輪對(duì)非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)蛇行運(yùn)動(dòng)的解析解1)

史禾慕 曾曉輝 ,* 吳 晗

* (中國科學(xué)院力學(xué)研究所流固耦合系統(tǒng)力學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100190)

? (中國科學(xué)院大學(xué)工程科學(xué)學(xué)院,北京 100049)

** (大連理工大學(xué)海岸和近海工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,遼寧大連 116024)

引言

鐵路車輛蛇行動(dòng)力學(xué)響應(yīng)特性是列車設(shè)計(jì)和運(yùn)營中的關(guān)鍵問題,國內(nèi)外學(xué)者對(duì)此進(jìn)行了大量研究.關(guān)于整車系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的分析大都采用數(shù)值方法.Schupp[1]將基于路徑跟蹤法的分岔分析軟件和Simpack 多體動(dòng)力仿真軟件相結(jié)合研究系統(tǒng)的分岔特性,計(jì)算了車輛系統(tǒng)的極限環(huán).Cheng 等[2-3]研究了車輛系統(tǒng)的不同參數(shù)對(duì)于臨界速度的影響規(guī)律.文獻(xiàn)[4-5]等研究了車輛系統(tǒng)的分岔特性,計(jì)算了車輛系統(tǒng)的分岔圖和極限環(huán)等.文獻(xiàn)[6]分別采用路徑跟隨(path-following)方法和蠻力(brute-force)方法研究了鐵路客車的分岔和蛇行運(yùn)動(dòng)特性.True[7]對(duì)于幾種求解車輛系統(tǒng)非線性臨界速度的方法進(jìn)行了分析,并給出了求解非線性速度的正確方法.Iwnicki等[8]總結(jié)了鐵路貨車的發(fā)展歷史,研究了幾種常見鐵路貨車的動(dòng)力學(xué)特性.翟婉明[9]提出了車輛-軌道耦合動(dòng)力學(xué)理論,使得理論研究更能反應(yīng)鐵路輪軌系統(tǒng)實(shí)際情況,對(duì)于軌道類型對(duì)車輛系統(tǒng)的臨界速度影響進(jìn)行了廣泛研究.曾京[10]采用QR 算法和黃金分割法計(jì)算了17 自由度經(jīng)典客車模型的線性臨界速度,采用打靶法計(jì)算了其鄰域的極限環(huán).羅仁和曾京[11]的研究表明,在研究列車系統(tǒng)蛇行運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性時(shí),采用單節(jié)車模型計(jì)算得到的臨界速度與多編組列車的臨界速度相差很小.高學(xué)軍等[12-13]采用延續(xù)算法計(jì)算了車輛系統(tǒng)的周期解,研究了車輛系統(tǒng)的分岔和混沌現(xiàn)象.Zeng 等[14-19]綜合考慮了氣動(dòng)載荷對(duì)車輛動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)固有特性的影響以及強(qiáng)迫激勵(lì)的作用,給出了氣動(dòng)載荷作用下車輛系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)特性分析方法,分析了相關(guān)參數(shù)的影響規(guī)律.

上述對(duì)整車動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行研究更接近實(shí)際情況,也搞清楚了一些作用機(jī)理.盡管如此,目前仍然有一些問題的內(nèi)在機(jī)制不很清楚.部分原因是,整車系統(tǒng)自由度較多、可變參數(shù)也多,各參數(shù)對(duì)蛇行穩(wěn)定性影響的效應(yīng)交織在一起,不易分清各種因素的貢獻(xiàn)大小,也就不容易更深刻理解為什么會(huì)有這樣的影響規(guī)律.這種狀況并不利于高效地改進(jìn)工程設(shè)計(jì).

