有限溫度張量重正化群方法及其在阻挫量子磁性研究中的應用

李 涵 ，李 偉

1.北京航空航天大學物理學院，北京100191

2.中國科學院大學卡弗里理論科學研究所，北京100190

3.中國科學院理論物理研究所，北京100190

目 錄

I.引言 121

II.有限溫度張量重正化群方法與量子自旋模型計算 122

A.有限溫度張量網絡 123

B.指數張量重正化群 123

C.正方晶格海森堡模型的有限溫度張量重正化群計算 124

D.阻挫三角格子海森堡模型的有限溫度張量重正化群計算125

III.三角晶格阻挫磁體及Berezinskii - Kosterlitz - Thouless

相變 126

A.阻挫伊辛磁體TmMgGaO4的微觀自旋模型 126

B.贗自旋映射與演生U(1) 對稱性 127

C.低溫熱力學及譜學實驗證實 128

IV.六角晶格Kitaev 阻挫磁體及高場自旋液體相 129

A.六角晶格Kitaev 模型 130

B.有限磁場下的Kitaev 模型與分數液體 131

C.Kitaev 候選材料α-RuCl3133

D.α-RuCl3微觀自旋模型 133

E.場致量子相變與有限溫度–磁場相圖 134

F.強磁場自旋液體態 136

V.總結與展望 137

致 謝 139

參考文獻 139

I.引言

在傳統的凝聚態物理范式下，自然界中形形色色的物質形態多是由對稱性及其自發破缺所支配的。具體到磁性系統，在溫度相對較高時，由于系統具有很強的熱漲落，自旋的指向是隨機且無序的，此時系統保持在高對稱性的順磁相。而當溫度降低時，系統通常會破缺一定的自旋相關對稱性，進入到如鐵磁、反鐵磁、亞鐵磁等長程磁有序相，或共價鍵固體態等破缺晶格平移對稱的磁無序相。在這樣的對稱破缺圖景之下，朗道–金茲堡–威爾遜(Landau-Ginzburg-Wilson，LGW) 理論構成了人們對磁性物質態理解的標準范式。

然而，凝聚態物理工作者也在不斷追求突破LGW范式的新奇物態與相變，并將注意力集中在自旋相互關聯和糾纏的低維磁性體系中。早在上世紀70 年代Berezinskii[1]以及Kosterlitz 和Thouless[2,3]在二維XY 磁性體系中各自獨立地發現了一種新奇的拓撲相變：系統在低溫下并不破缺對稱性，因此沒有形成嚴格意義上的長程序，此時自旋關聯函數隨距離代數衰減；但是隨著溫度升高系統會歷經非解析的奇異性，發生Berezinskii-Kosterlitz-Thouless(BKT)拓撲相變，這對應于拓撲型激發—— 渦旋對的耦合與解耦。實驗研究者們曾經在液氦薄膜[4]和魔轉角石墨烯超導[5]等體系中探測到過BKT 相變，然而在最早被提出存在BKT 相變的二維磁性系統中卻鮮有報道。更為有趣的是，在阻挫磁體中，U(1) 對稱可以自發地涌現出來并對應發生BKT 拓撲相變[6]，這一新穎的演生物理是否能在實際低維磁體中被實現，是量子磁性研究中待探索的有趣問題。

阻挫磁體展現出的另一類重要新奇物態是量子自旋液體[7–10]。在量子漲落影響下，這類系統降至極低溫也無法形成常規的對稱破缺自旋“固態”序，但是可以形成長程糾纏(拓撲序)，并伴隨有自旋分數激發等新穎的量子性質。近年來，在模型中尋找自旋液體的理論研究取得了系列進展，人們在Kitaev 蜂巢模型(嚴格可解)[11]、籠目晶格海森堡模型(數值計算)[12,13]、三角晶格阻挫系統(數值計算)[14–16]等理論模型中發現了自旋液體態存在的證據；然而，人們是否能夠在真實材料系統中觀察到這樣新奇的磁性物態，是備受關注的前沿問題。

另一方面，低維量子磁性材料體系作為典型的關聯系統，對其進行深入研究需要借助高精度的多體計算方法，特別是有限溫度和動力學計算等方法。近年來，有限溫度張量重正化群方法，包括轉移矩陣重正化群[17–19]，有限溫度張量網絡態方法等[20–31]在精確計算一維和二維量子格點系統的熱力學性質上取得長足進展。這些方法可以用于定量分析實驗熱力學測量數據、確定微觀自旋模型，進而深入探討低維磁性體系中的新奇量子物態和相變。沿此量子磁性系統的多體計算研究路線，作者與合作者最近在若干三角和Kitaev 六角晶格自旋液體候選材料的研究中取得系列進展。

在下文第 II 節中，作者首先介紹近年來發展的有限溫度張量重正化群方法及其在量子自旋模型有限溫度計算方面的應用。在第 III 節中，介紹稀土磁體TmMgGaO4的微觀模型與拓撲相變方面的進展，在第IV 節中介紹六角晶格Kitaev 磁體α-RuCl3的微觀模型與高場自旋液體態。最后，在第V 節中對張量重正化群方法及其在若干重要阻挫磁性材料體系研究中的應用作一總結與展望。

II.有限溫度張量重正化群方法與量子自旋模型計算

對實際磁性材料準確建立微觀自旋模型并對多體性質開展精確分析，是人們研究低維量子磁性的可靠途徑。精確的微觀模型分析集中反映了人們對相關阻挫磁性材料系統的研究和理解程度。然而，建立量子磁體的模型并確定其參數具有很大的挑戰性。而這一困難又主要來源于量子多體問題精確計算的復雜性：希爾伯特空間維度會隨著系統格點數N的增加而呈指數級增大，即對于局域希爾伯特空間維度為d，系統尺寸為N的量子多體模型，其總空間維度為dN(如圖1(a)所示)，計算代價指數增加而面臨“指數墻”問題。因此，除了極少數可以嚴格解析的模型和問題，對自旋模型特別是阻挫自旋模型開展精確計算得到實驗可觀測物理性質是十分困難的多體問題。另外，由于實驗測量的磁矩、磁化率、比熱容等可觀測量是在有限溫度下進行的，所以人們在計算時還需引入溫度變量，進一步增加了計算難度。

圖1.(a) 希爾伯特空間維度為dN 的多體波函數ψ 寫作維度為N ×(dD2) 的矩陣乘積態(Matrix Product States,MPS) 形式。(b) 維度為d2N 的多體密度矩陣ρ 寫作維度為N ×(d2D2) 的矩陣乘積算符(Matrix Product Operator,MPO) 形式。(c) 利用Trotter-Suzuki 分解將密度矩陣ρ ≡e-βH 拆分成“棋盤格”有限溫度張量網絡，其中橙色框內表示轉移矩陣T。

在過去二三十年的研究中，人們發展了一系列精確高效的有限溫度多體計算方法，包括有限溫度精確對角化(Finite-temperature Lanczos,FTL)[32,33]、量子蒙特卡洛(Quantum Monte Carlo, QMC)[34,35]及本文中主要介紹的有限溫度張量網絡態及其張量重正化群(Tensor Renormalization Group,TRG)[17–31]方法等。其中，FTL 方法是數值嚴格的方法，但處理的格點尺寸有很強的局限性；QMC 方法在模擬阻挫系統時通常會遇到符號問題；而基于有限溫度張量網絡態的重正化群數值方法則不存在這些限制，可以計算大尺寸二維系統的低溫性質，為研究阻挫量子磁性系統提供了有力的工具。下面對張量重正化群方法做簡要介紹。

張量網絡態是量子多體系統的基態波函數和有限溫度密度矩陣等的精確高效參數化方式，其圖像表示如圖1(a)-(b) 所示。在凝聚態物理領域中，人們關心的純態或者有限溫度混合態往往滿足糾纏面積律并可以被張量網絡精確地描述[36]。具體地說，在有限溫度多體系統中，人們的研究對象是密度矩陣ρ ≡e-βH，其中β ≡1/T為多體系統的倒溫度，而H為多體系統的哈密頓量。盡管H中存在大量的本征態超越糾纏面積律而難以通過張量網絡態來有效表達，但是有限溫度密度算符ρ(β) 仍滿足互信息的面積律，可以有高效和精確的有限溫度張量網絡態表達。關于有限溫度張量網絡態及其重正化群方法的基礎介紹可以參考中文綜述文章“有限溫度量子多體系統與熱態張量網絡”(《物理》期刊2017 年第7 期)。在本節的后面部分中，作者重點介紹有限溫度張量方法的若干最近發展。

A.有限溫度張量網絡

一維量子體系的配分函數計算可以表達為1+1 維的有限溫度張量網絡縮并問題。上世紀90 年代，我國學者向濤、王孝群等提出了轉移矩陣重正化群(Transfer-Matrix Renormalization Group,TMRG)方法[17–19]，將模型的哈密頓量形式分為奇偶兩部分H=Ho+He，其中奇數部分Ho= ∑i h2i-1,2i，偶數部分He=隨后，利用Trotter-Suzuki 分解[37,38]將倒溫度β分為M個較小的Trotter 切片并通過插入2M -1 組正交歸一基，可以進一步得到：

