利用平面聲場對非均勻大氣介質光波傳輸相位的調控*

王明軍 王婉柔 李勇俊

(西安理工大學自動化與信息工程學院,西安 710048)

本文基于聲光效應和Gladstone—Dale 關系,推導了在平面聲場擾動下,各向同性均勻大氣介質和非均勻大氣介質的折射率隨聲壓變化關系式,建立了平面光波和拉蓋爾-高斯(Laguerre-Gaussian,LG)光束通過經平面聲波擾動的均勻大氣和非均勻大氣介質的傳輸模型.結果表明,經平面聲場擾動后,均勻大氣介質折射率分布呈層均勻的周期性分布.對于大氣壓強縱向變化的大尺度角度,平面聲場對非均勻大氣折射率的分布情況影響不明顯;而對于小尺度角度,非均勻大氣折射率會隨高度的增加逐漸減小,并且隨聲壓的影響而產生波動.平面聲波擾動均勻大氣介質時,會使平面光波的等相位面因聲波的影響產生明顯波動;LG 光束相位會發生旋轉,且總會回到初始相位.平面聲波擾動非均勻大氣介質時,會使平面光波的相位變化會隨著聲波的變化規律產生周期性的變化,光程整體為傾斜的平面,但由于聲波的擾動,光程會產生波動;LG 光束的相位仍會發生旋轉,但與均勻介質不同的是,由于其折射率隨高度的變化,其相位不會回到初始相位.

1 引言

聲波和光波作為攜帶信息的載體,在通信領域有著極為重要的地位.聲波的本質是由于機械振動而引起的機械波,當聲波在介質中傳播時,會造成介質局部的壓縮和伸長發生彈性形變,使介質的密度發生周期性變化,進而影響介質折射率的分布[1-3].光波其本質為電磁波,它是由于空間中的磁場和電場的不斷變化相互激發形成的,其傳輸特性不僅與其振動方向和入射面有關,還與介質的特性有關.當聲波和光波在同一介質中傳播時,聲波可以通過改變介質的密度分布,進而改變介質的折射率分布,從而影響介質的光學特性,使光波的傳輸特性發生改變.因此,對于一些可以同時傳播聲光的光學介質,可以利用聲波對光波的傳輸特性進行調控,從而達到改善通信質量的目的.

由于大氣的流動性,導致了其壓強和溫度等物理量會隨著空間坐標的變化而變化.當壓強和溫度等物理量改變時,大氣折射率會發生一定程度的起伏,盡管起伏量比較微小,但依舊會對光傳輸造成影響.由于渦旋光束的波面呈螺旋分布,中心強度為零且相位不確定的特殊結構,使得渦旋光束在大氣中傳輸時,可能相比傳統的平面波更能抵制這些大氣效應[4,5].而拉蓋爾-高斯(Laguerre-Gaussian,LG)光束作為最為基礎且應用范圍最廣的渦旋光束,正在被人們廣泛研究,已經在眾多領域發揮著重要的作用.

聲波和光波相互作用的現象,早在上世紀30年代,Debye和Sils 就從實驗中觀察到了聲光衍射效應,但是由于條件的限制,并沒有得到很大的應用.1979 年,Weisbuch和Garbay[6]首次提出了使用聲光衍射技術檢測水表面波的方法.2000 年,Pitts和Greenleaf[7]通過雙透鏡成像系統記錄準直激光脈沖與超聲場相互作用所產生的前向散射光強,從而利用三維光學測量方法測量了超聲脈沖在水中傳播時的瞬時壓力.2006 年,Yamaguchi和Choi[8]使用光束偏轉法探測了水中的聚焦聲場.2012 年,周慧婷等[9]通過研究焦點聲壓和光線偏轉的關系,建立了焦點聲壓與光線偏轉距離之間的關系模型,計算出了焦點峰值聲壓.2013 年,Farhat等[10]通過聲和光相互作用激發石墨烯表面等離子體激元.2016 年,Ishikawa等[11]通過考慮光的相位與聲場的物理關系計算獲得了聲場信息,首次實現了空氣中聲場的單次測量.之前的研究中,聲場的使用大都采用了超聲聲場,但是由于超聲波在大氣中極易損耗,故應用場景基本都為水下環境,因此為了滿足實際應用的需求,研究聲光在大氣介質中的相互作用是十分有必要的.

