基于νt 尺度方程的雷諾應力模型初步研究*

陳彥君 王圣業 符翔 劉偉

(國防科技大學空天科學學院,長沙 410073)

雷諾應力模型一直是湍流模式理論研究的前沿和難點,而提高數值魯棒性是其廣泛開展工程應用的關鍵.借鑒經典的 k-kL湍流模型,本文構造了一種新的 νt 尺度方程,并將其用于耦合SSG/LRR 模式從而形成SSG/LRR-νt 雷諾應力模型.通過零壓力梯度湍流平板邊界層、翼型尾跡流、超聲速方腔流和NACA0012 翼型45°迎角分離流動4 個標準算例對新模型進行了驗證與確認.同時,為了測試模型的數值魯棒性,采用高精度數值格式對模型方程進行了離散求解,并與SA 渦粘模型和SSG/LRR-ω 雷諾應力模型進行對比.結果表明: νt 尺度方程在黏性壁面邊界嚴格為零,相比傳統的 ω 尺度,具有更好的數值魯棒性,從而可實現新模型與高精度數值格式的匹配并獲得更好的網格收斂效率;新模型具備雷諾應力模型的傳統優勢,可對拐角流動進行很好的模擬;具備尺度自適應能力,對于非定常分離流動的模擬存在一定的潛力.

1 引言

湍流是經典物理學中著名的難題,數百年來人們一直致力于對它的研究.其中,湍流模式理論是人們研究湍流運動規律得到的主要成果之一,并且依托飛速發展的計算機技術,成為目前解決實際湍流問題的主要手段.無論是雷諾平均模擬(RANS),大渦數值模擬(LES)還是混合RANS/LES 模擬,核心均是對雷諾應力張量(或亞格子應力張量)進行封閉建模.這包括基于Boussinesq 假設的線性渦粘模式,直接建立應力輸運方程的雷諾應力模式(或亞格子應力模式)以及其他非線性模式等[1].

本文主要研究RANS 方法中的雷諾應力模式(RSM),它由周培源先生[2,3]首次建立起一般方程框架.RSM相比目前廣泛應用的線性渦黏模式,在諸多方面具備優勢,如曲壁面流動、旋轉/渦流動、拐角流動等[1,4,5].但也存在明顯不足,包括計算花費和數值穩定性兩個主要方面.前者屬于固有問題,是需要離散求解更多的偏微分方程所導致的.但當前隨著計算機硬件水平的巨大提升,其超出渦黏模式的計算代價已經可以接受,且遠未到達LES 的需求水平.而對于后者,包括美國宇航局(NASA)[6]、德國宇航局(DLR)[7]等均指出需要持續開展研究投入.

無論何種形式的RSM,方程中往往仍包含一個未知量,即各向同性耗散率ε.在物理上實質是需要提供一個標量的湍流長度尺度或時間尺度.多年實踐表明,尺度提供方程對RSM 的數值穩定性有非常大的影響.例如,早期的RSM 往往耦合ε尺度方程求解[8].但與在k-ε模型中類似,ε方程存在兩個問題[9]: 一是缺乏自然邊界條件;二是在壁面附近需要處理高階關聯,易造成數值剛性問題.這些問題使得早期的RSM 應用效果很不理想.Wilcox[1]發展的ω方程是在尺度建模中里程碑式的工作,它避免了ε方程在近壁附近的數值剛性問題.其后Menter[10]又進一步發展了ω尺度方程,通過設計過渡函數,使得ω尺度方程在遠場也具良好表現(過渡到類似ε模型,減弱來流湍流度敏感性).2005年,Eisfeld和Brodersen[7]將Menter 的ω尺度方程用于RSM,提出了SSG/LRR-ω模型.該模型經過10 多年的研究和改進,在很多工程問題中取得了良好的模擬效果[11-14].

