形成等邊三角形砂巖分類圖版以及等腰三角形砂巖分類圖版。由圖7可知，不管采用哪種投點方式，三角形形態均可以相互轉化。為方便對比，直接取等腰三角形的投點方式進行調整成圖（圖8）。可以看到，兩個圖版的投點分類結果是一致的，在圖4b劃分出來的各個區域中，圖8a與圖8b完全相同，而不同的是它們的讀值規則與相應的坐標軸，圖8a 的讀值規則遵循傳統等邊三角形的規則，三條邊即為坐標軸，通過某一點分別作三條邊的平行線進行讀值；圖8b 遵循等腰三角形的規則，并且經過2.3節的推導，某一點的高值為石英含量，通過這點與x軸平行且與三角形側邊相交的線段，以該點為分界點，左右兩條線段分別為巖屑、長石的含量。而使用者在應用的過程中，有時沒有明確區分兩類三角形的形狀，需要讀者們自行注意兩類三角形的讀值區別。并且，筆者提倡在使用國內油田常用的砂巖分類圖版時，采用等腰三角形的方式，因為等腰三角形的讀值規則為水平或垂直的方式，更符合傳統直角坐標系的使用習慣；而等邊三角形的讀值規則中，石英、長石、巖屑的讀值分別需要采用0°、120°、60°的線段進行輔助，在實際使用中，不夠直觀。

表2 國內油田常用的砂巖分類圖版中輔助線節點坐標Table 2 Coordinates of auxiliary line nodes in sandstone classification charts commonly used in domestic oilfields

圖8 Excel 繪制國內油田常用的等邊三角形和等腰三角形兩類圖版Fig.8 Mapping equilateral and isosceles ternary plots using Excel, commonly used in domestic oilfields

5.2 Origin與Grapher作圖

使用同一組數據，分別使用Origin 與Grapher 軟件進行三角圖繪制，如圖9 所示。可以看到，繪制出的三角圖與Excel的成圖完全一致，雖然無法知曉這兩種軟件的后臺程序代碼，但可以確定其投點方式與理論推導出來的方程一致，無論是用等邊三角形的方程還是等腰三角形的方程投點，三條邊的坐標軸都是要經過均一化的處理，保持三條邊的絕對長度相等。

兩款軟件的成圖優點就是快速便捷。描述碎屑巖的礦物順序一般為“石英—長石—巖屑”，這種排序會出圖錯誤。需要注意的操作問題是Origin 在成圖前，先要設置好三條軸，即巖屑為x 軸、石英為y軸、長石為z 軸；而Grapher 是在成圖后，重新設置并對應坐標軸。

圖9 Origin（a）與Grapher（b）三角圖對比Fig.9 Comparison of (a) Origin, and (b) Grapher ternary plots

軟件成圖的缺點是只能按照設定好的模板對三角圖內部平行于三條邊的輔助線進行調整，各種地質圖所需要的內部框線無法在軟件中直接繪制出來；兩款軟件中的三角圖不能實現不等比例的拉伸變換，其三角圖只能保持等邊三角形的狀態，無法根據實際需要自定義三角形的形態。

6 分類圖版及操作過程

6.1 手動生成圖版

為計算方便，采用等腰三角形的計算投點方式，對每個點的x 與y 值進行計算。按照（100，0）、（0，0）、（50，100）、（100，0）的順序在Excel 中插入“帶直線的散點圖”，即可生成三角形邊框。分別以兩點為一組的方式添加表2 中等腰三角形的內部框線或表3 中“三邊一高”三角圖的內部框線，可形成“國內常用”或“三邊一高”砂巖分類圖版。在圖版中按照地層順序添加礦物含量數據點，拉伸調整好三角形的形態，復制矢量圖，在CorelDraw 中進行輔助信息的添加，即可完成砂巖的分類投點。

表3 “三邊一高”砂巖圖版中內部框線Table 3 Node coordinates of the inner frame lines in the“three sides and one height”sandstone plot

如前所述，“國內常用”圖版既可以是等腰，也可以是等邊的形態，讀值規則會有差別，但“三邊一高”圖版應保持等邊三角形的形態，因為其兩條側邊在讀值時起到坐標軸的作用。

6.2 自動生成圖版

當需要反復多次進行三角圖繪制，手動繪制工作量較大，為方便作圖者快速完成砂巖分類工作，筆者對“國內常用”以及劃分更為詳細的“三邊一高”砂巖分類圖版進行了VBA 編程，兩類圖版代碼將在國家冰川凍土沙漠科學數據中心發表，讀者下載后可以直接復制運行，快速繪制。