式中j標記倒溫度空間，i標記實空間，在二維平面上可以形象地表示為圖1(c) 所示的1+1 維張量網絡。

在TMRG 方法中，系統自由能可以由轉移矩陣T(如圖1(c) 中橙色虛線框中所示) 的最大本征值λmax給出，即在具體計算時，TMRG借鑒基態的實空間密度矩陣重正化群(Density Matrix Renormalization Group, DMRG) 計算方法，在倒溫度空間(圖1(c)中豎直方向)利用DMRG 方法計算T的最大本征值λmax[17–19]，并進而得到自由能等熱力學性質。值得注意，最近人們將轉移矩陣T寫成連續(時間)MPO，去除了Trotter 分解帶來的分立誤差，并可以更為方便地研究系統的(虛時間) 動力學性質[39]。

另一種在細節有一定差別但實質等價的算法是線性張量重正化群(Linearized Tensor Renormalization Group, LTRG) 方法。圖1(c) 展示了LTRG 方法的要點，該方法按如下方式縮并熱態張量網絡：通過虛時間演化沿著溫度軸方向縮并有限溫度張量網絡，得到密度算符ρ(β) 的矩陣乘積算符表示(如圖1(b) 所示)，隨后求跡得到配分函數Z(β) 并計算自由能等熱力學量。依此路線LTRG 方法可精確計算一維自旋系統以及部分二維系統的平衡態性質，更多細節請參照文獻[20,22]。

類似地，在兩維量子系統的精確模擬中，人們可以將兩維熱態表達成張量乘積算符(Tensor Product Operator,TPO)[20]的形式，然后進行虛時間演化、或者變分地去優化，這樣的算法可以直接得到熱力學極限下的性質[20,21,23,40–44]，但由于計算代價較高，所允許的保留態數目通常較小。目前，人們仍在努力探索,開發精確有效且高度可控的、適用于更具挑戰性的阻挫量子自旋和費米子等系統的TPO 算法。近年來，作者與合作者通過將二維系統映射為準一維系統，發展出了級數展開熱張量網絡方法(Series-Expansion Thermal Tensor Network, SETTN)[27]，并在此基礎上進一步提出指數張量重正化群方法(Exponential Thermal Renormalization Group, XTRG)[28,31]等，可以精準、可控地處理一些其他方法難于處理的二維阻挫自旋系統[29,30,45,46]以及摻雜費米子[47]問題，展現出獨特的優勢及競爭力。

除了上面所提到的縮并熱態張量網絡的方案，有效計算兩維系統有限溫度性質的另一類張量網絡態方法是最小糾纏典型熱態法(Minimally Entangled Typical Thermal States, METTS)[25,26]。此方法將密度矩陣的計算問題轉變為對典型熱態的抽樣問題，有效減小了所需的保留態數目，但也引入了統計誤差。由于每個單獨典型熱態的制備需要開展DMRG 計算虛時間演化，且實際需要大量的典型熱態做統計平均，因此METTS 方法具有較大的計算代價。該方法在量子自旋模型的研究上也有一些初步應用[48]。

B.指數張量重正化群

近期，人們嘗試運用矩陣乘積算符來表達二維有限尺寸系統的密度矩陣，并取得了系列進展。圖2 中介紹了XTRG 方法的主要路線：兩維有限尺寸系統的密度矩陣ρ(β)≡e-βH(此處未歸一化) 可以寫作矩陣乘積算符的準一維形式，初始倒溫度τ對應的ρ(τ) 可以通過泰勒展開表示為

其中Nc是裁剪階數，得到該密度矩陣ρ(τ) 張量網絡表示的算法被作者稱為SETTN[27]。此后，在每一步迭代降溫過程中，采用XTRG 方法，即

此處的“*”表示矩陣乘積算符的乘法運算。利用這樣的機制，成倍增加倒溫度β，即對應每一次迭代n，密度矩陣ρn所對應的倒溫度β= 2n ·τ(見圖2(b) 所示)，可以使系統迅速地將溫度降低至低溫區域。此外，在密度矩陣乘積算符進行壓縮、截斷時，XTRG 方法應用變分優化的策略，使計算復雜度保證在O(D4)的量級[28]。由于單次XTRG 演化所得到的溫度點較為稀疏，作者通過引入平移系數z ∈[0,1) 來改變初始的τ →2zτ，多任務并行得到交替(Interleaved)的計算數據，有效提高了數據的溫度分辨率[28]。

圖2.(a) 有限溫度多體計算中的線性和對數溫度標度。(b)XTRG 演化的具體步驟：將溫度為β = 2nτ 處的密度矩陣ρn 與自身相乘得到下一溫度點的密度矩陣ρn+1。其中，豎線表示物理空間指標，橫線表示幾何或鍵空間指標。箭頭流入(流出) 方向標記狄拉克右(左) 矢態空間。(引自文獻[28] 圖2)

最后，雖然XTRG 通過指數降溫減小了累積誤差，但與LTRG 一樣仍不可避免存在截斷誤差隨溫度下降不斷累積的問題。為了進一步提高計算精度，在最近的工作中，作者與合作者針對具體的溫度優化系統自由能，借鑒機器學習中的自動微分編程思想，成功實現了溫度方向的掃描，稱為可微張量重正化群(?TRG)[31]，較XTRG 相比進一步改善了計算精度。

上述各類算法從多體計算角度為研究兩維量子自旋系統打開了大門，作者期待這類多體模擬算法可以與其它領域交叉、融合，不斷提高計算精度與效率，完善量子多體系統的“武器庫”，用以研究阻挫磁性等強關聯物理的重要前沿問題。

C.正方晶格海森堡模型的有限溫度張量重正化群計算

在介紹具體阻挫量子磁體及其材料體系研究之前，作者首先介紹指數張量重正化群方法XTRG 在正方[30]和三角晶格海森堡模型熱力學性質研究中的應用[29]，以此展示有限溫度張量方法在加深人們對量子磁性模型理解方面的作用。

在圖3 中，作者固定系統尺寸為OSL×L(其中L從4 增大到10)，利用低溫下布里淵區中M 點的結構因子計算出了正方晶格反鐵磁海森堡模型的自發磁矩作者展示出自發磁矩對溫度的依賴關系，發現不同尺寸下的曲線會在溫度T?0.1處趨于定值，大小隨溫度降低而收斂。在圖3 的插圖中，作者將這些定值的平方m2(L) 對1/L進行二次型外推[49]，得到自發磁矩m* ?0.30(1)，與QMC 計算所得結果m ?0.307 0(2)[49]十分相符。

圖3.正方晶格海森堡模型的磁矩曲線(D* 是保留的多重態數目)，其中系統尺寸固定為OS L×L，L ≤10(兩個方向均為開邊界)。插圖展示了溫度為T = 0.1 時的m2(L) 的值及其二次型擬合結果(圖中灰色區域中的小尺寸結果沒有被采用)。(引自文獻[30] 圖8)

除此之外，作者也對正方晶格橫場伊辛模型進行了研究，采用XTRG 算法精確確定相變溫度Tc。根據有限尺寸標度(Finite-Size Scaling, FSS) 理論，高階矩可以用于有效地確定相變溫度，如賓德爾比率(Binder Ratio)U4，其受有限尺寸效應的影響較小，不同系統尺寸下的U4值會在相變溫度Tc處相交。在XTRG 方法中，高階矩如U4等也便于計算：因為總自旋算符Sztot可以被寫作鍵維度D= 2 的簡單的MPO 形式，由此可以方便的構造出(Sztot)2(D=3)和(Sztot)4(D=5)的MPO 表示。在圖4 中，作者利用XTRG 及QMC 方法計算了磁有序相里正方晶格橫場伊辛模型的賓德爾比率，發現兩種方法得到的結果完全吻合。通過把寬度為W+1 及W的兩條曲線交點處的溫度記為臨界溫度T*c(W)，并對1/W2→0 進行外推，得到臨界溫度T*c?0.421 2，其與熱力學極限下的結果[23]相對誤差小于0.6 %。

圖4.正方晶格橫場伊辛模型在hx = hc(hc 為模型磁有序–無序量子相變的臨界場) 時的賓德爾比率曲線，系統尺寸為YC W ×2W(沿著寬度方向周期邊界條件、長度方向開邊界條件的系統) 。左側插圖是對臨界溫度 處結果的放大；右側插圖是相變溫度 對1/W2 →0 的二階多項式擬合。(引自文獻[30] 圖12)

D.阻挫三角格子海森堡模型的有限溫度張量重正化群計算

三角晶格海森堡(TLH) 模型是最典型的阻挫量子自旋系統之一。自從1973 年P.Anderson 在三角晶格上提出著名的共振價鍵態(RVB) 理論后[7]，TLH 模型的基態是RVB 自旋液體，還是半經典的磁有序相，成為人們長期熱烈討論的問題[50–57]。目前人們廣泛認為TLH 模型的基態是非共線的120°序，自發磁矩m ?0.205[53,54]。然而，在研究其有限溫度性質時，人們卻發現了一些反常：TLH 系統直至很低溫度都沒有進入人們預期的初期磁有序(Incipient Spin Order)區[58]，甚至一些研究表明從有限溫度外推到零溫得到了磁無序基態[56]。這些看似矛盾的結論，其癥結在于大尺寸磁阻挫系統低溫性質精確計算方法的缺失。