本文基于聲光效應的基本原理,通過Gladstone-Dale 關系,分別推導了在不同聲源擾動下,各向同性均勻大氣介質的折射率隨聲壓變化關系式.并進一步研究了在壓強隨高度變化的現實非均勻大氣環境中,平面聲波對非均勻大氣折射率的影響情況,通過數值模擬得到了經聲波擾動后均勻大氣和非均勻大氣的折射率分布情況.隨后建立了平面光波和LG 光束經平面聲波擾動的均勻和非均勻大氣介質的傳輸模型.分別數值模擬了平面聲波擾動均勻和非均勻大氣時,平面光波和LG 光束的相位隨大氣高度和傳輸距離的變化情況.分析了在均勻和非均勻大氣介質中,平面聲場對平面光波和LG光束的相位傳輸特性的影響規律,進而實現聲場對光波相位的調控.

2 聲波擾動大氣介質的折射率分布情況

2.1 不同類型聲源擾動均勻大氣介質的折射率分布

由Gladstone-Dale 關系[12]可知,折射率和密度之間滿足的定量關系式為

其,n為折射率;ρ為密度.

聲音引起的密度變化一般可以看做絕熱變化,因此密度和聲壓之間的關系可以寫為

式中,p0101325 Pa 為靜態條件下地表附近的大氣壓強,ρ0為靜態條件下的密度;p為聲壓;γ為比熱比.結合(1)式和(2)式,并對聲壓p進行泰勒展開,可以得到當聲波擾動時均勻介質的折射率和聲壓之間的關系為

由于(3)式與其一階近似在數百帕斯卡的聲壓范圍內的折射率誤差近似為10—11,其精度非常高[13],因此在此聲壓范圍內都可以用一階近似來表示聲波擾動時,均勻介質折射率和聲壓之間的關系.

已知平面波聲源聲壓[14]可以表示為

其,pA為聲壓幅值;ks為聲波波數;ωs2πfs為聲波角頻率;fs為聲波頻率;t為時間.將其代入(3)式的一階近似中,取其實部進行計算,可得到平面聲波擾動時均勻介質折射率隨聲壓的變換關系為

式中,n0為未加入聲波時均勻介質的折射率;p(x,t)為在t時刻x高度處的聲壓;Δn(x,t)為由聲波引起的介質的折射率變化.

同理,球面波聲源聲壓[15]可以表示為(球坐標系):

取其實部進行計算,則球面聲波擾動時均勻介質折射率隨聲壓的變換關系為式中,r為球形聲源沿該方向的傳播距離;r0為球形聲源的半徑.

柱面波聲源聲壓[16]可以表示為(柱坐標系)

取其實部進行計算,則柱面聲波擾動時均勻介質折射率隨聲壓的變換關系為

由于大氣折射率的值一般只在小數點后五到六位變化,因此為了便于分析大氣折射率的變化情況,引入大氣折射度N來表示大氣折射率n,它們之間的關系為[17]

建立如圖1 所示平面直角坐標系,假設平面波聲源位于yoz平面,球面波聲源位于原點o處,柱面波聲源位于y軸方向,均勻介質處于xoz平面的局部區域中,分析不同類型聲源在xoz平面形成的聲場對此均勻介質折射率的擾動情況.圖1 中黑色虛線為平面波聲源在此局部區域所導致的折射率分布,紅色虛線為球面波和柱面波聲源在此局部區域所導致的折射率分布.

圖1 參考坐標系及不同類型聲源所導致均勻介質折射率分布示意圖Fig.1.Reference coordinate system and schematic diagram of refractive index distribution of uniform medium caused by different types of sound sources.