輪對(duì)系統(tǒng)保留了影響車輛系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)性能的幾個(gè)關(guān)鍵的要素:輪軌幾何非線性約束、輪軌接觸蠕滑關(guān)系、懸掛系統(tǒng)等.從蛇行穩(wěn)定性問題的角度來說,輪對(duì)系統(tǒng)也是能從相當(dāng)程度上代表整車系統(tǒng)蛇行穩(wěn)定性特性的典型子系統(tǒng).而且,輪對(duì)系統(tǒng)自由度少、參數(shù)少,可以采用解析方法進(jìn)行分析,便于更深入地認(rèn)識(shí)車輛動(dòng)力響應(yīng)特性及內(nèi)在機(jī)理.目前國內(nèi)外學(xué)者針對(duì)輪對(duì)系統(tǒng)也開展了相關(guān)研究.

Wagner[20]計(jì)算了具有亞臨界霍普夫分岔的鐵路輪對(duì)系統(tǒng)的兩個(gè)穩(wěn)定解的吸引域,并給出兩個(gè)穩(wěn)定解出現(xiàn)的概率.Casanueva 等[21]建立了考慮輪對(duì)柔性的輪對(duì)動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性模型,分析了輪對(duì)參數(shù)對(duì)于臨界速度的影響規(guī)律.Antali 等[22-23]推導(dǎo)了圓錐車輪在圓柱軌道的精確非線性方程,研究了鐵路輪對(duì)的運(yùn)動(dòng)特性.Song 等[24]建立了1/5 輪對(duì)比例模型,通過實(shí)驗(yàn)和數(shù)值研究了車輪踏面錐度對(duì)于橫向動(dòng)力學(xué)特性的影響.Pascal 和Sany[25]建立了考慮輪軌共形接觸的獨(dú)立輪對(duì)動(dòng)力學(xué)模型并研究了其動(dòng)力學(xué)特性.文獻(xiàn)[26]研究了具有三次和五次非線性的輪對(duì)動(dòng)力學(xué)方程的亞臨界霍普夫分岔和鞍結(jié)分岔,并通過實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了驗(yàn)證.文獻(xiàn)[27]研究了輪對(duì)系統(tǒng)在兩分岔參數(shù)下的分岔行為.Ge 等[28]建立了具有非線性等效錐度和輪軌力的修正鐵路輪對(duì)動(dòng)力學(xué)模型,并對(duì)其失穩(wěn)機(jī)理進(jìn)行了研究.Guo 等[29]建立了考慮輪軌接觸非線性的鐵路車輛輪對(duì)動(dòng)力學(xué)模型,并對(duì)其分岔特性進(jìn)行了研究.武世江等[30]對(duì)考慮陀螺效應(yīng)的輪對(duì)系統(tǒng)的霍普夫分岔特性進(jìn)行了研究,給出了線性臨界速度表達(dá)式,基于打靶法計(jì)算了輪對(duì)系統(tǒng)的分岔圖.

本文采用解析方法對(duì)輪對(duì)系統(tǒng)的蛇行運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性問題開展研究.推導(dǎo)出帶有小參數(shù)的兩自由度方程,并采用多尺度方法[31]進(jìn)行解析求解;給出輪對(duì)系統(tǒng)極限環(huán)幅值的解析表達(dá)式并對(duì)其穩(wěn)定性進(jìn)行判定;給出了輪對(duì)系統(tǒng)非線性臨界速度的解析表達(dá)式.將所獲得的解析解與數(shù)值結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,驗(yàn)證了解析解的正確性.采用得到的解析解進(jìn)行了參數(shù)影響分析.

1 輪對(duì)動(dòng)力學(xué)建模

1.1 模型概述

輪對(duì)系統(tǒng)是鐵路車輛動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中最關(guān)鍵的部分,它包含懸掛系統(tǒng)以及兩個(gè)通過車軸連在一起的車輪(稱為輪對(duì)).一系懸掛系統(tǒng)將輪對(duì)和轉(zhuǎn)向架構(gòu)架連接起來;輪對(duì)受鋼軌約束,在鋼軌上無跳躍地運(yùn)動(dòng).輪對(duì)系統(tǒng)示意圖如圖1 所示.