作者利用所發展的XTRG 方法開展了三角晶格反鐵磁海森堡模型熱力學性質的研究。在圖5(a)中，作者發現比熱容展現出雙峰結構：即在高溫溫度尺度Th?0.55J處(J是最近鄰反鐵磁耦合系數)，比熱容會呈現出圓峰；而在低溫尺度Tl?0.2J處，比熱容還會展現出另一個峰/肩膀。隨著尺寸增大，作者觀察到低溫峰的高度會逐漸降低，但特征溫度Tl十分穩定，并不隨系統寬度W的變化而移動。

在圖5(a) 中，作者還給出了新近合成的三角晶格材料Ba8CoNb6O24(BCNO) 的實驗測量結果[59,60]，并進行對照。BCNO 是一類鈣鈦礦材料，其中的Co2+離子在二維平面形成自旋1/2 的三角晶格結構，常規熱力學及核磁共振譜學探測在溫度降至0.06-0.1 K 時，都沒有探測到長程磁有序及自旋的各向異性，此前研究認為BCNO 材料實現了三角晶格上各向同性的海森堡模型[59,60]。在圖5(a)中，作者將計算結果與BCNO 的實驗數據進行對比，按照實驗能標，將相互作用J值定為1.66 K 左右，發現在T?Th時，XTRG、TPO、高溫級數展開(High-Temperature Series Expansion, HTSE)[61]，和Padé 近似[60]得到的結果都與實驗符合得很好，并且可以重復出比熱容在高溫特征溫度Th處的圓峰行為。值得指出，由于XTRG 可以精確計算系統到比其他方法更低的溫度，并得到比熱容的低溫特征溫度Tl，與實驗觀察到的行為非常一致，從而確認了三角晶格海森堡模型的雙溫標行為。這一結論也被最近的三角晶格阻挫磁體實驗[62]和其他有限溫度計算研究[63]所支持。

基于上述熱力學計算結果，作者提出TLH 模型中存在雙溫度尺度現象，其有限溫度相圖如圖5(b) 所示。在溫度T ＜Tl時，作者在左側部分畫出了初期120°序；在溫度T ＞Th時，作者在右側部分畫出了高溫順磁自旋構型示意圖；而當溫度居于兩尺度之間時，作者發現一中間區域，且只通過基態的120°序及K 點附近磁振子激發，并不足以描述該模型中的雙溫標特征。在文獻[64,65]中，研究者們提出TLH 模型中還存在另一項有能隙的激發，其平方型色散圖景和He4超流體系中的渦旋型激發十分相像，因此人們將其稱為“類旋子激發”(Roton-like Excitations, RLEs)。人們利用中子散射實驗[66,67]，也在一些三角晶格量子反鐵磁材料中觀察到了RLEs 激發。結合中間溫度區間的手征關聯〈χiχj〉β的反常增強(其中手征算符χ ≡23·[Sa ·(Sb × Sc)]，(a,b,c) 分別表示同一個三角形的三個格點)，作者提出正是RLEs 激發導致了TLH 系統的雙溫標現象[29]。

圖5.(a) 采用不同數值計算方法與兩個獨立實驗比熱容cV測量結果的直接對照[59,60]。在XTRG 計算中，系統尺寸采用YC 及OS 兩種，張量乘積算符(TPO) 算法計算了無窮大系統的結果，其中HTSE 和Padé 近似的結果來自文獻[60,61]。(b) 三角晶格示意圖，左、中、右分別表示低、中間及高溫區域，以溫度尺度Tl 和Th 隔開。圖中的黑色粗線表示XTRG算法采用的“蛇形”準一維映射路徑。在中間溫區，順時針朝向的圓形標記表示手征關聯的反常增強。(改編自文獻[29] 圖1 與圖2)

上述研究結果表明，XTRG 方法在模擬二維格點系統的有限溫度性質時是精確且高效的。相比基態DMRG 方法，有限溫度XTRG 可以研究各種序之間的競爭、探討系統在降溫過程中如何演化到基態，且在一定的溫度窗口中受有限尺寸效應影響較小。此外，基態DMRG 研究的是個別態(基態和若干低能激發態) 的性質，而XTRG 計算有限溫度性質將態密度的信息也自然地包括進去了，更集中反映了相的性質。最后，XTRG可以計算比熱容、磁化率等熱力學測量數據，與實驗有更為豐富的聯系。在下一節中，作者將XTRG 方法應用于實際阻挫量子自旋系統與材料的研究中，對其中的量子物相展開深入探討。

III.三角晶格阻挫磁體及BEREZINSKII -KOSTERLITZ - THOULESS 相變

近年來，在探索三角晶格自旋液體態與其候選材料時，人們對稀土磁體 YbMgGaO4及其中可能的自旋液體態產生了濃厚的研究興趣[68–73]。人們發現，YbMgGaO4在溫度降低至30 mK 時都沒有形成長程磁序[71]，而這一溫度較之所估計的反鐵磁相互作用能標4 K[68,69]相差兩個量級；同時，中子散射探測到了連續譜形式[71,73]，表明YbMgGaO4展現出了自旋液體的特征。然而，該材料中的Mg2+、Ga3+存在占位無序[74]，一些研究也指出自旋液體特征或許為無序效應的反映[75,76]。

最近，人們將YbMgGaO4中的Yb3+替換為Tm3+離子，制備得到TmMgGaO4(TMGO) 單晶樣品[77–79]。通過低溫中子散射實驗，人們觀察到TMGO 的基態是磁有序的而非自旋液體。作者及合作者利用XTRG 等方法，揭示TMGO 的精確微觀模型，探討了該阻挫磁性材料中的演生U(1) 對稱與BKT 拓撲相變。

根據Mermin-Wagner 定理，具有連續對稱性的二維相互作用體系，自發對稱性破缺會在有限溫度被恢復[80]，因而這類系統中不會發生有限溫度相變。然而，若系統存在具有非平庸拓撲特征的渦旋激發，則可以經歷從有準長程序相到高溫無序相的相變[3,81]。即在低溫時，渦旋與反渦旋兩兩配對，被束縛在一起，不易被散射，故體系不存在耗散，展現出超流特性，關聯函數代數衰減；而在高溫區域，由于熱漲落很強，渦旋對會解束縛而形成自由運動的孤立渦旋，容易受到散射改變位形并導致耗散，此時系統不具有長程相位有序，關聯函數指數衰減。如圖6 所示，在溫度為TBKT處系統發生從低溫準長程序到高溫無序的相變，這一相變不是由對稱破缺驅動的，而是由渦旋–反渦旋對的束縛與解束縛而驅動的，是為BKT 拓撲相變。值得注意的是，BKT相變不僅僅可以在顯式具有XY (或U(1)) 對稱性的模型中出現，在阻挫自旋模型中存在演生U(1) 對稱性時，同樣也可以出現BKT 相變。

圖6.二維XY 模型當溫度升高至TBKT =πJ/2KB (J 為自旋耦合強度) 時，由于系統中渦旋–反渦旋對解耦，發散渦旋數目激增，驅動BKT 拓撲相變。G(r) 為自旋關聯函數隨距離r 的關系，η 為冪率指數，ξ 為關聯長度。

A.阻挫伊辛磁體TmMgGaO4 的微觀自旋模型

TMGO 晶體中的稀土離子Tm3+處于氧的八面體晶體場中，存在兩個近簡并的基態能級(構成非克拉默雙重態)，因此每個Tm3+可以視為有效自旋1/2。同時，第一性原理計算表明O2-離子的2p 電子會形成超交換軌道，使得Tm3+離子的4f12電子在層內產生耦合，在二維平面形成三角晶格結構(如圖7(a)所示)，且層間耦合十分微弱。

最初人們認為TMGO 材料可以被三角晶格經典伊辛模型所描述；隨后，非彈性中子散射(INS) 實驗的結果揭示出系統存在十分清晰的自旋波激發譜[79]，表明系統存在與伊辛耦合不對易的相互作用項，為量子伊辛磁體。進一步的分析指出，由于Tm3+離子總角動量J= 6，不滿足克拉默定理，因此晶體場的最低準雙重態|Φ±〉間應存在一個小的能級劈裂Δ，可以理解為內秉的橫場項[82]。由此，TMGO 反鐵磁體的有效哈密頓量可以寫為[79]：

