基于分數階模型的鋰電池SOC估計

段雙明，楊耀微

(東北電力大學現代電力系統仿真控制與綠色電能新技術教育部重點實驗室，吉林吉林 132012)

鋰電池具有能量密度高、循環壽命長及自放電小等優點[1]，在儲能領域的應用越來越廣泛[2]。但與其他形式能源不同，儲能系統中單體電池的剩余容量并不能直接測量出來[3]，因此電池過充過放現象時有發生，由此而引發的儲能系統安全事故問題引起了業界學者的足夠重視。電池荷電狀態的快速準確估計不但可以有效避免電池過度充放電導致的內部永久性惡化問題，還能為鋰電池剩余工作時間的預測提供一個可靠的范圍[4]，現已成為眾多學者研究的熱點問題。

為準確預測電池荷電狀態，很多SOC估算方法被提出。文獻[5]提出一種改進蟻群算法(IACO)優化粒子濾波(PF)估計電池荷電狀態。文獻[6]針對在優化參數的過程中交叉、變異帶來隨機性的問題，提出了基于支持向量機算法對電池SOC進行實時估計。上述這些方法都需要大量的實驗數據，且很大程度上需要依靠訓練數據的準確性。在電池的使用過程中，隨著老化程度的不斷加劇，訓練數據會逐漸失效，進而影響實際的估計效果。文獻[4]針對自適應擴展卡爾曼濾波(AEKF)算法運行初期收斂速度緩慢問題，提出模糊AEKF(FAEKF)算法加以改善，能夠快速收斂，但這種方法對電池模型中電容參數的變化體現不夠明顯。文獻[7]對分數階模型和普通整數階模型在建模技術和SOC估計方面進行了系統的比較，得出分數階模型的優勢更明顯。然而，在使用過程中，由于電池老化問題加劇，電池健康狀態(SOH)的變化將會導致模型和容量不匹配，影響最終的估算結果。因此本文針對電池參數時變特性，選用二階RC 分數階模型，并提出一種基于FOUKF+VFFRLS 算法對電池SOC和SOH實現聯合估計。為提升計算效率，使用時間尺度分離計算方法，即電池參數宏尺度和電池狀態微尺度，并在UDDS 工況下驗證了所提方法的有效性和正確性。

1 電池模型

準確的電池模型是實現SOC精確估計的基礎[8]，不同模型有著各自特點。一階RC 模型結構簡單但精確度不足，二階及高階次RC 模型能更精確地反應電池內部的動態特性，然而模型階數越高對計算的要求同樣也越高。因此，本文選用二階RC 等效電路模型。

1.1 二階RC 分數階模型

電池在實際動態工況中，由于內部鋰離子的偏移運動，大多數電容器并不是表現出簡單的整數階特性，而是呈現出分數階特性[9]。本文采用的二階RC 模型包含兩個電容器，同樣適用于分數階微積分的應用。二階RC 模型如圖1 所示。

圖1 二階RC 等效電路模型

分數階Grünwald-Letnikov 微積分公式為：

式中:Dα r為關于變量r的分數階微積分算子；α為系統的階數；T為采樣間隔時間；M為內存或窗口長度；ωα j為牛頓二項式系數。

式(2)中，α的值決定了函數的類型。當α>0 時，函數是微分；當α=0 時，函數是原始函數；當α<0 時，函數是積分。公式如下：

根據圖1 中所示的等效電路模型，將二階RC 模型中的電容器換成分數階電容器，建立分數階RC 模型，則狀態空間方程可推導為：

1.2 參數辨識

模型中各參數辨識的準確程度將影響電池SOC的估算精度，目前普遍采用的方法是利用脈沖實驗進行參數辨識，這種方法簡單方便，但辨識結果的精度有待提高。因此，本文采用自適應遺傳算法進行參數辨識，圖2 給出算法步驟。辨識后的結果如表1 所示。