圖1 輪對(duì)模型示意圖Fig.1 Schematic diagram of the wheelset model

在上述輪對(duì)系統(tǒng)中,轉(zhuǎn)向架構(gòu)架沿水平方向勻速前進(jìn),輪對(duì)沿著軌距不變、剛性路基的平直軌道運(yùn)動(dòng).輪對(duì)和構(gòu)架之間由一系懸掛彈簧連接.車輪與鋼軌永保接觸,由此輪對(duì)的垂向和側(cè)滾位移與其橫擺和搖頭位移相關(guān)聯(lián),于是考慮模型有橫擺y和搖頭ψ兩個(gè)自由度,車輪和鋼軌間的蠕滑符合線性規(guī)律,不考慮自旋蠕滑的影響.系統(tǒng)的非線性來自于輪軌接觸非線性回復(fù)力.

1.2 輪對(duì)動(dòng)力學(xué)方程

通過牛頓-歐拉法推導(dǎo)輪對(duì)動(dòng)力學(xué)方程如下所示

式中,m是輪對(duì)的質(zhì)量,J是輪對(duì)相對(duì)于垂直軸的搖頭轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,FLx和FLy是左側(cè)車輪的縱向和橫向蠕滑力,FRx和FRy是右側(cè)車輪的縱向和橫向蠕滑力,Kx和Ky是一系懸掛縱向、橫向彈簧總剛度.Fc代表由軸重和輪軌幾何關(guān)系引起的橫向復(fù)原力,b是名義滾動(dòng)圓距離之半,l是一系懸掛橫向距離之半.

本文中采用卡爾克(Kalker)線性蠕滑理論計(jì)算輪軌接觸蠕滑力[20,27-28,30,32-33],如下

式中,f11和f22是車輪的縱向、橫向蠕滑系數(shù),ξLx和ξLy是左側(cè)車輪的縱向、橫向蠕滑率,ξRx和ξRy是右側(cè)車輪的縱向、橫向蠕滑率,具體表達(dá)式如下

式中,λ是等效錐度,r0是名義滾動(dòng)圓半徑,V是輪對(duì)運(yùn)行速度.

車輛動(dòng)力學(xué)中輪軌接觸恢復(fù)力通常由輪軌接觸幾何和輪對(duì)軸重決定,表達(dá)式如下

式中,W是軸重,δL和δR是左、右車輪接觸角,θ是輪對(duì)側(cè)滾角.對(duì)于LMA 型車輪踏面和CHN60 型鋼軌接觸配合,接觸幾何參數(shù)tan(δR-θ)-tan(δL+θ)隨輪對(duì)橫擺的變化關(guān)系可用多項(xiàng)式函數(shù)擬合,如圖2所示.

圖2 tan(δR-θ)-tan(δL+θ)隨輪對(duì)橫擺變化關(guān)系Fig.2 tan(δR-θ)-tan(δL+θ)varies with the lateral displacement of wheelset

具體的擬合公式如下

將式(5)代入式(4)有

式中δ0,δ1和δ2是關(guān)于輪軌接觸橫向復(fù)原力的多項(xiàng)式擬合函數(shù)的系數(shù).

將式(2)～式(6)代入式(1),重寫輪對(duì)動(dòng)力學(xué)表達(dá)式如下

方程(7)中各符號(hào)參數(shù)的取值參見附錄A 中的表A1.

由于方程(7)帶有三次和五次非線性,很難得到其精確解,于是考慮采用攝動(dòng)法求解其近似解析解.

為采用多尺度方法求解如式(7)所示的非線性方程,首先選擇合適的特征量對(duì)動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行無量綱化,把式(7)變?yōu)閹в行?shù)的無量綱方程,如式(8)所示

式中

對(duì)于目前常用的輪軌外形(LMA 型車輪踏面和CHN60 型鋼軌)和剛度[20,28]等參數(shù)進(jìn)行計(jì)算,式(8)中非線性項(xiàng)的系數(shù)ε約0.1,此時(shí)無量綱化的動(dòng)力學(xué)方程(8)可以采用多尺度方法進(jìn)行求解.