本代碼適用于準備采用“國內常用”或“三邊一高”圖版進行分類的砂巖地層，且各個散點已經按照石英+長石+巖屑=100%的規則將砂巖的三端元組分數據進行歸一化處理，分類目的既可以是通過砂巖類型的變化來表征某一體系域內水動力的變化，也可以是常規的砂巖儲層性質描述，還可以是不同含油氣盆地砂巖儲層類型的對比等。代碼需要在Excel 2016及以上的版本中運行，否則可能會出現無法編譯的情況。操作過程如下：

（1）創建Excel文檔，一般情況下，直接創建的文檔為不開啟宏的狀態。點擊文件—選項—自定義功能區—在主選項卡中勾選開發工具，Excel 工具欄中出現開發工具選項；再點擊信任中心—信任中心設置—宏設置—啟用所有宏，點擊確定。將文件另存為啟用宏的工作簿（即xlsm格式）。

（2）以圖10中的表格結構對石英、長石、巖屑數據進行整理，程序中給出了10套地層的自動投點，每一套地層可以容納4 997 個點，如需增加，可以修改代碼。這里需要注意的是，表格的結構框架務必要與圖10中完全一致，即從第四行開始是數據，投點列依次為DE、IJ、NO、ST、XY……第十套地層的投點列應為AW與AX。

（3）點擊開發工具—Visual Basic—插入—模塊—插入—模塊，在模塊1中粘貼“國內常用”代碼，在模塊2中粘貼“三邊一高”代碼，關閉Visual Basic 界面。

（4）點擊開發工具—插入按鈕（窗體控件）—在Excel表格區域創建兩個按鈕—分別指定宏指令。

（5）分別點擊按鈕，即可自動投點生成兩類三角圖（圖10）。本程序給定的諸如框線粗細、坐標軸顯示以及各分組中散點的形狀與顏色等各種屬性的默認值可能不符合作圖者的需求，作圖者可以在成圖后對三角圖的這些屬性進行修改。

圖10 Excel 結構框架與VBA 程序運行效果圖Fig.10 Excel structure frame and VBA program running effect chart

7 結論

三角圖版對于相加等于1 或100 的三組分的劃分十分合理，在地質專業中應用最廣泛的當屬砂巖分類三角圖，種類繁多，各種輔助線縱橫交錯，但基本的讀值投點規則是一致的。如果是三邊絕對長度相等的等邊三角形，其三條邊就可以作為讀取數值的坐標軸，經過推導變換，可以將兩條側邊作為長石與巖屑的坐標軸，可以將底邊上的高作為石英的坐標軸，但“高”的絕對長度并不是石英的含量，某點高值在底邊上的高的占比才是石英的含量；如果是底邊與高值相等（100）的等腰三角形，其兩條側邊則不能作為坐標軸，某點的高值的絕對長度即為石英的含量，通過這一點的平行于X 軸的與三角形相交的內部線段可以作為判斷巖屑與長石含量的坐標軸，這條線段上以這一點為分界點，兩段長度分別為兩種礦物的含量。

前人對于兩種三角形的推導的邏輯性錯誤是由于沒有明確分清兩種三角圖的讀值規則區別，投點方式也并非完全一樣。此外，按照等邊三角形的投點方式拉伸調整成等腰三角形=等腰三角形投點方式的等腰三角形，或者按照等腰三角形的投點方式拉伸調整成等邊三角形=等邊三角形投點方式的等邊三角形這兩種容易混淆的轉化，使得前人得出“無論是哪種三角形形態，投點規則都是一致的”結論。

Origin 與Grapher 軟件可以快速繪制三角圖，在沒有特別需求的情況下，推薦使用。但涉及到三角形內部的特殊分隔線段、不規則分區、坐標軸標題位置轉變以及添加文本描述等情況時，則需要使用Excel 結合地質繪圖軟件如CorelDraw 等進行繪圖。如果需要進行多次繪制三角圖版，可以采用本文所附錄的VBA程序代碼，簡化制圖過程。

致謝 感謝審稿專家及編輯部工作人員提出的寶貴意見，使論文質量進一步提高。本文所涉及的VBA編程代碼可通過國家冰川凍土沙漠科學數據中心獲取http://www.ncdc.ac.cn/portal/magazine。