盡管如此,ω方程本身在理論上仍然存在一些問題.Togiti和Eisfeld[15]指出ω在壁面附近存在奇性且缺乏自然邊界條件.因此將g方程[9](g1/在壁面邊界為0)用于RSM(SSG/LRR-g模型),并表明可降低對近壁區網格分辨率的依賴.其后,Eisfeld和Togiti等[14]又將Ilinca和Pelletier[16]發展的 l og(ω)尺度變換用于RSM(SSG/LRR-log(ω)模型),同樣獲得了明顯的魯棒性提升.Abdol-Hamid[17]也提出了將kL尺度方程用于RSM 的思路,但并未深入研究.舒博文等[18]對SSG/LRR-g模型在多個典型航空問題中進行了應用研究,指出了該模型預測分離問題的優秀能力.本文作者借鑒 Rotta[19],Menter和Egorov[20]以 及 Abdol-Hamid等[21]發展的k-kL模型,推導了新的νt尺度方程(νt),并用于RSM.該尺度方程從變量形式上看,類似Spalart-Allmaras (SA)模型[22],在壁面邊界為0 具有更好的數值潛力.同時相比g方程和l og(ω)方程,具備尺度自適應能力,還可用于非定常分離問題的模擬.

2 湍流模型及數值方法

2.1 νt 尺度方程

方程右端依次為生成項、耗散項、耗散修正項和擴散項.“—”代表一般Reynolds 平均量;“∧”代表Favre 平均量.dw為網格到壁面的距離.

LvK為von Karman 長度尺度,通過下式得到:

同時,為防止出現非物理現象,需要對LvK進行限制: 0.1Lt＜LvK＜1.3κdwfp.其中,限制函數fp為

耗散修正項中的經驗函數fε由下式得到:

其余經驗系數通過豐富的湍流算例進行標定.本文分別取κ0.41,Cp10.775,Cp21.47,Cε和σν2/3.最后需要指出,νt在壁面邊界為0;在遠場或入口處根據實際的湍流黏性比賦值,缺省值為 0.009ν.

2.2 SSG/LRR-νt 雷諾應力模型

對NS 方程進行Reynolds 平均后會出現雷諾應力項.傳統線性渦黏模型,如SA 模型,基于Boussinesq 假設對雷諾應力項封閉;而雷諾應力模型則是直接建立雷諾應力輸運方程:

雷諾應力模型中,最關鍵的是再分配項.本文采用Eisfeld和Brodersen[7]發展的SSG/LRR 混合模型,即通過過渡函數F實現在近壁區使用Launder-Reece-Rodi 模型[8],在遠離壁面過渡到Speziale-Sarkar-Gatski 模型[23].

表1 再分配項系數Table 1.Coefficients in redistribution item.

過渡函數根據Menter[10]在SST 模型中提出的F2得到:同時,擴散項系數也通過該函數得到:σR0.5F+0.44(1-F)/(3Cμ).

2.3 高精度數值方法

本文采用團隊自研的高精度CFD 軟件[4,24,25].該軟件主要基于單元中心型有限差分格式,包括二階精度MUSCL 格式、五階和七階WCNS 系列高階精度格式[26]等.需要強調的是,本文對NS 方程和湍流模型方程求解采用松耦合模式,但針對兩者的空間離散精度是一致的.換句話說,湍流模型將同樣采用高階精度離散,以此驗證新模型的數值魯棒性.另一方面,本文采用鄧小剛等[27]提出的對稱守恒網格導數算法(SCMM)計算網格導數,以降低網格變換引入的數值誤差.

3 計算結果

3.1 零壓力梯度湍流平板邊界層

零壓力梯度湍流平板邊界層是湍流模型研究中最基礎的驗證算例.本節參考NASA 湍流模型資源網站[28]中推薦的流動條件: 入口馬赫數Mainlet0.2,每米雷諾數Rem5×106.通過控制第一層網格距壁面的高度,生成了5 套網格.網格輪廓見圖1(a),其中平板長度為2 m.

圖1 平板邊界層網格收斂性分析 (a)平板網格示意圖;(b)阻力系數結果Fig.1.Convergence analysis on plate boundary layer meshs: (a)Sketch of plate mesh;(b)drag coefficient results.