根據(5)式、(7)式和(9)式進行數值模擬,當n01.000279,γ1.41,p0101325 Pa,聲源頻率fs1000 Hz,聲壓pA10 Pa,t0 時,圖2和圖3分別為不同聲源擾動均勻介質后的折射率三維和二維分布情況.由圖2和圖3 可以看出,不同的聲源類型擾動大氣會使大氣折射率分布出現不同的情況.平面波聲源擾動后其折射率分布呈層均勻的周期性分布,且每層的折射率都相同;球面波和柱面波聲源擾動后的折射率分布在聲場區域的折射率都呈四分之一圓形分布,每層的折射率分布不均勻.而由于柱面波聲源相當于沿y軸的無限個球面波聲源疊加所形成的,因此雖然其與球面波聲源的波動情況類似,但從圖2和圖3 中可以看出,在同一頻率和聲壓下,柱面波聲源的折射率分布條紋更加明顯,即聲源的擾動更大,折射率變化更加明顯.因此在平面波聲源的擾動下,大氣折射率的分布會因聲場的影響而改變為規律的周期性分布.由于平面波聲源擾動介質后其折射率分布的這一特點,與壓強隨高度變化的非均勻大氣情況類似,即就是在局部區域內,折射率僅隨高度變化,并不隨距離變化.而當光束在非均勻大氣中傳輸時,若選用球面波聲源或柱面波聲源進行擾動,大氣折射率不僅會隨高度變化,還會隨距離而變化,使在傳輸時光束的相位不斷發生改變,從而無法達到調控目的.因此在后續討論非均勻大氣,實現聲場對光束相位的調控時,選擇平面波聲源進行進一步研究.

圖2 不同聲源擾動均勻介質折射率分布三維圖 (a)平面波聲源;(b)球面波聲源;(c)柱面波聲源Fig.2.Three-dimensional diagram of refractive index distribution of homogeneous medium perturbed by different sound sources: (a)Plane wave sound source;(b)spherical wave sound source;(c)cylindrical wave sound source.

圖3 不同聲源擾動均勻介質折射率分布二維圖 (a)平面波聲源;(b)球面波聲源;(c)柱面波聲源Fig.3.Two-dimensional diagram of the refractive index distribution of homogeneous medium perturbed by different sound sources: (a)Plane wave sound source;(b)spherical wave sound source;(c)cylindrical wave sound source.

2.2 平面波聲源擾動非均勻大氣介質的折射率分布

在現實大氣環境中,大氣壓強會隨著高度的升高而降低,從而導致大氣折射率也隨著高度而變化,使大氣介質不在是均勻的,而是呈現非均勻的類似分層的結構.2002 年,Rüeger[18]通過大量的研究和總結,在可見光和近紅外波對前人的大氣折射率公式進行了修正和簡化,在保留了精度的同時,使計算更加簡便.在不考慮二氧化碳含量和相對濕度的情況下,Rüeger 公式可以簡化為

式中,P為實際大氣壓強,單位為Pa;Ns為指定標準大氣的大氣折射度;ns為指定標準大氣的折射率;λ為光學波長;T為熱力學溫度;

假定大氣是等溫的,根據玻爾茲曼分布,可以得到大氣中任一氣體的氣壓和密度隨高度的變化公式:

式中,μ28.9635 g/mol 為大氣摩爾質量;R8.314510 J·mol-1·K-1為普遍大氣常數;g為重力加速度;h為高度;H為標高,當T為常數時,HRT/gμ.

將(13)式代入到(12)式中可得在折射率隨高度變化的非均勻大氣的大氣折射率為

將n0代入(5)式中可得非均勻大氣介質中大氣折射率隨聲壓變化的公式為

對(15)式進行數值模擬,當p100 Pa,fs1000 Hz時,圖4 反應了平面波聲源擾動時,非均勻大氣折射率隨高度和距離的變化情況.由圖4(a)可知,從大氣壓強縱向變化的大尺度角度來看,當大氣高度取0—10 km 時,由于大氣壓強變化的非常劇烈,遠遠超過聲壓,因此聲波對非均勻大氣折射率的分布情況影響并不是很明顯.但是將大氣壓強變化的縱向尺度縮小,只考慮局部情況,取0—60 m 時,如圖4(b)所示,可以明顯的看到其折射率隨著高度的增加在逐漸減小,并且產生波動.