2 多尺度法求解輪對(duì)動(dòng)力學(xué)方程

本節(jié)給出基于多尺度方法的方程(8)的一階解析解.

設(shè)方程(8)的解的形式

式中Tn=εnτ(n=0,1,2,···),于是對(duì)時(shí)間的微分可表示為如下形式

將式(10)和式(11)代入方程(8),并令兩端ε0和ε1的系數(shù)分別相等,得到

方程(12)的解可寫成如下形式

式中An(n=1,2)為待定復(fù)函數(shù),cc表示左邊各項(xiàng)的共軛復(fù)數(shù).

將式(14)代入方程(13)有

式中橫線代表該函數(shù)的共軛復(fù)數(shù).為避免久期項(xiàng)的存在,函數(shù)An(n=1,2)需滿足以下方程

在上式中將An(n=1,2)寫成指數(shù)形式

式中an和θn(n=1,2)都是實(shí)數(shù),將式(17)代入式(16),并分離實(shí)部和虛部,得到

式中,一撇代表對(duì)T1求導(dǎo)數(shù).對(duì)上式積分可以得到

眾所周知,鐵路輪對(duì)動(dòng)力系統(tǒng)是一個(gè)自激振動(dòng)系統(tǒng),當(dāng)運(yùn)行速度超過臨界速度后,系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)蛇行失穩(wěn)導(dǎo)致蛇行運(yùn)動(dòng)振幅不再衰減,此時(shí)蛇行運(yùn)動(dòng)的振幅和頻率與運(yùn)行速度相關(guān).工程實(shí)際中,式(19)中參數(shù)α1和α3總是正數(shù),因此無論速度如何變化,隨著時(shí)間的增加,系統(tǒng)蛇行運(yùn)動(dòng)幅值a1和a2總是趨近于零.這顯然與實(shí)際情況不符.實(shí)際上在這里需要考慮系統(tǒng)的內(nèi)共振的影響.由于輪對(duì)的蛇行運(yùn)動(dòng)是輪對(duì)的橫擺和搖頭相耦合的運(yùn)動(dòng),通過內(nèi)共振可以將輪對(duì)的橫擺和搖頭運(yùn)動(dòng)結(jié)合起來,這一點(diǎn)也是符合實(shí)際意義的.下面給出考慮內(nèi)共振時(shí)方程的解.

對(duì)于系統(tǒng)的內(nèi)共振情況,引入解諧參數(shù)σ1來表示頻率ω1和ω2的接近程度，即

將上式代入式(15),為避免久期項(xiàng)的存在,函數(shù)An(n=1,2)需滿足以下方程

將式(17)代入上式,分離實(shí)部和虛部有

可見,系統(tǒng)總有零解,當(dāng)系統(tǒng)的幅值(a1,a2)不為零時(shí),引入

利用上式將式(22)化為自治形式

由方程組(25)中前兩式可得

在這里考慮穩(wěn)態(tài)幅值均為正,由式(26)可得

將上式代入方程組(25)中第二式有

利用三角恒等式 cos2γ+sin2γ=1,有

將上式和式(27)代入方程組(25)中第三式,化簡有

由于 Γ1＜0,需要分情況討論

(1)Δ±≥0,Γ2±≥0

(2)Γ2±＜0

(3)Δ±＜0,系統(tǒng)無非零穩(wěn)態(tài)解,此時(shí)系統(tǒng)只有零解.