圖1(b)給出了SSG/LRR-νt模型在5 套網格上得到的阻力系數結果.該模型分別用二階MUSCL 格式和七階WCNS 格式進行離散求解.同時添加了二階和七階精度下的SA 模型和二階精度下的SSG/LRR-ω模型進行了對比.值得一提的是,SSG/LRR-ω模型由于ω在壁面附近存在奇性,無法搭配低耗散的七階格式進行穩定的計算.而νt尺度在壁面邊界嚴格為零,使得整個模型具有更好的魯棒性.再搭配高精度數值格式,可實現類似SA 模型的優秀網格收斂特性.

圖2 給出了SSG/LRR-νt模型結合七階WCNS格式在0.37 網格上的計算結果.在x0.97處速度型與經典的Coles 公式符合;整個平板上摩阻分布與經驗公式符合.證明了SSG/LRR-νt模型能夠對最基礎的湍流平板邊界層進行有效模擬.

圖2 SSG/LRR-νt 模型在=0.37 網格上的結果 (a)x=0.97 處速度型;(b)摩擦阻力分布Fig.2.Results of SSG/LRR-νt model on grid of=0.37 : (a)u-velocity profile at x=0.97;(b)friction drag coefficient along the plate.

圖3 表明,相同網格時,七階精度格式的計算花費約為二階格式的1.8 倍,但隨著網格尺度的減小,高精度格式的計算誤差下降更快.所以,在達到相同誤差水平的條件下,七階格式的花費比二階格式小,即效率更高.另一方面,相同網格時,SSG/LRR-νt模型的計算花費約是SA 模型的1.6 倍.其花費的增加比率小于方程數的增加(前者共12 個偏微分方程;后者6 個),說明SSG/LRR-νt模型的求解效率是良好的.

圖3 x=0.97 處摩擦阻力誤差與網格尺度和計算時間的關系 (a)誤差與網格尺度;(b)誤差與計算時間Fig.3.Relationship between friction drag error at x=0.97 and grid scale as well as CPU time: (a)Error vs.grid scale;(b)error vs.CPU time.

3.2 翼型尾跡流

翼型尾跡流同樣來自NASA 湍流模型資源網站,用來考核湍流模型在自由剪切流動中對雷諾應力分量的模擬準確度.流動條件為: 來流馬赫數Ma∞0.088,基于弦長的雷諾數Rec1.2×106.網格采用該網站提供的粗網格(2 81×49),如圖4 所示.

圖4 翼型尾跡流網格及切面Fig.4.Airfoil wake mesh and slices.

圖5 給出了圖4 所示切面上雷諾切應力分布.與平板算例類似,采用七階WCNS 離散,僅在粗網格上即可實現較好的模擬效果.證明了高精度離散對于湍流量的預測同樣有意義.SSG/LRR-νt模型由于更好的數值魯棒性,能夠成功與高精度格式結合進行求解.而SSG/LRR-ω模型卻無法穩定求解.

圖5 翼型尾跡流雷諾切應力分布Fig.5.Reynolds shear stress distribution on airfoil wake case.

3.3 超聲速方腔流

方腔是典型的考察拐角流動模擬能力的算例.對于傳統基于Boussinesq 假設的湍流模型,無法分辨雷諾正應力各向異性,導致很難得到正確的拐角渦結構.該算例的條件設置和網格同樣參考NASA湍流模型資源網站.入口馬赫數Mainlet3.9,基于方腔寬度的雷諾數ReD5.08×105,方腔的寬或高D25.4 mm.由于方腔為對稱結構,可取四分之一部分進行計算.網格和邊界條件設置如圖6(a)所示.

圖6 方腔流動示意圖 (a)計算網格及邊界條件;(b)SA 模型在 x/D=50 面上的速度矢量圖;(c)SSG/LRR-ω 模型在x/D=50 面上的速度矢量圖;(d)SSG/LRR-νt 模型在 x/D=50 面上的速度矢量圖Fig.6.Sketch of square duct flow: (a)Mesh and boundary conditions;(b)velocity vector distributions on x/D=50 by SA;(c)velocity vector distributions on x/D=50 by SSG/LRR-ω;(d)velocity vector distributions on x/D=50 by SSG/LRR-νt .