圖4 聲波擾動非均勻大氣介質折射率隨高度和距離變化 (a)大氣壓強縱向變化大尺度;(b)大氣壓強縱向變化小尺度Fig.4.Variation of refractive index with height and distance of inhomogeneous atmospheric medium perturbed by acoustic waves:(a)Large-scale longitudinal variation of atmospheric pressure;(b)small-scale longitudinal variation of atmospheric pressure.

改變聲波頻率,當聲波頻率分別為500,1000,2000和5000 Hz 時,非均勻介質大氣折射率隨高度的變化如圖5(a)所示;改變聲壓,當聲壓分別為0,0.1,1,10和100 Pa 時,大氣折射率隨高度變化情況如圖5(b)所示.從圖5 中可以看出,聲波會使非均勻大氣的折射率分布發生改變,使其折射率在隨著高度的增加逐漸減小的同時,還會圍繞未加入聲波時的折射率曲線進行規律的波動.在聲場范圍一定的情況下,當聲波的頻率改變時,會影響折射率的分布;當聲波的聲壓變化時,會影響介質折射率的大小,聲壓越大,折射率改變的越大.

圖5 非均勻介質折射率隨高度變化曲線 (a)不同聲波頻率;(b)不同聲壓Fig.5.Variation curve of refractive index of inhomogeneous medium with height: (a)Different sound wave frequencies;(b)different sound pressures.

3 大氣介質中平面聲波對光波相位傳輸特性的影響

3.1 大氣介質中平面聲波對平面光波相位傳輸特性的影響

假設入射平面光波波長λ=1550 nm,沿z軸正向進入聲場,傳播方向與聲波方向垂直,圖6 為平面光波通過經平面聲場擾動的大氣介質的模型.

圖6 平面光波通過平面聲場擾動的大氣介質模型Fig.6.The atmospheric medium model of plane light wave perturbed by plane sound field.

由(5)式和(15)式可知,當平面聲波擾動均勻和非均勻大氣介質時,其介質的折射率由兩部分構成,一部分為介質本身的折射率n0,另一部分為由聲場引起的折射率變化 Δn.

故由聲場引起的光程變化為[11]

式中,z為描述沿路徑c的距離的參數,c為積分路徑.

則由聲場引起的光學波前相位變化為

式中,k為光波的波數.

而光程可以表示為

將(5)式和(15)式的相關量代入(17)式和(18)式中,即可得到聲場擾動均勻和非均勻大氣介質后平面光波的光程和相位變化.分別對其進行數值模擬,圖7和圖8 為平面光波通過聲波擾動的均勻大氣介質后的相位變化和光程.由圖7和圖8 可以看出,平面光波通過平面聲波擾動的均勻大氣介質后會改變其光程和相位分布,使其光程和相位分布呈規律的周期性波動.當平面光波未通過聲場或通過沒有聲場的大氣介質時,其等相位面是一個平面,而當平面光波通過聲場后,其等相位面會因聲波的波動而變為波浪形狀.

圖7 均勻大氣介質中平面光波的相位變化 (a)未進入聲場(z=0 m,p=10 Pa);(b)通過聲場后(z=20 m,p=10 Pa)Fig.7.Phase change of plane light waves in homogeneous atmospheric medium: (a)Without entering the sound field (z=0 m,p=10 Pa);(b)after passing through the sound field (z=20 m,p=10 Pa).

圖8 均勻大氣介質中平面光波的光程 (a)無聲場(z=20 m,p=0 Pa);(b)有聲場(z=20 m,p=10 Pa)Fig.8.Optical path of plane light waves in homogeneous atmospheric medium: (a)Without sound field (z=20 m,p=0 Pa);(b)with sound field (z=20 m,p=10 Pa).