根據(jù)穩(wěn)態(tài)解幅值表達(dá)式(33)和式(34)可知,穩(wěn)態(tài)解幅值是隨速度變化的函數(shù).Δ±和 Γ2±也是隨速度變化的函數(shù),于是不同的運(yùn)行速度下,系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)解的數(shù)目可能也不相同.通常情況下,系統(tǒng)的非線性臨界速度Vn對(duì)應(yīng)系統(tǒng)發(fā)生分岔時(shí)的速度,于是,通過求解系統(tǒng)發(fā)生分岔時(shí)的運(yùn)行速度來判定系統(tǒng)的Vn.結(jié)合式(33)和式(34)可知,此時(shí)系統(tǒng)可能有多個(gè)分岔點(diǎn),每一個(gè)分岔點(diǎn)對(duì)應(yīng)的速度可能并不相同,即系統(tǒng)在不同的速度下均有可能發(fā)生分岔,通常系統(tǒng)發(fā)生分岔時(shí)的最小速度對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的Vn.基于此,下面對(duì)系統(tǒng)可能發(fā)生分岔的情況逐一討論.

(1)當(dāng) Δ±=0 時(shí),系統(tǒng)發(fā)生分岔,此時(shí)對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的一個(gè)分岔速度,稱為第一分岔速度

(2)當(dāng) Γ2±=0 時(shí),系統(tǒng)發(fā)生分岔,此時(shí)也對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的一個(gè)分岔速度,稱為第二分岔速度

(3)當(dāng) Δ+=Δ-,并且系統(tǒng)滿足 Δ±＞0 時(shí),此時(shí)對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的一個(gè)分岔速度,稱為第三分岔速度

此時(shí)系統(tǒng)還需滿足

綜合上述分析,可判定系統(tǒng)的Vn為

當(dāng)求得系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)幅值a1后,代入式(27)～式(29)可求得a2,γ.對(duì)于求得的穩(wěn)態(tài)解穩(wěn)定性判定,可采用文獻(xiàn)[31]中的方法,為此設(shè)

式中a10,a20,γ0是系統(tǒng)的一組穩(wěn)態(tài)解,它對(duì)應(yīng)方程組(24)的奇點(diǎn),即滿足式(25).δa1,δa2,δγ是疊加的小的攝動(dòng)量.將式(42)代入方程組(24),并對(duì)δa1,δa2,δγ進(jìn)行泰勒展開保留一次項(xiàng),得到

此時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性依賴于式(43)右端的系數(shù)矩陣的特征值,右邊系數(shù)矩陣如下

式中

此時(shí)特征方程

對(duì)上式展開有

式中

對(duì)于方程(47),采用卡爾達(dá)諾(Cardano)公式求解如下

式中

當(dāng)式(49)～式(51)所對(duì)應(yīng)所有特征值λi(i=1,2,3)的實(shí)部均為負(fù)數(shù)時(shí),對(duì)應(yīng)的穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)是穩(wěn)定的,否則穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)不穩(wěn)定.

將式(14)和式(17)代入式(10),結(jié)合式(23),可以得到穩(wěn)態(tài)解的一次近似為

式中，a1,a2,γ均是常數(shù),此時(shí)無量綱x1和x2以同一種頻率振動(dòng),當(dāng)系統(tǒng)存在穩(wěn)定的周期解時(shí),系統(tǒng)的蛇行運(yùn)動(dòng)頻率fh

3 結(jié)果和討論

3.1 驗(yàn)證

重新計(jì)算文獻(xiàn)[20]給出的輪對(duì)橫擺分岔圖的算例,并將本文結(jié)果與該文獻(xiàn)的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比,如圖3所示.

圖3 中紅色三角符號(hào)代表文獻(xiàn)[20]中輪對(duì)橫擺幅值結(jié)果,藍(lán)色曲線是自編程序的計(jì)算結(jié)果,二者吻合很好.此外,在之前的研究[14-19]中,將自編程序計(jì)算結(jié)果和與已有文獻(xiàn)中的實(shí)驗(yàn)結(jié)果和數(shù)值結(jié)果也進(jìn)行了許多對(duì)比驗(yàn)證.