圖6(b)—(d)給出了三種湍流模型在x/D50剖面上的速度矢量圖,顏色通過橫向速度大小標識.在拐角處,會形成一對反向旋轉且對稱的角渦.對于SA 這類的線性渦黏模型而言,是無法有效捕捉到的.而對于雷諾應力模型,則天然具備優勢.本文作者發展的SSG/LRR-νt模型同樣繼承了該特點.

圖7 給出了x/D40和50 兩個剖面上,流向速度沿對角線的分布.網格采用的 2 41×41×41 的粗網格.SSG/LRR-νt模型由于可以進行高精度離散,因而獲得了較好的結果.而SSG/LRR-ω模型則無法采用七階WCNS 格式穩定求解.

圖7 流向速度沿對角線的分布 (a)x/D=40;(b)x/D=50Fig.7.Distribution of u-velocity along diagonal: (a)x/D=40;(b)x/D=50 .

3.4 NACA0012 翼型45°迎角分離流動

最后考察非定常分離湍流問題.算例選擇45°迎角的NACA0012 翼型,來流馬赫數Ma∞0.5,基于弦長的雷諾數Rec1.3×106.該算例常被用來考核像分離渦模擬(DES)等混合RANS/LES模型[29],而對于單純的RANS 模型而言具有挑戰性.圖8(a)給出了計算網格,參考Strelets[29]工作,網格節點數為 1 93×103×31,展向長度為1c.計算采用非定常雙時間步法,每個外迭代步推進0.01T(Tc/U∞).計算 5 0T后開始平均統計,一直到 1 50T結束.圖8(b)對比了SSG/LRR-νt和SA模型得到的平均壓力系數分布.可以看到: SA 模型明顯高估了背風面(上表面)的吸力;而SSG/LRR-νt模型給出了與實驗符合的結果.

圖8 NACA0012 翼型網格及表面壓力分布對比Fig.8.NACA0012 airfoil mesh and comparison of surface pressure distributions.

圖9 分別給出了兩種模型在100T時刻得到的展向渦量云圖.傳統的RANS 模型會在分離區高估渦黏性,導致小尺度渦結構被耗散掉.而本文提出的SSG/LRR-νt模型,νt尺度方程參考了k-kL模型具有尺度自適應能力((1)式生成項中包含湍流長度尺度和von Karman 長度尺度的比值).因而在WCNS 格式的配合下,分辨出了豐富的渦結構.

圖9 展向渦量云圖Fig.9.Spanwise vorticity distributions.

上述特點反應在氣動力上,如圖10 所示.由于SA 模型只保留了前緣和后緣的脫體渦,因而氣動力隨時間的變化類似簡諧振蕩,并且偏離實驗值.而SSG/LRR-νt模型得到的氣動力變化更符合湍流隨機性的特點,且在實驗值周圍振蕩.

圖10 氣動力隨時間的變化過程 (a)升力系數;(b)阻力系數Fig.10.History of aerodynamic forces over time: (a)Lift coefficient;(b)Drag coefficient.

4 結論

本文參考k-kL模型推導了一種νt尺度方程,并用于耦合SSG/LRR 模型.形成的新型雷諾應力模型稱為SSG/LRR-νt模型.該模型通過4 個標準算例進行了初步研究.結合高精度WCNS格式,并與SA 渦黏模型和SSG/LRR-ω雷諾應力模型對比,得到以下結論:

1)νt尺度方程在黏性壁面具有嚴格為零的邊界條件,相比傳統的ω尺度,可減小因數值奇性帶來的不穩定;

2)νt尺度方程與SA 模型類似,在數值耗散較小的情況下仍能穩定求解.這使得SSG/LRR-νt模型能夠與高精度數值格式結合,從而獲得更好的網格收斂效率;

3)SSG/LRR-νt模型具備雷諾應力模型的傳統優勢,可對拐角流動進行很好的模擬;

4)SSG/LRR-νtt 模型具備尺度自適應能力,對于非定常分離流動的模擬存在一定的潛力.

本文對SSG/LRR-νt模型的研究尚局限在簡單算例.在今后的工作中,還需要進行更為廣泛的驗證與確認,包括阻力預測會議(DPW)標模、高升力預測會議(HiLiftPW)標模、國際渦流實驗(VFE)標模等.

感謝中山大學航空學院王光學研究員的討論.