圖7.(a) 晶格結構及部分電子密度ρe 的側視圖，其中兩層Tm3+ 之間的ρe 比處于超交換軌道間的ρe 要低2-3 個數量級，顯示出很好的二維磁性。(b) 處于三角晶格格點位置處的Tm3+ 離子，會在氧離子所形成的八面體晶體場中發生能級劈裂，對應的兩個非克拉默簡并的最低能級|Φ±〉 間有大小為Δ 的能隙，其低能有效模型為三角晶格上的自旋1/2 模型(J1 和J2 分別為最近鄰和次近鄰相互作用)。在低溫“鐘態”反鐵磁序中，作者畫出了其自旋指向的示意圖，其中豎直方向表示材料的各向異性易軸c 軸方向，朝上或朝下的暗黃色箭頭表示自旋向上或自旋向下，水平箭頭表示自旋朝上和朝下的疊加態| →〉。(改編自文獻[45] 圖1 及其附錄圖1)

其中，〈,〉(〈〈,〉〉)表示最近鄰(次近鄰)相互作用J1(J2)，Δ為|Φ±〉間的能級劈裂(即內稟橫場)，h為沿c軸的外加磁場項(如圖7(b) 所示)。g‖=2JgJ(J=6) 是有效自旋1/2 的g因子，其中gJ為朗德因子。

基于式(4) 中的三角量子伊辛哈密頓量，作者采用XTRG 計算了比熱容、熱力學熵、磁化率、磁化曲線等磁熱力學量并調節參數與實驗進行了定量擬合[78,79]，確定采用同一套參數(J1= 0.99 meV，J2= 0.05J1，Δ=0.54J1，g‖ ?13.2)，可以同時精確擬合上述多個實驗測量結果。在圖8(a) 中，當溫度較高(T ＞30 K) 時，熱力學熵Sm十分接近Rln2，對應有效自旋1/2 系統的高溫順磁相；當溫度降低時，Sm逐漸減小，系統形成低溫反鐵磁序(如圖7(b) 所示)[79]。在圖8(b,c) 中，模型計算可以定量復現比熱容曲線cm(包括圓峰結構的位置與高度等) 以及磁化率曲線的兩次上升。在相當寬的溫度區間(從30-100 K 降溫到1 K)，模型計算曲線都與實驗結果高度吻合，因此可以從熱力學測量上反推確定TMGO 磁體的微觀自旋模型為三角橫場伊辛模型。

為了驗證這一模型的精確性和有效性，作者開展中間溫度(2 K) 和極低溫(40-60 mK) 的磁化曲線M(h)計算，將XTRG 多體計算結果與實驗曲線進行對比(此時不再對模型參數做調整)。結果如圖8(d) 所示，作者觀察到磁化曲線高度吻合。值得注意的是，實驗上觀察到磁化曲線在20-25 kOe 處會發生行為的變化，這一變化隨著溫度T的降低而愈發明顯(見圖8(d) 的插圖)，表明在2.5 T 左右存在磁場誘導的量子相變，后續模型計算也證實了這一點[83]。

TMGO 晶體中子譜學探測的結果也可以通過該微觀模型(式(4)所示)加以定量解釋。通過QMC-SAC 方法[84–88]計算得到動力學結構因子S(q,ω)，作者發現所得結果與非彈性中子散射的測量結果[79]完美符合，如圖9 所示。特別是計算結果表明系統在M 點打開了約為0.4 meV 的能隙，也與文獻[79]中的實驗報道結果定量符合。綜上，通過熱力學與動力學結果的多體計算與分析，作者確定了阻挫量子伊辛磁體TMGO 的精確微觀模型及相互作用參數，為討論其中的新奇物態與相變提供了堅實的基礎。

B.贗自旋映射與演生U(1) 對稱性

BKT 相變是由U(1) 相位場中的渦旋激發所驅動的無窮階拓撲相變，對于此處的TMGO 三角晶格伊辛系統，哈密頓量(式(4) 所示) 中并不直接具有這樣的對稱性，但其可以在系統中自發地涌現出來。這一發現最早是由Moessner 等人在阻挫三角晶格量子伊辛模型的研究中所提出的，即量子臨界點存在演生U(1) 并在有限溫度擴展到一中間相[6]。具體地說，在三角晶格自旋模型中引入如下贗自旋映射，即

圖8.熱力學多體計算數據與實驗結果[77-79] 的擬合情況。(a) 磁場h=0 及5 kOe 處的熱力學熵曲線[78,79]，(b) 零場比熱容數據，(c) 磁化率，(d) 中間溫度及低溫下的磁化曲線。(改編自文獻[45] 圖2)

其中ψ=meiθ為一復數序參量[89]，幅值為m，相角為θ；A、B、C 標記晶格的三個子格。如圖10 所示，對于每一種磁構型，人們均可以計算出每一個三角形對應的ψ，并將其標記在三角形中心，幅角場θ即構成BKT物理相關的相位場。

通過式(5) 的映射關系，人們建立起了三角晶格橫場伊辛模型的LGW 理論，相應的有效哈密頓量為[90]

圖9.溫度為T = 0.5 K 時，根據正文所述模型參數，利用QMC-SAC 方法計算得到的能譜，計算結果與文獻[79] 中的非彈性中子散射結果(圖中的綠色點線) 一致。(引自文獻[45]圖4)

當橫場項在量子相變點左側時(如圖10(c) 所示)，在低溫下序參量的幅值m和系數v6都是有限值[89]，因此有效哈密頓量依賴于v6m6cos(6θ) 項，系統具有分立對稱性。由于“無序生有序”(order by disorder)效應，此時系統的基態為六重簡并的三子格反鐵磁序，在贗自旋復平面上構成同一圓上的六個對稱點(如圖10(a) 中的紅色圓點)[89]，對應幅角θ=(2n+1)π/6(其中n=0、1、2···5)，贗自旋自發破缺六重對稱性，如圖10(b) 所示，因此也被稱為六態鐘有序(6-state clock order)。鐘態模型實際上為一種分立形式的XY 模型，隨著升高溫度，六態鐘有序反鐵磁相會經歷兩步“融化”，均為BKT類型。在兩次相變中間，各向異性項(即公式(6) 中的cos(6θ)項)為高階無關微擾，有效哈密頓量只依賴于幅值m，系統由此具有演生U(1) 對稱性[6,91]。

綜上，按照所確定的微觀模型，作者預言TMGO材料在降溫過程中會涌現出哈密頓量中原本不具備的U(1)對稱性，并經歷兩次BKT 拓撲相變最終進入鐘態有序。由于BKT 相變的特點，這一磁有序的產生并不伴隨有比熱容或磁化率的發散峰，從實驗上探測TMGO中的BKT 相變需要其他手段。

C.低溫熱力學及譜學實驗證實

核磁共振實驗可以非常靈敏的探測低能自旋漲落[92–95]。在圖11中，作者與合作者開展TMGO 晶體中的自旋–晶格弛豫率1/T1測量，借以考察理論預言的BKT 相變。作者展示了面內磁場μ0H=1 T 及3 T 時1/69T1隨溫度的變化，如圖11(a) 所示，反映出材料的本征自旋漲落。系統從10 K 開始降溫時，1/69T1隨溫度下降而減小，但是當降溫至1.9 K 時反常增大，表明此時系統中有很強的低能自旋漲落；當溫度Tl?0.9 K時，1/69T1的值會迅速減小，此時系統主要被有序相中的有能隙的長波激發所主導，這與從超精細位移結果中推測出的長程磁有序建立的溫度是一致的[96]。通常而言，在相變點處，由于關聯長度發散，系統中會有大量無能隙的低能自旋漲落，因此1/T1會出現峰值。而作者注意到，當溫度處于1.9 和0.9 K 之間時，1/69T1會展現出類似平臺的結構，表明在中間溫區中，系統會進入到一個擁有很強漲落的中間相，該相中自旋關聯是發散的，卻沒有建立起真正的長程序，這與BKT 相的特點相符合。在圖11(b)中，作者發現應用QMC-SAC 方法計算得到的TMGO 模型的1/T1與實驗測量結果十分一致，兩個特征溫度及中間溫區準平臺形狀的特征與實驗曲線高度符合。

圖10.(a) 三角晶格磁有序態及其復平面贗自旋序參量對應(式(5))。所得復數序參量ψ 在圖中用面內旋轉的箭頭來表示其幅角。(b) 贗自旋映射下的“鐘態”反鐵磁序示意圖，紅色格點表示自旋向上(mz = 1/2)，藍色格點表示自旋向下(mz =-1/2)，灰色格點表示疊加態|→〉(mz =0)。(c) 三角晶格橫場伊辛模型的有限溫度相圖(示意圖)。

從TMGO 磁化率測量的標度行為上，也能觀察到BKT 相變的證據。在圖12 中，作者展示了面外磁場下的微分磁化率dM/dH的曲線。場論分析表明三角晶格反鐵磁量子伊辛系統在處于BKT 相時，磁化率會呈現出反常的普適發散行為：χ(h)=h-α，其中且當溫度T=Tl, 對應χ(h)～h-2/3，磁化率會隨著磁場趨近于零而逐漸發散；當溫度等于Th，對應磁化率隨磁場變化始終為一定值。據此，在圖12(a) 中，作者對不同溫度下的dM/dH的數據進行了代數擬合，發現當溫度為0.8 K 以下時，α的值非常接近理論上限2/3(即η=1/9)；當溫度升至3 K 及以上時，α會減小到接近于零(η=2/9)。基于上文提到的TMGO 有效模型，作者也利用QMC 方法計算了相應溫度下的磁化率數據，并將其展示在圖12(b) 中，與實驗結果進行對比。當溫度小于等于0.8 K 時，擬合得到的α ?2/3，與實驗結果十分一致。通過觀察到普適的磁化率代數發散行為，作者提供了材料中存在BKT 相變的另一重要證據。

