基于Multisim和MATLAB仿真的二階系統及其電路響應性能比較

黃勇超，鄧發云

（廣州南洋理工職業學院 智能工程學院，廣東 廣州 510900）

0 引 言

Multisim是美國國家儀器NI公司推出的電子仿真與設計專業軟件，利用虛擬信號、器件和儀器分析電路的動態過程十分方便。MATLAB是美國MathWorks公司出品的數學軟件，集成數值分析、矩陣計算、科學數據可視化及非線性動態系統的建模和仿真，為科學研究、工程設計以及數值計算提供了全面的解決方案。

本文通過二階運放電路實現控制理論中的二階系統，用Multisim進行時域和頻域仿真，并用MATLAB數值運算對二階系統進行時域和頻域分析，最后將MATLAB數值運算與Multisim仿真比較，找出各自的特點。

1 二階系統中的數學模型

建立一個二階系統的數學模型如圖1所示。

圖1 二階系統的數學模型

二階系統的標準傳遞函數為：

（2）式與（1）式對比，可求得阻尼比：

由（3）式可知，越小，二階系統的阻尼比越大。當增益小于、等于、大于1.562 5時，二階系統分別處于過阻尼、臨界阻尼、欠阻尼狀態；當增益→∞時，→0，二階系統處于零阻尼狀態。

2 二階電路在Multisim中建模

將圖1所示二階系統各控制環節進行轉換，得到如圖2所示的二階運放電路。圖中，直流電源提供1 V階躍電壓，運放U及各支路電阻構成比例環節，運放U及阻容構成慣性環節，運放U及阻容構成積分環節，運放U及電阻構成反相環節，反饋線從U引出形成電壓并聯負反饋，示波器觀察輸入輸出信號。

圖2 二階運放電路

3 二階電路與二階系統的時域仿真

3.1 二階電路時域的multisim仿真

用multisim對二階電路進行時域仿真，二階無阻尼及過阻尼電路的時域響應曲線如圖3所示。圖2中，開關s6斷開，開關s2～s5任一支接通，慣性環節變成積分環節，二階電路特征方程無一次項，然后開關s1接通分別得到類似于圖3（a）所示的二階無阻尼電路響應曲線，電路處于不穩定狀態。開關s4、s6接通，然后開關s1接通得到比例環節=1的二階過阻尼電路單位階躍響應曲線如圖3（b）所示；開關s5、s6接通，然后開關s1接通得到比例環節=0.1的二階過阻尼電路單位階躍響應曲線如圖3（c）所示。可見，二階過阻尼電路增益越小，則阻尼比越大，調節時間越長。

圖3 二階無阻尼及過阻尼電路的時域響應曲線

比例環節中支路s2或s3接通時二階電路都處于欠阻尼狀態，其時域響應曲線如圖4所示。圖2中，開關s1、s2、s6接通，比例環節=6.25，得到如圖4（a） （b）所示的二階欠阻尼電路單位階躍響應曲線；開關s1、s3、s6接通，比例環節=12.5，得到如圖4（c）（d）所示的二階欠阻尼電路單位階躍響應曲線。

圖4 二階欠阻尼電路的時域響應曲線

圖4中，二階欠阻尼電路的穩態值等于輸入電壓1 V，游標T1在起始端與游標T2在穩定值正負5%處的時間差即電路的調節時間。比例環節=6.25的二階欠阻尼電路的時域響應曲線中，圖4（a）有一個波峰和波谷，調節時間223.3 ms，圖4（b）波峰1.147 V。比例環節=12.5的二階欠阻尼電路的時域響應曲線中，圖4（c）有兩個波峰和一個波谷，調節時間240.0 ms，圖4（d）首個波峰1.17 V。可見，二階欠阻尼電路增益越大，則阻尼比越小，電路振蕩越厲害。