圖9和圖10 為平面光波通過聲波擾動的非均勻大氣介質后的相位變化和光程.由圖9和圖10可知,由于非均勻大氣自身的折射率會隨高度變化,因此當平面光波未通過聲場時,其相位變化為0;通過無聲場的非均勻大氣介質時,光程會由一個垂直的平面變為傾斜的平面;加入聲場后,其相位變化會隨著聲波的變化規律產生周期性的變化,光程整體與未加入聲場時相同,為傾斜的平面,但是由于聲波的擾動,光程會產生波動.

3.2 大氣介質中平面聲波對渦旋光束相位傳輸特性的影響

由于理想平面波的波前是無限大平面,而LG光束的波前是螺旋狀分布,其光束的直徑遠小于介質的長度,因此,不能像平面光波整體分析其通過聲場的相位變化,但可以通過分析光束在同一位置分別經過不同高度時的相位變化情況來總結其整體的變化規律.

圖11 為LG 光束通過經平面聲波擾動的大氣介質模型,假設入射LG 光束波長λ=1550 nm,沿z軸正向進入聲場,傳播方向與聲波方向垂直,在同一時刻從不同高度分別入射進入經聲場擾動的均勻大氣介質中,在取值時分別取圖12 折射率隨高度變化曲線的波峰波谷和中間位置的相位進行分析.

圖11 LG 光束通過平面聲場擾動的大氣介質模型Fig.11.The atmospheric medium model of LG beam perturbed by the plane sound field.

圖12 均勻介質折射率隨高度變化曲線Fig.12.Variation curve of refractive index of homogeneous medium with height.

LG 光束在介質中傳輸的場分布可以表示為[19]

將(5)式和(15)式計算所得的經平面聲場擾動后的折射率分別代入(19)式中,即可得到在經平面聲場擾動的均勻大氣介質和非均勻大氣介質中傳輸到對應高度和位置的LG 光束的場分布.假設入射LG 光束束腰半徑w00.002 m,拓撲荷數l=3,階數m=0,對其在經平面聲場擾動的均勻大氣介質和非均勻大氣介質中傳輸的相位特性進行數值模擬.

特別地,當平面聲場擾動大氣介質時,隨著傳輸高度x的變化,LG 光束的相位會因為聲場所導致的折射率改變而發生旋轉;而隨著傳輸距離z的變化,LG 光束的相位并不會發生旋轉,僅僅是等相位線的彎曲而產生畸變[20,21],這是由于LG 光束自身在大氣中傳輸所造成的,與聲場無關.因此,在數值模擬時,為了便于觀察由聲場引起的LG 光束相位旋轉情況,選擇數值模擬了當傳輸距離z=0,即就是LG 光束剛剛進入局域大氣介質,等相位線未彎曲時,不同傳輸高度x下的相位進行分析,故在數值模擬結果中將看不到LG 光束的相位畸變.

圖13 為LG 光束進入平面聲場擾動的均勻介質其相位的變化情況,圖中x為LG 光束的傳輸高度.由圖13(a)和圖13(b)可知,當LG 光束通過無聲場的介質時,其相位會由于折射率的變化發生旋轉.由圖13(b)和圖13(c)可知,加入聲場后,不同高度的LG 光束的相位與未加入聲場時相比發生了旋轉.并且LG 光束的相位隨高度的變化趨勢和聲波影響介質折射率隨高度的變化趨勢相同,都是圍繞無聲場時的情況周期性波動,其相位總是會回到初始相位(x=0).因此聲波可以影響渦旋光束的相位,使其相位周期性旋轉.

圖13 LG 光束進入聲場擾動的均勻介質相位隨高度變化情況 (a)未進入聲場;(b)進入無聲場介質;(c)進入平面聲場擾動的均勻介質Fig.13.The phase variation of LG beam entering the homogeneous medium disturbed by the sound field: (a)Without entering the sound field;(b)entering the medium without sound field;(c)entering the homogeneous medium disturbed by the plane sound field.