圖3 本研究結(jié)果與文獻(xiàn)[20]結(jié)果對(duì)比Fig.3 Comparison of results between this paper and Ref.[20]

接下來將數(shù)值計(jì)算結(jié)果和多尺度法的分析結(jié)果對(duì)比.數(shù)值計(jì)算采用四階變步長榮格-庫塔(Runge-Kutta,RK)法直接對(duì)方程(8)進(jìn)行數(shù)值積分,略去瞬態(tài)部分得到x1和x2的時(shí)間歷程曲線如圖4(a)所示,圖4(b)是相軌跡在相平面上的投影.

由圖4 可知,此時(shí)x1和x2作周期運(yùn)動(dòng),對(duì)其時(shí)間歷程曲線進(jìn)行快速傅里葉變換(FFT)得到x1和x2的頻譜圖,如圖5 所示.

圖4 時(shí)間歷程曲線與相平面內(nèi)相軌跡Fig.4 Time-history curves and phase trajectories in the phase plane

圖5 x1 和x2 的頻譜圖Fig.5 Frequency spectra of x1 and x2

由頻譜分析結(jié)合圖5 可知,此時(shí)x1和x2的頻率組成由基頻fh及fh的奇數(shù)倍頻組成.fh所對(duì)應(yīng)的諧波分量幅值遠(yuǎn)大于其他諧波分量幅值.x1和x2以相同的頻率fh作周期運(yùn)動(dòng).此時(shí)數(shù)值計(jì)算得到的系統(tǒng)的蛇行運(yùn)動(dòng)頻率fh為0.152 00,而由本文解析公式(式(54))計(jì)算得到的fh為0.151 89,相對(duì)誤差僅0.07%.我們對(duì)x1和x2的時(shí)間歷程曲線進(jìn)行濾波處理,得到相應(yīng)的僅包含基頻fh的時(shí)間曲線如圖6 所示.

圖6 fh 對(duì)應(yīng)的時(shí)間歷程曲線Fig.6 Time-history curves corresponding to fh

圖7 攝動(dòng)解與數(shù)值積分結(jié)果對(duì)比Fig.7 Comparison between perturbation solution and numerical integration

圖8 給出了由本文解析式(27)、式(33)和式(34)計(jì)算的輪對(duì)橫擺和搖頭角分岔圖和數(shù)值結(jié)果的對(duì)比.圖8 中,實(shí)線代表穩(wěn)定的穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)的幅值,虛線代表不穩(wěn)定的穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)的幅值,數(shù)值積分不能求解出不穩(wěn)定的穩(wěn)態(tài)周期幅值.結(jié)合圖8 可以看出,由本文解析解(式(35)～式(38))計(jì)算的分岔速度中的線性臨界速度Vc約為204.7 m/s,由線性化系統(tǒng)系數(shù)矩陣特征值計(jì)算的Vc為207.1 m/s,相對(duì)誤差1.16%.因此,本文推導(dǎo)的解析解也能給出關(guān)于線性臨界速度的一個(gè)很好的近似.由本文解析式(35)～式(41)計(jì)算的非線性臨界速度Vn約為191.0 m/s,由降速法計(jì)算的Vn約為191.2 m/s,相對(duì)誤差約0.1%.系統(tǒng)的穩(wěn)定的穩(wěn)態(tài)周期幅值相對(duì)誤差不超過10%.

圖8 攝動(dòng)解計(jì)算分岔圖和數(shù)值積分結(jié)果對(duì)比Fig.8 Comparison of bifurcation diagrams calculated by perturbation solution and numerical integration

通過以上解析公式的計(jì)算結(jié)果與數(shù)值結(jié)果的詳細(xì)對(duì)比,我們驗(yàn)證了第2 章中基于多尺度法給出的一階解析解的正確性.