最近，佐治亞理工大學等聯合實驗團隊設計了中子散射實驗[99]，驗證了TMGO 在有限溫度上存在BKT相變，并通過確定TMGO 模型中的首要項，支持了上述有效模型的正確性；在文獻[82,83,100]中，人們討論了面外場下的有限溫度相圖；在文獻[78,99]中，研究者們討論了材料中由于Mg/Ga 占位無序帶來的隨機內稟橫場效應等。因此，關于TMGO 材料中的新奇量子磁性物態與相變等更多問題仍然值得后續深入探討。

IV.六角晶格KITAEV 阻挫磁體及高場自旋液體相

六角晶格Kitaev 模型提供了人們認識自旋液體態的嚴格可解范例[11]。在Kitaev 自旋液體態中，自旋激發會分數化為巡游及局域的馬約拉納費米子激發，是研究自旋液體的典型系統[11,101]。如果引入破缺時間反演對稱性的微擾(如磁場) 項，系統會進入到有能隙的手征自旋液體相，存在非阿貝爾任意子激發，在拓撲量子計算[11,102]等領域有潛在的應用前景。

最近的研究進展表明，Kitaev 阻挫自旋模型可以在若干候選材料體系中被實現，一些代表性的磁性材料包括α-RuCl3[103–107]，銥氧化物Na2IrO3[103,105,108–111]和Li2IrO3[111–115]等，其中的4d 或5d 電子能級在晶體場中發生劈裂，并在自旋–軌道耦合作用下帶來有效角動量jeff=1/2。根據2009 年Jackeli 和Khaliullin 所提出的機制[103]，由于自旋軌道耦合和特殊的鍵角關系，這類材料有效自旋之間的海森堡相互作用被抑制，可能實現Kitaev 相互作用主導的量子磁性系統。

圖11.(a) 在面內磁場為3 T 及1 T 時，核磁共振測量得到的自旋–晶格弛豫率1/69T1。(b) 通過動力學自旋關聯函數計算得到的1/T1。其中紅色曲線和灰色曲線分別為考慮所有動量點的貢獻及只考慮K 點附近的動量點的貢獻時的計算結果。(引自文獻[96]圖2)

圖12.TmMgGaO4 的磁化率及標度行為分析。(a) 實驗測得的dM/dH 結果，(b) 微觀自旋模型計算結果。通過代數擬合dM/dH ～H-α，作者得到理論預期的BKT 相變臨界指數。

A.六角晶格Kitaev 模型

2006 年，Kitaev 提出六角晶格嚴格可解的自旋液體模型[11]，這一模型(后文簡稱為Kitaev 模型) 的哈密頓量為

其中〈i,j〉γ表示最近鄰γ=(x、y、z) 類型的鍵上的相互作用，并對所有最近鄰鍵求和。由于每一個格點的自旋與其最近鄰γ= (x, y, z) 的自旋存在不同方向的伊辛型相互作用Kγ，如圖13(a) 所示，系統中會存在很強的自旋阻挫，并導致系統在基態進入Kitaev 自旋液體態。

圖13.(a) 六角晶格上的Kitaev 模型，其中(x, y, z) 表示三種伊辛類型的相互作用鍵，分別用藍、綠、紅色表示；馬約拉納費米子算符如黑色及黃色圓點所示(bzi、bzj、ci、cj 等)；自旋算符如灰色三角形所示；局域的z 類型的鍵算符uij 如深紅色粗線段所示。(b) 巡游的c 及局域的bγ 馬約拉納費米子的色散關系。此處展示的是Kitaev 相互作用Kx =Ky =Kz的情況。

在 Kitaev 模型中，自旋自由度可以被分數化的馬約拉納費米子 (電中性，反粒子為其本身) 所有效表示，即將自旋來替換，如圖 13(a)所示。這里和cj表示四種馬約拉納模式，并且滿足約束條件因此哈密頓量可以寫為其中的局域鍵算符與哈密頓量是對易的，且滿足這樣的鍵算符uij繞著六邊形乘在一起構成Wp(其中i、j、k、l、m、n標記一個六邊形p的六個頂點，見圖14(d)插圖)，并與哈密頓量對易，是本征值為±1 的Z2規范通量。因此，Kitaev模型可以被無窮多個局域的守恒量所刻畫，其基態為一種Z2量子自旋液體，也被稱為Kitaev 自旋液體(Kitaev spin liquid, KSL)。除基態性質之外，Kitaev 模型的有限溫度性質也可以通過馬約拉納表象下的蒙特卡洛方法進行計算[116–118]，人們發現系統存在熱分數化(thermal fractionalization) 等新奇現象[116–120]。

目前人們認為，已有的典型 Kitaev 候選材料(如Na2IrO3及α-RuCl3) 中存在除Kitaev 相互作用(Kγ)[105,121–125]之外的Γ項[126,127]與海森堡相互作用J[121,128]，這些項也可能起到了重要的作用。然而，包含這樣的非Kitaev 相互作用及磁場項[107,129]的擴展Kitaev 模型無法進行解析求解，且適用于原始Kitaev 模型的蒙特卡洛方法也會遇到“負符號問題”無法開展大尺寸和低溫計算[124]。因此，在這樣的擴展Kitaev 模型中，是否存在自旋液體相，其有限溫度上是否還存在自旋的分數化，對實際Kitaev 材料研究有何啟示，都是值得探討的重要問題。

B.有限磁場下的Kitaev 模型與分數液體

指數張量重正化群XTRG 方法可以對阻挫Kitaev自旋模型開展精確多體計算研究。在圖14 中，作者首先展示零磁場下的Kitaev 模型的比熱容cV，熱力學熵S/ln 2，和規范通量Wp的結果，并與此前的大尺寸量子蒙特卡羅計算結果進行直接對比[131]，揭示了有限溫度上的雙溫度尺度行為(如圖14 中的豎直虛線所示)。當系統溫度降低時，Kitaev 模型在有限溫度上會歷經高溫順磁相、中間溫區分數液體相和低溫自旋液體相，這樣的三個相被兩個溫度尺度TL和TH隔開。在圖14(a)中，比熱容在雙溫度尺度處呈現峰值；而熵在兩溫度尺度附近快速下降，分別釋放掉的磁熵，并在中間溫區——分數液體相中—— 展現出熵的分數準平臺結構(如圖14(b) 所示)；在圖14(c) 和(d) 中，作者進一步展示了鍵自旋關聯和規范通量Wp觀測值分別在高溫溫度尺度(TH)和低溫溫度尺度(TL)附近建立起來。這一圖像說明巡游馬約拉納自由度和Z2規范自由度各自攜帶了一半的熵，在不同的溫度釋放出來，發生了熱分數化[131]。由于Kitaev 模型的高溫(TH) 和低溫溫度尺度(TL) 相差較大，需要計算到極低溫性質才能觀察到TL附近的行為，作者新近發展的有限溫度XTRG 方法具有獨特的效率和精度優勢。

以下考慮外磁場中的 Kitaev 模型，其哈密頓量

為了刻畫中間分數液體的磁學性質，作者對均勻磁化率χ進行計算，發現其在中間溫區展現出演生的居里行為，結果如圖16 所示。這一普適行為有別于高溫居里定律，是Kitaev 相互作用和規范場的漲落帶來的演生居里行為，并延伸到整個分數液體區間，溫區橫跨一個數量級(T從約0.03 到約0.3)。在中間溫區，演生的居里常數C′ ≈1/3，與高溫順磁居里行為存在顯著不同(高溫區的居里常數C=S(S+1)/3=1/4，其中S=1/2)，表明自旋關聯已被建立并“重正化”了有效磁矩。

為了分析中間溫區演生居里規律的起源，作者利用久保公式 (Kubo Formula)，并考慮有限溫度分數液體相中不存在自發磁矩，將磁化率寫為χ=

隨后，利用萊曼譜表示對自旋關聯進行展開，即

其中表示通量被翻轉后的{W′P}構型中的n′態。假定激發能量Δn,{WP};n′,{W′P}主要由通量之間的激發能隙決定，則Δn,{WP};n′,{W′P}=因此，衰減因子e-τΔn,{WP};n′,{W′P} ?1，表明在中間溫區中實質上與τ無關。因此，當T?TL時，磁化率可以簡化為傳統的表達式

圖14.六角晶格Kitaev 模型的有限溫度性質計算結果，其中圓點表示邊長為20 的環形面系統上的量子蒙特卡洛結果，實線和虛線表示XTRG 計算結果。(a)、(b)、(c)、(d) 分別為比熱容曲線、熵曲線、z 類型鍵上的最近鄰自旋關聯〈Szi Szj〉 和通量Wp的計算結果。(改編自文獻[130] 圖10)