圖14 為LG 光束進入平面聲波擾動的大氣非均勻介質其相位的變化情況.由圖14(a)可知,當沒有聲場擾動時,由于非均勻大氣介質每層的折射率本身會隨高度的變化而變化,因此其相位也會隨著高度的變化而發生變化.由圖14(a)和圖14(b)對比可知,在非均勻大氣介質中加入聲波后,不同高度的LG 光束的相位與未加入聲波的相位相比同樣發生了旋轉,但與均勻介質不同的是,通過均勻介質的相位總是會旋轉回到初始相位也就是x=0 時的相位.但在非均勻大氣介質中,由于其折射率隨高度的變化,因此,其相位是不會回到初始相位(x=0)的.

圖14 LG 光束進入聲場擾動的非均勻介質相位隨高度變化情況 (a)進入無聲場非均勻介質;(b)進入平面聲場擾動的非均勻介質Fig.14.The phase variation of the LG beam entering the inhomogeneous medium disturbed by the sound field: (a)Entering the inhomogeneous medium without sound field;(b)entering the inhomogeneous medium with plane sound field disturbance.

4 結論

本文主要研究了利用平面聲場擾動大氣介質,對平面光波和LG 光束的相位傳輸特性的影響.首先推導了不同聲源擾動情況下,各項同性均勻大氣的折射率隨聲壓變化的關系式.對其進行數值模擬后發現,平面波聲源擾動后其折射率分布呈層均勻的周期性分布;而柱面波聲源和球面波聲源擾動后的折射率分布都呈現四分之一圓形分布,每層的折射率分布不均勻.因此,在平面波聲源的擾動下,大氣折射率的分布會因聲場的影響而改變為規律性分布.并推導了在非均勻大氣介質中大氣折射率隨平面聲波聲壓變化的關系式.數值模擬結果表明,當從大氣壓強縱向變化的大尺度角度來看,由于大氣壓強變化劇烈,遠大于聲壓,因此,聲波對非均勻大氣折射率的分布情況影響并不是很明顯.但是從小尺度角度,可以明顯看到其折射率隨高度的增加逐漸減小,并且隨聲壓的影響而產生波動.當改變聲波頻率時,會影響折射率的分布;改變聲壓時,會影響介質折射率的變化大小,聲壓越大,折射率的改變越大.隨后建立了平面光波通過平面聲場擾動的大氣介質模型,數值模擬發現,對于均勻大氣介質而言,平面聲波擾動后,平面光波的光程和相位分布會發生改變,使其呈規律的周期性波動.當平面光波未通過聲場或通過沒有聲場的大氣介質時,其等相位面是一個平面;當平面光波通過聲場后,等相位面會因聲波的波動而變為波浪形狀.對于非均勻大氣介質而言,當平面光波未通過聲場時,其相位變化為0;通過無聲場的非均勻大氣介質時,光程會由一個垂直的平面變為傾斜的平面.加入聲場后,其相位變化會隨著聲波的變化規律產生周期性的變化,光程整體與未加入聲場時相同,為傾斜的平面,但是由于聲波的擾動,光程會產生波動.最后,建立了LG 光束通過平面聲場擾動的大氣介質模型,數值模擬結果表明,對于均勻大氣介質而言,加入聲場后,不同高度的LG 光束的相位與未加入聲場時相比發生了旋轉,并且會圍繞無聲場時的情況周期性波動,使其相位總是回到初始相位.對于非均勻大氣介質而言,加入聲波后,不同高度的LG 光束的相位與未加入聲波的相位相比同樣發生了旋轉.但與均勻介質不同的是,在非均勻大氣介質中,由于其折射率隨高度的變化,因此其相位是不會回到初始相位的.本文的結論證明了,在大氣介質中可以利用平面聲場去調控光束的相位,為后續通過利用聲波主動控制大氣信道,從而有效改善光在大氣信道中的傳輸特性提供了理論支撐.