一類帶時滯的計算機病毒模型的最優控制

李小妮

（陜西國際商貿學院 通識學院，陜西 西安 712046）

0 引 言

病毒編制者將破壞計算機功能的數據、代碼插入計算機內，從而構成了計算機病毒。與生物學中的病毒一樣，計算機病毒在計算機內具有繁殖性、傳染性、破壞性、潛伏性、隱蔽性、可激活再生性，計算機病毒的復制能力非常強大，是由如果計算機感染計算機病毒后，計算機能夠快速地從一個用戶到另一個用戶蔓延開來，再加上計算機的迅速普及，這樣更提高了計算機病毒傳播能力，計算機病毒的爆發，對社會造成了負擔，進而對人們的經濟造成了巨大的影響，及時有效的防控措施顯得尤為重要，近年來，許多學者建立數學模型對疾病傳播規律進行研究，在預防、控制病毒傳播方面發揮了重要作用。

計算機病毒傳播規律與生物數學中流行病的傳播類似，在生物數學中，政府、公共衛生機構鼓勵民眾進行相應的預防（如戴口罩、消毒、自我隔離等）是一種及時、低成本的防控措施，信息干預可以使疫情規模變小，降低流行病爆發的峰值，因此，在計算機病毒防護中，前期的宣傳、提高人們的防護意識尤為重要。

另一方面，殺毒軟件的應用也是一種直接有效的干預措施，有助于減輕人們的負擔，控制病毒的傳播.因此，殺毒措施可以更大程度地抑制病毒傳播。

對于有關部門來說，適宜的實施計算機信息安全方面的宣傳報道與殺毒軟件的應用非常必要，將多種防控措施作為決策變量，聯合起來效果更好，因此，許多學者將宣傳報道、殺毒軟件的應用等作為控制變量，研究計算機病毒模型，由于計算機病毒有相應的潛伏期，會出現各種形式的延遲，將時滯引入模型會更貼合實際，因此，越來越多的學者研究帶時滯的計算機病毒模型。

因此，本文考慮將兩種控制變量（計算機信息安全方面的宣傳報道、殺毒軟件的應用）和時滯引入計算機病毒模型中，研究帶時滯的計算機病毒模型的最優控制問題，得到最優的控制策略。

1 模型的建立

計算機網絡是由若干個計算機節點構成的，我們將這些計算機節點分為五類，分別是容易感染病毒的節點、暴露在外面的節點、已感染病毒但還未表現出來的節點、已感染病毒并表現出來的節點、應用計算機殺毒軟件的節點、恢復到健康的節點，所有的計算機節點（包括容易感染病毒的節點、暴露在外面的節點）都會或多或少的受到惡意軟件的攻擊，當計算機感染病毒時，感染病毒的計算機節點會傳染給其他健康的計算機節點，使得計算機病毒節點增加，進而形成計算機病毒。

為了描述計算機病毒的動力學行為，我們提出如下的計算機病毒傳播模型：

其中，，I，I，I，分別代表易感節點、暴露節點、已感染病毒但還未表現出來的節點、已感染病毒并表現出來的節點、應用計算機殺毒軟件的節點、恢復到健康的節點，模型（1）中所有非負參數的生物學意義為：，，，分別表示計算機的輸入率、被病毒感染無法工作的比率、病毒感染系數、病毒感染的恢復率；β，β，β表示被病毒感染的比率；γ，γ，γ表示傳染節點恢復到健康的比率；表示已表現出來癥狀節點與未表現出來癥狀的比率（0 ≤≤1）。

由于現實生活中，所有病毒都有潛伏期，所以我們將控制變量與時滯引入模型（1），得到帶時滯的計算機病毒的最優控制模型：

其中，（），（）分別表示宣傳強度、殺毒強度；為飽和常數。

2 最優控制的存在性

本小節給出最優控制存在性的結果。

定理1：對系統（2），存在最優控制對=（，）∈及相關聯的最優狀態（，，I，I，I，），使得：

證明：

（1）控制變量（，）與控制狀態變量非負；

（2）為凸緊集，（，，，，）為凸函數；

（3）最優系統是有界的；

（4）存在常數，，使得：

3 最優控制的刻畫

本小節，首先構建 Hamilton 函數、利用 Pontryagins 最大值原理研究系統（2）的最優控制問題。

定理2：令，滿足最優控制系統（2）的控制變量，，，I，I，I，為最優狀態量，（）表示區間[，]上的示性函數，則存在伴隨量（）=（，，，，，）∈R，滿足如下伴隨方程：

