精準設計 分類探究 層層變式 擊破考點
——三棱錐外接球微專題變式復習策略探究

廣東 雷雄軍 吳開震

外接球問題是培養學生直觀想象和數學運算核心素養的一個非常好的載體，因此是高考命題的熱點.縱觀近五年的全國卷試題及各地模擬卷，球的知識大都以選擇題和填空題的形式出現，綜合考查空間想象能力和運算求解能力.在一輪、二輪的復習過程中，筆者發現學生對球的相關題目有種畏難心理，不能很好地作答，究其原因主要是學生對外接球問題的本質理解不清晰以及空間想象能力差等.因此筆者對此專題進行了一個微專題梳理復習.在整理近幾年有關球的考題過程中，發現球的考題大多與三棱錐結合，考查三棱錐的外接球及其變式.因此筆者由2019年的高考真題出發，就三棱錐外接球知識展開了微專題復習，借助學生熟悉的長方體為背景層層變式，對三棱錐外接球考題從尋找球心位置這一本源角度出發進行了分類探究，通過例題及其層層變式，提升學生應對外接球考題的策略和能力.

一、母題的選取及分析

【母題】(2019·全國卷Ⅰ理·12)已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E,F分別是PA,AB的中點，∠CEF=90°，則球O的體積為( )

【解析】如圖1三棱錐P-ABC為正三棱錐，取AC的中點M，連接PM,BM，

則AC⊥PM，AC⊥BM，PM∩BM=M,可得AC⊥平面PBM，從而AC⊥PB，

又E,F分別是PA,AB的中點，所以PB∥EF.

因為∠CEF=90°,所以EF⊥CE，可得PB⊥CE，

又AC∩CE=C,所以PB⊥平面PAC，

圖1

圖2

此題在解答的過程中，由題目條件推導出側棱兩兩垂直，進而轉變為長方體的外接球問題，而長方體的體對角線為外接球的直徑，因此很容易得到球心和半徑.因為長方體有8個頂點，任選其中不共面的四個頂點構成的三棱錐，其外接球和長方體的外接球為同一個球.此類三棱錐外接球容易找到球心和半徑.筆者以此題為契機，展開了對各種三棱錐外接球球心和半徑的深入探究及其變式研究.

二、側棱垂直底面的三棱錐外接球探究及相關變式

由于長方體有8個頂點，且側棱和底面垂直，因此任意選取不共面的四個點可以構造出側棱垂直于底面的三棱錐，此時其外接球與長方體為同一個外接球，直徑為長方體的體對角線，球心為體對角線的中點.常見題型是側棱垂直于底面，且底面是直角三角形.如圖3、圖4、圖5所示.

圖3

圖4

圖5

【例題】《九章算術》中，將四個面均為直角三角形的三棱錐稱為鱉臑，若三棱錐P-ABC為鱉臑，其中PA⊥平面ABC，PA=AB=BC=3,三棱錐P-ABC的四個頂點都在球O的球面上，則該球的體積是( )

【解析】如圖6，該三棱錐有一條側棱垂直于底面且底面是直角三角形，可以將四個頂點放入正方體中,且PC為體對角線，即為外接球的直徑，中心為球心.

圖6

圖7

圖8

圖9

【解析】此題的三棱錐中側棱PA⊥底面ABC，PA長度已知,按照上面的分析只需要求出底面外接圓的半徑，由題意可知底面是等邊三角形，因此外接圓的半徑

三、正三棱錐外接球球心的探究及相關變式

正三棱錐作為一種特殊的三棱錐，其外接球問題也是常考問題，根據正三棱錐的定義，正三棱錐的四個頂點不可能為長方體的四個頂點.由于球心到底面三角形的三個頂點的距離相等，因此球心在正三棱錐的高上，如圖10所示，半徑可以在直角三角形AO1O中求解.

【例題】已知△ABC是邊長為3的等邊三角形，三棱錐P-ABC全部頂點都在表面積為16π的球O的球面上，則三棱錐P-ABC的體積的最大值為( )

圖10

由于底面三角形的截面為一個圓，因此此種題型常見的變式為圓錐的外接球問題，球心及其半徑的求法與正三棱錐一致.

設外接球半徑為R，在Rt△OO1A中，

圖11

四、正四面體外接球探究及相關變式

圖12

【常見變式】此種類型題目常見的變式是考查完美四面體(即三組對棱兩兩相等的三棱錐)外接球問題，此時等同于對應長方體的外接球如圖13所示，因此外接球的直徑為體對角線，球心為體對角線中點.當然還可以變式為一組對棱相等，其余四條棱都相等的三棱錐外接球問題，等同于對應正四棱柱外接球如圖14所示.

圖13

圖14

如圖13設對應長方體的長、寬、高分別為a,b,c，

【解析】經過分析得知該四面體為完美四面體，由上面的分析可以得出直徑

五、有兩個側面互相垂直的三棱錐外接球探究及相關變式

正方體中側面和底面垂直，因此在側面和底面中各取一個三角形可以組成有兩個面互相垂直的三棱錐如圖15所示.此題型的一般解法是先找兩個互相垂直面的外心，然后過外心分別作面的垂線，兩條垂線的交點就是三棱錐外接球的球心，如圖16所示.

圖15

圖16

【例題】已知三棱錐A-BCD中，△ABC是邊長為2的等邊三角形，DB⊥DA且平面DAB⊥平面ABC，則該三棱錐外接球的表面積為( ).

【解析】如圖17所示，Rt△DAB的外心為斜邊AB的中點O1，由于平面DAB⊥平面ABC，因此過O1且垂直平面DAB的直線為CO1，等邊△ABC的外接圓圓心為O2，O2在CO1上，因此過O2作平面ABC的垂線與CO1交于點O2，即O2為球心，O2A為球的半徑，所以

圖17

【常見變式】此種題型常見的考查變式有以下兩種：1.互相垂直的兩個面都是特殊三角形如都為等邊三角形，或者都為直角三角形等(見變式一)；2.兩個垂直的面變成不垂直而是成一個特殊角如30°，60°或者120°等(見變式二、變式三).

【變式一】已知三棱錐D-ABC中，平面DAB⊥平面ABC，△ABC和△DAB均為邊長為2的等邊三角形，則該三棱錐外接球的表面積為________.

所以外接球半徑

圖18

取AC的中點D，連接BD和SD，

則∠SDB為二面角B-AC-S的平面角，即∠SDB=120°.

因為△ABC為直角三角形，因此D為△ABC的外心，

設△SAC的外心為O1，過點D作平面ABC的垂線，過點O1作平面SAC的垂線，則交點O為球心.

由已知得，∠SDO=30°，

在△SOD中,由余弦定理得，

SO2=OD2+SD2-2OD·SD·cos∠SDO，

圖19

如果上面變式二中的△SAC是以∠ASC為直角的直角三角形，這個時候不管二面角B-AC-S的大小為多少，斜邊AC的中點到三棱錐四個頂點的距離相等，即AC的中點為球心.因此兩個共斜邊的直角三角形構成的三棱錐，其外接球的球心是公共斜邊的中點.

圖20