圖15.有限磁場Kitaev 模型的等熵線(S/ln 2)，圖中展示了兩個溫度尺度及中間溫區的分數液體相。(改編自文獻[130] 圖3)

由于在分數液體中，系統只有極短程關聯，此處的j只能取與格點i0以dz鍵相連的自旋；同時，由于關聯值在中間溫度展現出準平臺特征，即近乎于一個常數(見圖14(c) 所示)，因此在TL和TH之間磁化率χ ～1/T，呈現演生的居里行為。另一方面，在T?TL時的KSL 相中，盡管關聯仍然是極短程的，激發能量仍會導致一與τ有關的指數抑制因子存在。故而在溫度TL以下，磁化率不再按照演生居里定律發散。

因此，在中間溫區分數液體中，作者發現對于擴展Kitaev 模型仍然可以觀察到磁化率的演生居里行為，這個普適行為直至系統降至更低溫、建立起有限的通量能隙或自旋長程關聯時才會終止，是Kitaev 模型及其擴展系統在有限溫度的重要普適磁學特征。上述結果表明，對系統中的演生居里磁化率行為進行分析，也可以作為材料中是否存在Kitaev 相互作用的實驗可測證據。更多其他擴展Kitaev 模型如Kitaev-Gamma、Kitaev-Heisenberg 等的結果請詳見作者的最近工作[130]。

圖16.不同磁場h 下的磁化率χ，其倒數1/χ 見插圖。高溫磁化率的行為符合居里–外斯定律1/(4T -J)，而當溫度低于T ?TH 時，磁化率存在演生居里定律行為。在高溫和中間溫區的不同居里行為分別如圖中紅色和藍色虛線所示。(引自文獻[130]圖5)

C.Kitaev 候選材料α-RuCl3

實驗上，人們觀察到Kitaev 自旋液體候選材料α-RuCl3等在低溫下(約為7 K 以下) 形成了“之字形”反鐵磁序[122,135,138]，而非量子自旋液體，表明材料中還存在非Kitaev 類型的相互作用。進一步地，人們通過外加磁場，發現這一低溫反鐵磁序可以被7-8 T 左右的面內磁場所抑制[139–141]；有限溫度熱力學及非彈性中子散射(INS) 測量到的非平庸的激發譜，也指出α-RuCl3中可能存在分數化激發，并稱其為鄰近自旋液體態(Proximate Spin Liquid State)[122,135,142]。除此之外，其他的探測手段，如核磁共振(NMR)[140,143,144]、拉曼散射[145]、電子自旋共振[146]、太赫茲譜學[147,148]，以及磁扭矩[149,150]實驗等，也都從各個方面討論了α-RuCl3中存在Kitaev 自旋液體態的可能性。在低溫下人們還在α-RuCl3的一定磁場區間內，觀察到了熱霍爾效應的信號[151–156]，推斷該材料在此低溫磁場區間內，存在演生的馬約拉納分數化激發。

雖然α-RuCl3的相關實驗研究積累了大量的實驗數據和現象，但人們十分關心的若干科學問題仍未達成共識，例如α-RuCl3的有效自旋哈密頓量是什么？外加磁場抑制低溫反鐵磁序后，系統進入何種磁無序相？是否可以通過磁場調控手段在α-RuCl3中尋找到奇特的量子自旋液體？帶著這些問題，作者采用張量網絡態方法對α-RuCl3材料開展了多體計算研究。

D. α-RuCl3 微觀自旋模型

針對α-RuCl3，此前人們提出了多個候選模型[121,123,127,142,157–164]，這些自旋模型主要是從密度泛函計算中得出(部分是從分析包括中子散射等譜學實驗數據得到)，其中不同相互作用項的大小，甚至符號都暫無定論。目前，人們尚未能實現通過同一套模型參數定量復現出主要的熱力學和譜學實驗結果[165]，這嚴重阻礙了人們對α-RuCl3中量子自旋物態的深入理解和精確調控。

下面作者運用有限溫度XTRG 方法[28,30]分析α-RuCl3的熱力學測量數據，并結合其他多種多體手段，綜合分析并研究其中的磁性物態。考慮六角晶格上的Kitaev-Heisenberg-Γ-Γ′(K-J-Γ-Γ′) 模型，其哈密頓量為

其中K表示Kitaev 相互作用，J表示海森堡相互作用，Γ和Γ′標記非對角項。該模型的空間群為D3d×ZT2，其中群符號={E,T}表示模型具有時間反演對稱性。由于自旋–軌道耦合效應，D3d中的每一個元素都對應晶格轉動與自旋旋轉的一種組合，因此對模型的一部分物理性質提出了限制，例如朗德因子g和磁化率應該是單軸的。

此外，為了討論磁場的影響，作者在哈密頓量中引入磁場項，并主要關注在以下兩個方向：(1) 平行于六角晶格平面的方向；(2) 垂直于六角晶格平面的H[111]‖ c*方向。上述兩方向相應的朗德因子分別為gab(=g[11ˉ2]) 和gc*(=g[111])，其中[l,m,n]表示自旋空間中的磁場對應的三個分量方向。因此，磁場與局域磁矩間的塞曼耦合就可以寫為其中S[l,m,n]≡S · dl,m,n。在上式中，S= (Sx,Sy,Sz)，dl,m,n=

作者采用有限溫度XTRG 算法[28,30]計算熱力學性質，發現計算得到的磁比熱cm曲線、兩個方向的磁化率χab和χc*曲線，都對Γ項很敏感；且有無Γ′(J)項，會很大程度上改變cm和χab的低溫性質。因此，通過擬合實驗上的磁比熱以及面內、垂直面方向的磁化率數據[122,132–137](相關擬合結果見圖17(a, b) 所示)，作者確定了一組參數，即K=-25 meV，Γ= 0.3|K|，Γ′=-0.02|K|，J= -0.1|K|，朗德因子gab= 2.5，gc=2.3，可以很好的擬合實驗結果，并成功地解釋實驗上觀察到的現象。

在作者所定出的模型中，鐵磁Kitaev 相互作用占主導地位，反鐵磁的Γ項次之，其符號與此前的實驗工作[125,127,157]和第一性原理計算[105,123,159,160,165]的研究結果是定性一致的。按照上文的討論，當Kitaev 相互作用項占主導作用時，系統會在中間溫度進入分數液體相(見上節IV.B)[130]，這可以自然地解釋實驗上觀察到的鄰近自旋液體行為特征[122,135,142]。在圖17(c) 中，作者利用從上述熱力學數據確定的K-J-Γ-Γ′模型開展DMRG 計算，所得零溫磁化曲線與低溫實驗測量結果也十分相符。

作者還通過對照動力學測量數據來證實微觀模型的有效性和精確性。圖17(d) 中應用精確對角化方法計算了兩個動量點Γ 和M 點處的散射強度，可以看到模型計算結果與實驗測量結果在定量上是一致的。散射強度的峰值位置[135]，即ωΓ= 2.69±0.11 meV 和ωM= 2.2±0.2 meV，以及實驗上看到的Γ 點亮度及雙峰結構[141]，都可以被模型成功地描述。此外，非彈性中子散射的實驗在低能及中間能量區間，測出了具有標志性的“星形”動力學結構因子[122,135]，而基于上述K-J-Γ-Γ′模型的動力學計算也可以給出這一重要特征。

圖17.基于所提出的K-J-Γ-Γ′ 模型，作者在尺寸為YC 4×L×2 的系統中計算了(a) 磁比熱cm 曲線[122,132,133]，(b) 面內及面外方向(1 T 左右) 的磁化率χab 和χc*，并與實驗結果[134-136] 進行對比。圖中的陰影區域表示長度L 分別為4 和6 時的有限尺寸差異。(c) DMRG 計算得到的面內及面外方向的磁化曲線M(H)，并與實驗結果[132,137] 進行對比。(d) 精確對角化方法計算的Γ 點和M 點的動力學結構因子，并與中子散射實驗數據I(k,ω) 進行了對比，此處系統尺寸固定為具有C3 對稱性的24 格點系統(見插圖)。在(e) 和(f) 中，作者將上述強度分別在[4.5, 7.5]meV 和[2, 3]meV 區間進行積分，得到相應的結構因子，與(g) 和(h) 中的實驗測量結果一致[135]。(引自文獻[46] 圖2，文獻[135] 圖2 及圖3)

具體地說，在圖17(e,f)中，作者將原子形狀因子考慮到模型計算中來，對相應能量區間的散射強度I(k,ω)進行積分，討論它們在不同動量點處的結構因子。實驗結果如圖17(h)所示，當系統處于低能量區間時[135]，動力學結構因子在Γ 點和M 點都有顯著亮度，圖案呈現花瓣形狀；而當系統處在中間能區時[122,135]，動力學結構因子會變得連續，呈現出六角星形結構(圖17(g))。由于此時星形結構的六個尖角位于M 點附近，這一特征也被稱為M 型星形結構[165]。在圖17(e, f) 中，作者對所確定的K-J-Γ-Γ′模型開展動力學性質計算，可以得到這兩種形狀特征的動力學結構因子。