采用數(shù)值法計(jì)算輪對(duì)系統(tǒng)的非線性臨界速度通常需要大量的計(jì)算,例如,當(dāng)采用降速法時(shí):基于路徑跟蹤策略,首先通過增加運(yùn)行速度使系統(tǒng)經(jīng)過擾動(dòng)后處于穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)的狀態(tài),即系統(tǒng)有穩(wěn)定的極限環(huán)幅值,隨后逐步降低運(yùn)行速度,在每一步中,當(dāng)前速度下系統(tǒng)的最終穩(wěn)態(tài)解對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)作為后續(xù)下一個(gè)運(yùn)行速度的初始值從而繼續(xù)計(jì)算,當(dāng)初值問題的暫態(tài)解最終趨于平凡解時(shí),計(jì)算結(jié)束.此時(shí)對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的一個(gè)分岔速度,通常為非線性臨界速度.計(jì)算的非線性臨界速度的精度取決速度離散化的步長,要獲得更加準(zhǔn)確的臨界速度值,需要細(xì)化離散化的步長,導(dǎo)致時(shí)間成本增加.而通過非線性臨界速度的解析表達(dá)式,我們可以直接求解系統(tǒng)的非線性臨界速度,更重要的是,我們可以更加方便直接的進(jìn)行參數(shù)對(duì)于系統(tǒng)非線性臨界速度的影響規(guī)律研究.

3.2 參數(shù)影響規(guī)律

根據(jù)非線性臨界速度的解析表達(dá)式(35)～式(41),很明顯,系統(tǒng)的V1,V2,V3與等效錐度λ的平方根成反比,從而系統(tǒng)的非線性臨界速度Vn與λ的平方根成反比.圖9 給出了由式(35)～式(41)確定的Vn隨λ的變化曲線.隨著λ的增加,Vn的減小速率逐漸減小.文獻(xiàn)[34]中給出,系統(tǒng)的線性臨界速度Vc與λ的平方根近似成反比,這說明λ對(duì)于Vc和Vn具有相同的影響規(guī)律.工程應(yīng)用中,為提高車輛的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性,我們應(yīng)該盡可能提高系統(tǒng)的Vc和Vn.于是在滿足其他設(shè)計(jì)要求的情況下,我們應(yīng)該盡可能減小車輪踏面的等效錐度.

圖9 Vn 與λ 的關(guān)系曲線Fig.9 Relationship between the Vn with λ

接下來我們研究Vn隨一系縱向剛度Kx這一單一因素的變化規(guī)律,其他參數(shù)保持不變,如圖10 所示.

圖10 Vn 與Kx 的關(guān)系曲線Fig.10 Relationship between the Vn with Kx

當(dāng) σ1+=0 時(shí),對(duì)應(yīng)有

式中c1,c2,c3,c4均是常數(shù).

式(56)中,當(dāng)Kx＞=3.832 6 MN/m 時(shí),Vn與Kx的四次方根成正比,是隨Kx增加而緩慢單調(diào)增的函數(shù);而當(dāng)Kx＜=3.832 6 MN/m 時(shí),從上面表達(dá)式可以看出,Kx的四次方根之前的因子不再是常量,而是Kx的非線性函數(shù),因而該式是一個(gè)具有極值的函數(shù),我們可以求出其極值.在我們所關(guān)注的參數(shù)范圍內(nèi),求Vn解析表達(dá)式關(guān)于Kx的導(dǎo)數(shù)并令其等于零,化簡有

圖11 和12 給出由本文解析式(27)、式(33)和式(34)計(jì)算的無量綱橫擺和搖頭角分岔圖.

圖11 中,分別計(jì)算了一系縱向剛度Kx取2.9 MN/m,3.0 MN/m 和3.1 MN/m 時(shí)系統(tǒng)無量綱橫擺和搖頭角幅值隨速度V的變化曲線.結(jié)果表明,同一Kx值對(duì)應(yīng)系統(tǒng)穩(wěn)定的極限環(huán)幅值隨著V的增加而逐漸增大,當(dāng)V越大,極限環(huán)幅值的增大速率越慢.同一V值,系統(tǒng)穩(wěn)定的極限環(huán)幅值隨著Kx的增大而增大.