圖2 自適應遺傳算法步驟

表1 整數階與分數階模型參數

經計算，整數階模型與分數階模型平均誤差分別為0.005 1、0.004 6 V，最大誤差分別為0.055 1 和0.033 5 V。從圖3 和圖4 中，我們可以看出分數階模型比整數階模型有更高的精確度，分數階模型更適合作為電池估算的模型。圖3～圖4 中，AGA 表示采用自適應遺傳算法對分數階模型進行參數辨識，RLS 表示采用遞推最小二乘法對整數階模型進行參數辨識。圖3 中黑色曲線為實際值。

圖3 整數階與分數階模型電壓估計

圖4 整數階與分數階模型電壓估計與真實值的比較誤差

根據放電實驗[10]得到的電池開路電壓和電池SOC的數據，在Matlab 中利用polyfit 函數對端電壓與電池SOC關系進行擬合，最終擬合函數為：

2 電池SOC 和SOH 聯合估計

在電池實際運行中，電池SOC將隨著充放電電流而實時變化，對基于電池模型估計SOC的方法來說，電池參數R0隨電池老化會逐漸增大，導致最大容量衰減，影響電池SOC估計的準確度，因此，估計電池SOC時應考慮電池SOH的影響。

2.1 分數階無跡卡爾曼濾波算法估計SOC

本文采用電容器分數階模型，使用基于unscented 變換的UKF 方法將非線性系統線性化，更有利于處理非線性問題，因此提出了分數階無跡卡爾曼濾波算法(FOUKF)。分數階無跡卡爾曼濾波算法的詳細步驟如下文。

對于非線性系統，狀態方程為：

(1)參數初始化

令k=1，設置系統初值

式中：T 為矩陣的轉置。

(2)采樣點及權重值

式中：n為狀態向量的長度，本文中狀態向量長度為3。Wi為采樣點的權重，權重值計算如下所示：

(3)時間更新，將采樣點通過狀態函數從k-1 時刻傳遞到k時刻

(5)計算輸出預測值

(7)利用實際輸出值對后驗估計值修正

2.2 帶可變遺忘因子的最小二乘法

遞推最小二乘算法(RLS)在電池模型參數辨識方面已經得到了廣泛應用。其原理是利用當前時刻參數的辨識結果與下一時刻系統的輸入輸出量遞推出下一時刻系統的參數值，具體公式如下：

截止到2017年06月30號，株洲市現有“三合一”場所共2886家（隨生產周期不同，各統計階段數量有所差異），主要集中在合泰地區、月塘街道和龍泉街道，其中合泰地區為合泰“三合一”場所，共344家，月塘街道包括富家垅“三合一”場所及其他散戶，共1572家；龍泉街道包括康泰服飾工業園、新蘆淞工業園和其他散戶，共970家，如表1所示。

式中:e(k)、K(k)、P(k)分別為估計誤差，增益向量和參數協方差矩陣；λ為遺忘因子。對RLS 算法進行改進，可以得到帶可變遺忘因子的最小二乘算法(VFFRLS)，可變遺忘因子表達式為：

式中：λ(k)為可變遺忘因子；λmax和λmin分別為遺忘因子的最大值和最小值；NINT(x)為取整函數；ρ為敏感因子。

2.3 FOUKF+VFFRLS 算法

由于電池狀態隨時間變化比較明顯，而電池的參數在某個瞬間可認為是不變的。如果采用同一時間尺度，會降低系統的計算效率，因此，本文針對電池參數的慢變特性和電池狀態的快變特性，采用多尺度方法構造離散時間狀態空間方程，即參數估計采用長時間尺度，狀態估計采用短時間尺度，分別在宏觀和微觀尺度預測系統參數和系統狀態。更具體地說，我們考慮離散時間非線性系統的狀態變量x和參數變量q的情況。