其中，λ（）=0（=1，2，3），相應的最優控制為：

其中：

證明：為方便起見，令=（，，I，I，I，），（）=（，）且（）=（，，，，，），χ（）=（-），Hamilton 函數為：

令=（，）為系統（2）的最優控制，（）=（，，I，I，I，）T 為其相應的最優狀態，由Pontryagins 最大值原理可知，存在（）∈R，使得最優控制存在的一階必要條件可以表示為如下三部分：

則由Hamilton 函數的表達式可得：

化簡方程（8）可得：

由控制變量u（）（=1，2）的有界性，可得方程（5）成立；

（3）伴隨方程為

將（6）代入上式得到：

其中，λ（）=0（=1，2）為橫截條件，證畢。

4 數值模擬

本節，我們對模型（2）進行數值模擬，模型（2）的參數取值如下：=100；Δ=0.01；=3.1；=5.48×10；β=0.761 1，β=0.192 5，β=0.016 7；=0.3；=1/5.1；=0.48；γ=1/5.1；γ=，φ=0.022 1；γ=1/10；δ=0.015；=；δ=0.04；=0.1，權重=0.15，=0.025，=0.01，=0.031，=0.01，=0.01，初始值=1 000，=50，I=10，I=10，I=10，=1。

數值模擬結果如圖1所示。

圖1 最優控制與最優狀態

圖1給出了有無控制措施兩種狀態下的時間序列圖，圖1（a）給出了有控制措施、無控制措施兩種情況下，計算機病毒的暴露節點的時間序列滅絕圖。由圖1（a）可以看出，實施控制措施后，能使暴露節點迅速減少半數以上。圖1（b）給出了有控制措施、無控制措施兩種情況下，計算機病毒的已感染病毒還未表現出來的節點I的時間序列滅絕圖，由圖1（b）可以看出，實施控制措施后，雖然在時間段0 ≤≤20 有一個小的上升，但在上升之后迅速減少，在30天前后，已感染病毒還未表現出來的節點I滅絕。圖1（c）給出了有控制措施、無控制措施兩種情況下，計算機病毒的已感染病毒且已表現出來的節點I的時間序列滅絕圖，由圖1（c）可以看出，實施控制措施后，在第10 天左右有一個小的波動，但在波動之后迅速減少，在40 天前后，已感染病毒且已表現出來的節點I滅絕。圖1（d）給出了有控制措施、無控制措施兩種情況下，計算機病毒的應用計算機殺毒軟件的節點I的時間序列滅絕圖.由圖1（d）可以看出，實施控制措施后，雖然在時間段0 ≤≤5 呈現上升趨勢，但在第5天左右迅速遞減，在40 天前后，應用計算機殺毒軟件的節點I滅絕。 圖1（e）給出了兩種控制措施，的取值情況。

綜上所述，由圖1可以看出，實施控制措施后，暴露節點、已感染病毒還未表現出來的節點I、已感染病毒且已表現出來的節點I、應用計算機殺毒軟件的節點I都在時間段0 ≤≤20 之間存在拐點，并有著明顯的下降，由此可以斷定，兩種控制措施對計算機病毒模型的防控具有重要的意義。

5 結 論

計算機病毒的傳播、爆發給社會公民造成了困擾，增強人民計算機安全意識與殺毒軟件的正確使用是抑制計算機病毒傳播的重要措施。因此，本文主要研究的是一類帶時滯的計算機病毒模型的最優控制問題。首先，我們對計算機病毒模型引入決策變量和時滯，建立了新的帶時滯的計算機病毒模型的最優控制模型；其次，對該控制問題進行理論分析，給出了最優控制存在的一階必要條件。最后，對理論結果進行數值模擬，數值模擬結果可以看出，同時采取宣傳報道、殺毒軟件的使用對抑制計算機病毒有更好的效果。