E.場致量子相變與有限溫度–磁場相圖

Kitaev 自旋液體候選材料α-RuCl3在面內磁場下的相圖一直是眾多實驗和理論工作探討的重要問題。熱霍爾效應[151–156]、拉曼散射[145]、熱膨脹[166]測量等實驗支持在“之字形”反鐵磁和高場極化相中間存在一自旋液體相；而磁化曲線測量[132,137]、非彈性中子散射[141]、核磁共振[140,143,144]、電子自旋共振[146]、磁格林埃森參數[167]和磁扭矩[150]測量等實驗認為，當面內方向的磁場抑制住α-RuCl3材料中的低溫反鐵磁序后，從反鐵磁到高場極化相間只有一次相變(此外，由于面間堆疊效應[168]，在極化相前可能還會出現另一種“之字形”反鐵磁序)。因此，在本小節中作者利用前文確定的微觀自旋模型來研究α-RuCl3的磁場誘導效應，討論其是否存在中間相，并給出其基態及有限溫度相圖。

從圖18(a, c) 所示的比熱容cm/T和等熵線的輪廓圖中，作者識別出零場下的轉變溫度約為7 K，低溫下的轉變磁場約為7-8 T，與實驗結果一致。同時，在圖18(a,c) 中也可以看到，當系統處于反鐵磁相時，低溫溫度尺度Tl會隨著磁場增大而降低：在磁場不大時降低得較慢，臨近相變磁場處降低的較為迅速。當磁場方向從a軸偏轉55°時(即沿著H[110]對應的c′方向)，作者的模型也可以給出此時抑制“之字形”磁有序的臨界場hc[110]=μ0H[110]?10 T，這些計算結果均與實驗測量結果高度一致[132,140,143](圖18(b, d))。

綜上，基于所定出的α-RuCl3有效K-J-Γ-Γ′模型，應用XTRG、DMRG、VMC、ED 等多種多體計算方法，作者計算了面內磁場下的基態及有限溫度性質，確定α-RuCl3的有限磁場相圖。作者把結果總結在圖19(a, c)中，即當面內磁場H[11ˉ2]增加時，從反鐵磁到極化相之間，模型計算支持只存在一次量子相變且不存在中間自旋液體相。

另一方面，基于模型計算得到的有限溫度相圖(圖19(a)) 可以對解釋實驗上不同觀察之間的分歧提供幫助。實驗上，人們在溫度為4-6 K 時的中間磁場區域中，探測到了很強的熱霍爾效應信號[151,169]，但當磁場繼續變化或者溫度繼續降低到2 K 左右時，觀察不到量方向磁場下的比熱容輪廓圖，同時白色虛線描畫出了低溫溫度尺度Tl和Tl′。零溫軸上的紅色圓點表示在臨界磁場7 T 及10 T 時，系統發生了一次量子相變。在(c) 和(d) 中，作者展示了兩個磁場方向相對應的等熵線，發現在中間溫度分數液體相中，熱力學熵的大小約為(ln 2)/2。(引自文獻[46]圖4)子化霍爾信號[151,169]。結合模型計算得到的結果，作者認為這可能是由于在面內場驅動的相變點附近(中間磁場區間)，雖然基態不是自旋液體相，但是分數液體可以生存到相對較低的溫度。所觀測到的熱霍爾電導有可能來源于中間溫區分數液體相中的馬約拉納分數激發。

圖18.磁比熱cm/T 及等熵線的輪廓圖，其中ZZ 表示“之字形”反鐵磁相，PM 表示順磁相，FL 表示分數液體相，PL 表示極化相，相應的相變點用紅色圓點標記在橫軸上。在(a) 和(b) 中，作者分別展示了加面內方向 ‖ a 及面外H[110] ‖ c′

圖19.(a) 和(b) 面內磁場和垂直平面磁場中的有限溫度相圖。相應的相變點分別用紅色和藍色的圓點標記在橫軸上。(c) 和(d) 精確對角化(ED)、變分蒙特卡洛(VMC) 及DMRG 計算得到的基態相圖，其中相變點的位置與有限溫度結果一致。(引自文獻[46] 圖1)

正如作者在之前的章節中討論到的，理想的Kitaev模型存在熱分數化現象，巡游的馬約拉納費米子和Z2規范通量自由度在不同溫度尺度上各釋放一半的熱力學熵[117]，從而在中間溫區展現出Kitaev 分數液體相。這樣新奇的分數液體相在擴展Kitaev 模型中是存在的[130]，在作者所提出的實際描述α-RuCl3的模型中也仍舊穩定存在(圖19)，這很好地支持了此前的實驗結論[122]。

除此之外，作者也計算了面內磁場為μ0H[11ˉ2]=4.2 T 時分數液體區的靜態結構因子。在圖20(d-f) 中可以觀察到，除了Γ 點和M 點的亮斑，結構因子還展現出條紋狀背景，與理想Kitaev 模型中所觀察到的十分類似[130](圖20(a-c))，反映出分數液體相中有鍵方向依賴的極短程自旋-自旋關聯。這樣的條紋狀背景會隨著自旋分量γ的變換而在動量空間相應轉動，這是因為自旋關聯當且僅當位于最近鄰γ類型的鍵上時，才有非零值。基于上述理想(圖20(a-c))和實際模型(圖20(d-f))計算，作者指出可以通過對α-RuCl3進行極化中子漫散射實驗觀察如圖20 所示具有顯著條紋特征的自旋結構因子Sγγ(k)，從而驗證在該材料中Kitaev相互作用以及中間溫度分數液體的存在。

F.強磁場自旋液體態

接下來，作者改變磁場方向，研究系統在施加面外磁場H[111]‖ c*(即垂直六角晶格平面) 下的相變情況。根據基態及有限溫度計算結果，作者發現，當施加H[111]方向的磁場時，在低場“之字形”反鐵磁相和高場極化相之間，會存在一由面外場誘導的自旋液體相。隨后，作者與強磁場實驗工作者合作，在高場磁化率實驗中確實探測到了這一中間相存在的實驗證據。

作者首先計算了比熱容cm和Z2規范通量的有限溫度結果，其輪廓圖如圖21(a, b) 所示。在圖21(a) 中，作者發現當面外磁場處于35 至130 T 的中間相時，有限溫度下的比熱容呈現出雙峰結構，且峰值對應的溫度代表兩個溫度尺度，分別對應短程自旋關聯和規范通量的建立。在圖21(b) 中，作者計算了Z2規范通量Wp，發現其在低溫下，磁場為處，會從負值轉變為正值；在磁場為處，其值幾乎為零，并最終在極化場中趨于一個很小的正值。上述通量在不同區域之間的符號變化，與近期DMRG 及張量網絡在K-Γ-Γ′模型上的研究結果[171,172]十分一致，表明磁場和為兩相變場。值得注意的是，與理想Kitaev 模型中的通量相比，此時的通量Wp不再是嚴格守恒量，因此其低溫期望值|Wp|一般不等于1[130,171,173]。

此外，計算表明當面外磁場處于中間相時，系統在Th附近會釋放約為(ln 2)/2 的熱力學熵，在附近釋放另一半(熱分數化)；當溫度低于Th時，自旋關聯會被建立起來，磁化率曲線會展現出與Kitaev 模型的情況相似的演生的居里行為；隨著溫度繼續降低，系統中的通量逐漸被“凍結”。因此，從上述熱力學結果中，作者發現面外磁場與面內磁場情況截然不同，其中間磁場處會演生出另一個具有雙溫度標度、與原始Kitaev模型一樣升溫存在熱分數化的自旋液體相。根據上述結果，作者給出如圖19(b) 所示的有限溫度相圖。

為了精確的定出零溫下的兩個相變點，在圖21(c)中，作者應用DMRG 算法計算了c*方向的磁化曲線M(H[111]) 及其導數dM/dH[111]。根據DMRG 計算結果，作者發現此時磁化曲線M(H[111]) 會有兩次快速上升，對應磁化率dM/dH[111]展現出兩個尖峰結構，表明在面外磁場下存在兩次相變，這一結果也可以從圖21(d) 中展示的精確對角化計算得到的能譜中得到印證。根據DMRG、ED、VMC 等的計算結果，作者得到了如圖19(d) 所示的基態相圖。值得提及的是，從上述計算結果中，作者發現低相變場35 T，與近期各向異性系數的實驗[150]測得的結果高度一致；模擬所得到的高相變場hc2[111]在100 T 量級附近，可以通過脈沖強磁場實驗來進行驗證。

當面外磁場為45.5 T 時，作者在圖21(b) 的插圖中展示了中間溫度及基態的自旋結構因子從中作者發現在中間溫度及基態中結構因子都沒有展現出磁有序峰，且在其布里淵區中，均可以觀察到奇特的與鍵方向有依賴關系的自旋關聯特征(條紋狀背景)，這與“之字形”反鐵磁相中的自旋關聯有顯著不同，支持中間自旋液體相的結論。