式中：xk,l為時間tk,l=tk,0+l×T(1 ≤l≤L)的系統狀態矩陣，這里T為固定測量兩個相鄰點之間的采樣間隔，k和l分別是宏觀系統參數和微觀系統狀態的兩個時間尺度指標；uk,l為tk,l時刻的系統輸入矩陣；Yk,l為tk,l時刻的系統觀測(或測量)矩陣；wk,l和rk分別為狀態參數和模型參數的過程噪聲矩陣；vk,l為測量噪聲矩陣。需要強調的是：L為時間尺度分離的水平，即xk,0=xk-1,L；qk為第k個宏觀尺度下的參數矩陣，qk=qk,0:L-1。對于定義的系統，我們的目標是從噪聲觀測Y中估計系統狀態x和模型參數q。FOUKF+VFFRLS 方法具體步驟流程見圖5 所示。

圖5 FOUKF+VFFRLS 算法流程圖

初始參數設定后，根據充放電電壓和電流求得電池SOC值和電池模型參數值。電池參數隨工作時間進行變化，將會影響電池SOC的估計精度，電池SOC的改變也會對模型參數的數值產生影響。因此，將更新后的參數輸出量作為下一次SOC估計的輸入量，再將電池SOC估計的輸出量作為下一次參數估計的輸入量，從而實現電池SOC和SOH聯合在線估計。

3 實驗與驗證

為驗證本文所提FOUKF+VFFRLS 方法在儲能系統中預測性能的優勢性，本文設計了混合動力脈沖能力測試(hybrid pulse power characteristic,HPPC) 實驗和 UDDS(urban dynamometer driving schedule)工況實驗，實驗選用了三元鋰電池進行測試。

(1)HPPC 實驗步驟：(a)采用恒流恒壓充電，截止電流為0.05C，靜置2 h；(b)以1C恒流放電3 min，靜置2 h；(c)重復上述步驟(b)，直至端電壓達到放電截止電壓，靜置2 h。

(2)UDDS 工況實驗步驟：(a)恒流恒壓充電，截至電流為0.05C，靜置30 min；(b)控制充電機按照UDDS 工況電流進行充放電；(c)重復上述步驟(b)，直至端電壓達到放電截止電壓。UDDS 工況電流如圖6 所示。

圖6 UDDS工況電流曲線

在UDDS 工況下對上述所提方法與EKF 算法、UKF 算法和FOUKF 算法進行比較，并作簡要分析。實驗前將電池充滿電并充分靜置。電池SOC估算結果及誤差對比如圖7 和圖8 所示。

圖7 SOC估算結果

圖8 電池SOC值誤差對比

從仿真的結果中我們可以看出，在全部的仿真時間里，幾種算法估計的電池SOC值都能很好地反應出實際值的變化，但EKF 算法和UKF 算法由于沒有考慮到電容分數階特性，相對其他兩種方法誤差較大。FOUKF 算法雖采用分數階模型，卻未能考慮電池老化過程對SOC的影響。相比之下，FOUKF-VFFRLS 算法的平均誤差和最大估計誤差均比其他3 種方法的誤差小，分別較EKF 算法提升了0.9%和1.09%，較UKF 算法提升了0.87% 和1.07%，較FOUKF 算法提升了0.18%和0.14%。

從圖9 中可以看出，電池SOH值在真值附近波動并略有下降，符合電池實際運行時SOH的變化規律，最大誤差控制在0.6%以內，滿足了估算精度要求。

圖9 SOH估計結果

由以上分析可知，該算法反映了電池的實際特性，且在復雜電流工況下得到了較高的估計精度，充分體現了本文所提出的聯合估計算法的優越性。

4 結論

為提高電池SOC估算精度，本文提出了一種基于FOUKF-VFFRLS 算法的鋰電池SOC估算方法，并在UDDS工況下與多種SOC估算方法進行對比，得出以下結論。

(1)分數階模型比整數階模型能更精確地表示出電池運行時的動態特性，具有更高的精確度。

(2)電池老化過程會影響SOC的估計精度，考慮電池SOH等因素能更精準地估計出電池SOC。

(3)FOUKF-VFFRLS 算法比FOUKF 等算法更適合用于對鋰電池SOC的預測。