圖11 不同Kx 值對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的分岔圖Fig.11 Bifurcation diagram of the system with different Kx

圖12 中,分別計(jì)算了車輪踏面等效錐度λ取0.04,0.05 和0.06 時(shí)系統(tǒng)無量綱橫擺和搖頭角幅值隨速度V的變化曲線.結(jié)果表明,同一λ值對(duì)應(yīng)系統(tǒng)穩(wěn)定的極限環(huán)幅值隨著V的增加而逐漸增大,當(dāng)V越大,極限環(huán)幅值的增大速率越慢.同一V值,系統(tǒng)穩(wěn)定的極限環(huán)幅值隨著λ的增大而增大.

圖12 不同λ 值對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的分岔圖Fig.12 Bifurcation diagram of the system with different λ

一般情況下,根據(jù)Vn的表達(dá)式(35)～式(41),系統(tǒng)的許多其他參數(shù)均會(huì)對(duì)Vn有所影響,因此在設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)向架參數(shù)時(shí),應(yīng)該對(duì)各種不同的參數(shù)組合方案進(jìn)行比較,以期獲得最佳的參數(shù)匹配范圍.本文推導(dǎo)的解析表達(dá)式可以對(duì)系統(tǒng)參數(shù)的初期設(shè)計(jì)提供一定參考.在進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí),不需要采用數(shù)值方法對(duì)每一個(gè)參數(shù)組合進(jìn)行大量微分方程組的積分計(jì)算,采用本文給出的解析表達(dá)式(35)～式(41)可以很快計(jì)算出每個(gè)參數(shù)組合對(duì)應(yīng)的動(dòng)力學(xué)性能指標(biāo),從而快速獲得最優(yōu)參數(shù)組合.

4 結(jié)論

本文采用多尺度方法對(duì)車輛輪對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了解析求解.主要工作和結(jié)論如下.

(1)給出了系統(tǒng)的極限環(huán)幅值和非線性臨界速度的解析表達(dá)式.相比于數(shù)值解法,通過解析公式,我們可以直接給出系統(tǒng)的非線性臨界速度,更加方便地研究系統(tǒng)參數(shù)對(duì)于非線性臨界速度的影響規(guī)律.給出了一系縱向懸掛剛度和車輪踏面等效錐度對(duì)于系統(tǒng)分岔圖和非線性臨界速度的影響規(guī)律.

(2)在滿足其他設(shè)計(jì)要求的情況下,一系懸掛剛度對(duì)臨界速度影響較為復(fù)雜.在我們所研究的參數(shù)范圍內(nèi),系統(tǒng)非線性臨界速度隨一系縱向剛度的變化存在一個(gè)極小值.在剛度較低(極小值左側(cè))時(shí),臨界速度隨剛度減小而有較明顯增加,而當(dāng)剛度較高(極小值右側(cè))時(shí),臨界速度會(huì)隨剛度增加緩慢增加.適當(dāng)減小車輪踏面等效錐度有助于提升車輛系統(tǒng)的線性和非線性臨界速度,從而提升車輛運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性.車輛系統(tǒng)發(fā)生蛇行失穩(wěn)時(shí)的極限環(huán)幅值隨著一系縱向懸掛剛度和車輪踏面等效錐度的增加而有所增加.

(3)在轉(zhuǎn)向架結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)與參數(shù)優(yōu)化過程中,通過本文給出的解析表達(dá)式,可以很方便地計(jì)算出系統(tǒng)不同參數(shù)組合下的極限環(huán)幅值和非線性臨界速度,便于快速比較不同參數(shù)組合下的多種方案,從而篩選出最佳的參數(shù)匹配關(guān)系,為轉(zhuǎn)向架結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)與參數(shù)優(yōu)化提供參考.

附錄

附表 A1 輪對(duì)參數(shù)Table A1 Wheelset parameters