最近，東京大學脈沖強磁場實驗室開展了100 特斯拉級低溫(4 K) 強場磁化率測量，發現α-RuCl3在35和90 T 兩處存在量子相變，提供了中間相存在的實驗證據[174]。為了研究這一中間量子自旋液體會如何隨著磁場方向的改變而變化，作者將實驗測量和理論計算的結果進行了對照得到了有限磁場–有限角度相圖，發現這一可能的量子自旋液體態會在相圖中延伸出一定區域，而其關聯和拓撲性質的更全面刻畫有待后續實驗和理論工作的進一步研究。

綜上所述，通過精確確定模型并開展多體計算與分析，作者預言在低溫溫度尺度以下、面外磁場范圍和之間，α-RuCl3材料會進入到中間磁場量子自旋液體相，并通過與強磁場實驗組合作找到了中間自旋液體相存在的證據。

圖20.(a～c) Kitaev 模型在中間溫度T = 0.15 時的靜態結構因子Sγγ(k) 輪廓圖，其中γ = x、y、z 分別表示自旋三個分量的方向。(d～f) α-RuCl3 有效模型在10.6 K，4.2 T 時對應的靜態結構因子，同樣能觀察到與鍵類型有關的條紋狀背景，其中M 點峰值源于此時的系統具有“之字形”反鐵磁關聯。(改編自文獻[130] 圖9 及文獻[46] 圖3)

V.總結與展望

關聯與拓撲是當今凝聚態物理的兩大研究主題，且二者在阻挫量子磁性研究中不斷交匯與融合，使其成為一個活躍的研究領域。低維量子磁體提供了理想的材料平臺，使得多體理論與實驗研究在這一領域緊密地結合起來，共同探討超越LGW 范式的新奇量子物態與相變。其中，量子自旋液體作為一類新奇的磁性狀態，吸引著凝聚態物理工作者廣泛的研究興趣。量子自旋液體體系在零溫時不會形成長程的磁有序，但伴隨著長程的拓撲糾纏及分數化的激發模式，在拓撲量子計算等領域中有潛在應用前景。實驗上，人們提出了系列量子自旋液體候選材料，積累了大量寶貴的阻挫磁性材料的熱力學測量結果，但因為計算的挑戰性(如量子蒙特卡洛方法會遭遇“負符號問題”而難以降至低溫)，鮮有數值模擬結果直接對這些熱力學數據開展分析，“挖掘”阻挫磁性材料背后的微觀自旋模型。本文介紹了有限溫度下的張量重正化群方法，包括線性(LTRG)和指數張量重正化群(XTRG) 等，這些方法在計算相應系統有限溫度性質、擬合相應阻挫磁體的熱力學測量結果、精確確定微觀模型等過程中發揮了重要的作用，搭建起了理論與實驗之間的“橋梁”。

在本文中，作者首先研究了正方晶格上的海森堡模型以及橫場伊辛模型等，精確得到自發磁矩以及相變溫度等結果，證實了XTRG 方法具有很高精度；同時，在對三角晶格海森堡模型的熱力學性質研究中，揭示出其奇特的雙溫度標度及中間溫區的類旋子激發圖景。在這之后，作者對三角晶格阻挫磁體TmMgGaO4展開研究，確定其微觀模型參數，預言具有演生的U(1) 對稱性并存在兩次Berezinskii-Kosterlitz-Thouless (BKT) 拓撲相變，并結合實驗驗證，為在磁性材料中研究這類新奇拓撲相變提供實際的材料平臺。

隨后，作者應用XTRG 方法，計算了擴展六角晶格Kitaev 模型的有限溫度性質，發現對于有限磁場下的Kitaev 模型等，在一定的參數區間內，系統在中間溫區均會展現出分數液體特征，其中磁化率涌現出普適居里行為，自旋靜態結構因子具有條紋狀背景，這些特征可以與金屬型比熱容、熱力學熵的平臺一起，作為實驗上研究Kitaev 順磁物理的熱力學依據。在這之后，作者把目光投向重要的Kitaev 自旋液體候選材料α-RuCl3，通過擬合其比熱容和磁化率測量結果，確定了其微觀哈密頓量為K-J-Γ-Γ′模型，并計算得到了α-RuCl3有效模型在不同方向磁場中的有限溫度相圖，預言其在垂直面場下會存在由場誘導的中間磁場自旋液體相。隨后，脈沖強磁場磁化率實驗探測到了此中間相存在的證據，這一理論密切結合實驗的研究路線為后續更多Kitaev 材料的場致自旋液體研究提供了重要基礎。

圖21.面外方向磁場H[111] ‖ c* 下的高場自旋液體相。(a) 比熱容cm 的輪廓圖，可以看到在低場及中間磁場區間內，比熱容都會呈現雙峰結構。為了敘述方便，作者用白色的虛線描畫出了溫度尺度Th, Tl、和T′′l 的位置，對應相圖中的各個相邊界。(b)為Z2 規范通量Wp 的輪廓圖，橙色表示Wp 的值為正數；藍色表示Wp 值為負。在插圖中，作者展示了μ0H[111] = 45.5 T處的零溫及有限溫度下的自旋結構因子(k)。在(c) 中，作者用DMRG 計算了零溫的磁化曲線及其導數dM/dH[111]，表明在高面外場下，系統中存在兩個相變磁場 及(用紅色及藍色圓點表示)。(d) 精確對角化方法計算的能譜En-E0，在中間相中可以觀察到大量低能本征態。(引自文獻[46] 圖5)

作為展望，作者指出在三角晶格和Kitaev 六角晶格等系統中還存在大量的新穎阻挫量子磁體有待研究，如NaYbO2[62,175,176]、NaYbS2[177]、NaYbSe2[178,179]和CsYbSe2[180]等可能受無序影響較小的Yb 基材料，是近年來三角晶格自旋液體實驗研究的焦點。這類材料在低溫下均沒有展現出磁有序[175,178–180]，并伴有自旋動力學信號[175,177,181]，如NaYbO2的激發譜在布里淵區中的K 點展現出連續色散關系[62,175]，有望實現三角晶格量子自旋液體態。

在Kitaev 自旋液體候選材料方面，人們也提出了很多其它基于Jackeli-Khaliullin 機制的4d 或5d 電子類型的阻挫磁性材料，如銥氧化物家族的Cu2IrO3[182]、Ag3LiIr2O3[183]、Cu3LiIr2O3[184]、H3LiIr2O3[185]，和鹵族化物RuI3[186]、RuBr3[187]、YbCl3[188]、CrI3[189]等。其中YbCl3在0.6 K 以下為長程的奈爾反鐵磁序，會被6 T 左右的面內磁場抑制住[188]；CrI3為有效自旋3/2 的系統，但層間耦合效應比較顯著[189]；其它材料目前只有粉末樣品，還有待未來生長出大尺寸單晶樣品并進行更為系統的實驗測量。此外，最近的研究表明由Co2+、Ni3+等高自旋的d7電子，也可以在材料中實現Kitaev 相互作用[190]，如Na2Co2TeO6[191,192]、Na3Co2SbO6[193]、BaCo2(AsO4)2[194]等。目前，實驗上認為Na2Co2TeO6和Na3Co2SbO6的基態可能也是“之字形”反鐵磁序，且居里–外斯溫度有很強的各向異性，與α-RuCl3的特征十分相像。同時，比熱容、磁化曲線、電子自旋共振等實驗發現Na2Co2TeO6材料在一定磁場間，存在類似量子自旋液體的無序相[191,192]；具有高質量的單晶樣品的BaCo2(AsO4)2在低溫(約為5.5 K) 以下也形成反鐵磁序[194]。磁化曲線、比熱容、熱導實驗表明這一反鐵磁序會被0.5 T 左右的面內磁場所抑制，與α-RuCl3展現了類似的特征，且相變場更低。因此這類Co 基六角晶格材料的有效微觀模型為何、在磁場的調控下具有何種新奇物態、是否是Kitaev 自旋液體材料等有趣問題都亟需進一步開展深入的研究。

綜上所述，本文通過若干具體的例子，展示了有限溫度張量重正化群方法在研究量子自旋微觀模型、典型阻挫磁性材料體系并預言其新奇物態性質等方面發揮的重要作用。有限溫度張量重正化群方法是理論與實驗之間一架有力的橋梁，借助其可以開展阻挫量子磁性系統的多體計算研究。作者期待隨著多體計算方法的進一步發展，這樣的多體研究方案能夠幫助人們更好地探索包括量子自旋液體在內的新奇量子物態及其在關聯量子材料中的實現，不斷拓展人們關于量子磁學以及其它關聯物質科學的認識。

致 謝

本文感謝國家自然科學基金(11974036、11834014)的支持。本文作者感謝戚揚、孟子楊、溫錦生、于偉強、劉正鑫、鄔漢青、龔壽書、勝獻雷、Yasuhiro H、Matsuda、周旭光等在相關研究上的密切合作，以及陳斌斌、高源、屈代維、李喬依等的有益討論。