3.2 二階欠阻尼系統的MATLAB程序仿真

二階過阻尼系統調節時間較長較少應用，下面對二階欠阻尼系統利用公式（1）進行MATLAB編程。比例環節=6.25的二階欠阻尼系統編寫如下MATLAB程序。

num=625;den=[1 25 625];

t=0:0.01:2;

y=step(num,den,t); %求單位階躍響應

ym=max(y) %求振幅

ys=y(length(t)) %求穩態響應值

disp(['sgm=',num2str(100*(ym-ys)/ys),'%']) %求最大超調量

for i=1:201

if y(i)==ym n=i;end %求振幅對應的點

end

i=201;while i＞0 i=i-1;%倒求進入誤差帶的下標

if y(i)＞= 1.05*ys; y(i)＜y(i-1); m=i; break;

end%求誤差上限進入誤差帶的下標

if y(i)＜= 0.95*ys; y(i)＞y(i-1); m=i;break;

end%求誤差下限進入誤差帶的下標

end

ts=m*0.01 %求調節時間

運行MATLAB得到如圖4（a）所示的二階欠阻尼系統單位階躍響應曲線：振幅y=1.161 9 v，穩態值y =1.000 0 V，最大超調量sgm=16.186 2%，調節時間t=0.22 s。與前面的multisim仿真比較，結果接近。

比例環節=12.5的二階欠阻尼系統更改num、den參數得到如圖5（b）所示的二階欠阻尼系統單位階躍響應曲線：振幅y=1.300 4 v，穩態值y=1.000 0v，最大超調量sgm=30.043 6%，調節時間t= 0.23s。與前面的multisim仿真比較，振幅略有誤差，結果也是接近的。

圖5 二階欠阻尼電路開環對數特性曲線

4 二階欠阻尼電路及系統的頻域仿真

4.1 二階欠阻尼電路的Multisim頻域仿真

圖2中交流電源替代直流電源，去掉反饋線，用波特表代替示波器觀察開環電路得到二階欠阻尼電路開環對數特性曲線圖5所示。在圖5（a）所示的對數幅頻特性曲線上，比例環節=6.25幅值穿越頻率為3.128 Hz。在圖5（c） 所示的對數幅頻特性曲線上，比例環節=12.5的幅值穿越頻率為4.972 Hz。在圖5（b）的比例環節=6.25的對數相頻特性曲線上，對應于幅值穿越頻率3.128 Hz的穿越相位分別為-128.2°（相位裕度51.8°）。在圖5（d）的比例環節=12.5的對數相頻特性曲線上，對應于幅值穿越頻率4.972 Hz的穿越相位分別為-128.2°（相位裕度51.8°）。

4.2 二階欠阻尼系統的MATLAB頻域仿真

去掉反饋環節，如圖1所示的二階系統的開環傳遞函數為：

對于比例環節=6.25的二階欠阻尼系統，根據公式（4）可編寫如下MATLAB程序。

num=25; den=conv([0.04 1],[1 0]);

w=logspace(-1,4);

[mag,pha,w]=bode(num,den,w);

[gm,pm,wcg,wcp]=margin(mag,pha,w)

運行可得：相位裕度p=51.836 6，幅值穿越頻率w=19.633 4/6.28 Hz=3.12 Hz。這與上述multisim頻域仿真吻合得也很好。

更改num、den參數可得：相位裕度p=38.766 9，幅值穿越頻率w=31.1781/6.28 Hz=4.96 Hz。這也與上述multisim頻域仿真吻合得也很好。

5 結 論

本文通過二階運放電路實現二階系統，并用Multisim進行時域和頻域仿真，同時用MATLAB數值運算對二階系統進行時域和頻域分析，用Multisim電路進行仿真，比MATLAB的數值運算更簡便、準確，大大減小了工作量。

Multisim仿真過程真實地反映了自動控制系統的電路工作過程，它打通了電路模型與控制理論的聯系。用Multisim仿真去設計和分析控制系統，分析過程相當簡便，可見Multisim仿真的分析方法確實值得我們學習和掌握。