壓電定位平臺Hammerstein 建模與反饋線性化控制

黃 濤，羅治洪，陶桂寶*，凌明祥

（1. 重慶大學 機械與運載工程學院，重慶 400044；2. 中國工程物理研究院 總體工程研究所，四川 綿陽 621999）

1 引言

以壓電陶瓷作為驅動元件，以柔性鉸鏈作為導向放大機構的壓電定位平臺能夠提供高定位精度和快響應速度，已廣泛應用于微機械制造、微型零件的操作與裝配、超精密加工、生物工程、生命與醫療科學、光學調整、原子力顯微鏡、掃描隧道顯微鏡、$導體制造設備以及光電等領域［1］。然而，壓電陶瓷存在固有的遲滯非線性特性，使得以壓電陶瓷為主要驅動元件的壓電定位平臺的輸入量和輸出量之間存在嚴重的遲滯非線性特性。這嚴重影響壓電定位平臺的定位和跟蹤精度，甚至會導致控制系統的不穩定［2］。由于遲滯非線性特性的復雜性，對其進行遲滯建模和補償控制是一項具有挑戰性的工作。

遲滯模型一般被分為三大類：物理類遲滯模型、現象類遲滯模型和智能類遲滯模型。物理類遲滯模型是基于壓電材料的物理特性建立的遲滯模型，如Jiles-Atherton 模型［3］等。現象類遲滯模型根據數學結構的不同分為微分類遲滯模型和積分類遲滯模型。微分類遲滯模型有Duhem模 型［4］、Dahl 模 型［5］、Bouc-Wen 模 型［6］等。積 分類 遲 滯 模 型 有Preisach 模 型［7］、Prandtl-Ishlinskii（PI）模 型［8-9］和Krasnosel’skii-Pokrovskii 模 型［10］等。智能類遲滯模型有基于人工神經網絡的遲滯模型［11］、基于模糊系統的遲滯模型［12］和基于支持向量機的遲滯模型［13］等。其中，Prandtl-Ishlinskii 模型結構簡單且擁有具體的解析逆，被廣泛應用于遲滯建模中［14］。但PI 模型只能描述靜態的遲滯模型，因此，大量學者提出改進的PI 模型。如Yang 等［15］在PI 模型的基礎 上，將play 算子改為與速率有關的算子，得到一個與速率相關的PI模型。然而，此類改進的模型使其結構復雜化，增加模型反演的數學推導難度。建立結構簡單且能描述與速率相關的遲滯特性的模型是一個難題。近年來，有學者提出能準確描述遲滯非線性特性的Hammerstein 模型，其由靜態遲滯非線性模型和線性動力學模型級聯而成［16-17］。

針對遲滯非線性特性的控制方法可大致分為三類：反饋控制、前饋控制以及前饋反饋復合控制。反饋控制直接設計非線性控制器驅動研究對象，使其與期望的軌跡信號保持一致［18］。這種控制方法不需要建立遲滯逆模型，但直接構建反饋控制器很復雜，且構建的反饋控制器很難保證系統穩定性。為了克服遲滯非線性特性，一些學者提出基于遲滯逆模型的前饋補償控制方法。如Shan 等［19］提出動態遲滯非線性模型和基于遲滯逆模型的前饋補償控制方法。前饋補償控制方法具有結構簡單等優點，但其依賴于遲滯逆模型的精度。當遲滯逆模型精度不高時，基于前饋控制方法設計的控制器效果不佳。且當受到外部干擾時，設計的控制器會受到嚴重的影響。針對此問題，一些學者提出前饋反饋復合控制方法。前饋反饋復合控制方法是在研究對象前級聯一個遲滯逆模型，先將非線性系統轉為線性系統，然后利用反饋控制方法對系統進行閉環控制。如Fan 等［20］提出一種前饋反饋復合控制策略克服壓電定位平臺的遲滯非線性特性，實現平臺的寬帶寬跟蹤控制。前饋反饋復合控制是前饋和反饋控制方法相結合的一種控制方案，比單一的前饋或反饋控制更有優勢［21］，是目前應用最廣泛的控制方法。但其存在遲滯逆模型的數學推導很難，且遲滯逆模型的精度一般不高等問題，這影響系統定位與跟蹤精度。因此，需要研究不基于遲滯逆模型的控制方法，目前這方面的研究還比較少。

針對壓電定位平臺輸入量與輸出量之間的遲滯非線性特性，本文提出一種基于Hammerstein 結構的遲滯建模方法及基于此模型的輸入-輸出反饋線性化控制策略。首先，分析壓電定位平臺輸入量與輸出量之間的遲滯非線性特性，采用Hammerstein 模型精確描述遲滯非線性特性，并進行參數估計。其次，以基于Hammerstein 模型的輸入-輸出反饋線性化控制策略設計跟蹤控制器。最后，在壓電定位平臺上，實驗驗證所提出的模型和設計的跟蹤控制器的有效性。

2 Hammerstein 結構的遲滯建模方法

本文的研究對象為壓電定位平臺，如圖1 所示，其以壓電陶瓷作為驅動元件，以相結合的杠桿式柔性放大機構和$菱形柔性放大機構作為位移放大機構，實現位移輸出。壓電陶瓷固有的遲滯非線性特性使壓電定位平臺的輸入量與輸出量之間存在嚴重的遲滯非線性特性，如圖2 所示，其表現為非對稱特性、多值映射特性和與頻率相關特性。因此，需要建立精確的遲滯模型去描述壓電定位平臺的遲滯非線性特性，為設計遲滯補償控制器提供基礎。

圖1 壓電定位平臺Fig.1 Piezoelectric positioning stage

圖2 壓電定位平臺遲滯非線性特性曲線Fig.2 Hysteresis curves of piezoelectric positioning stage

Hammerstein 模型包含靜態遲滯非線性模型H和線性動力學模型G（s），兩者級聯在一起能描述壓電定位平臺輸入量與輸出量的遲滯非線性特性，其結構如圖3 所示。其中，u為系統的輸入（電壓），v為中間遲滯量的輸出，y為系統的輸出（壓電定位平臺位移）。PI 模型結構簡單，能準確描述靜態的遲滯非線性特性。本文將PI 模型作為Hammerstein 模型中的靜態遲滯非線性模型H。PI 模型由多個play 算子Fri[u](t)加權疊加而成，其數學表達形式為：

圖3 Hammerstein 模型結構Fig.3 Structure of Hammerstein model

其中：u（t）為系統的輸入，v（t）為中間遲滯量的輸出，a0、ai為權重參數，ri為閾值，i為閾值的序號，Fri[·]為play 算子。

u（t）作 為play 算 子 輸 入 時，play 算 子 輸 出值為：

play 算子在初始條件下為

其中：u(0)為輸入初始值，Fri[u](0)為play 算子初始輸出值。

但PI 模型只能描述對稱的遲滯環，而壓電定位平臺輸入量與輸出量之間的遲滯環具有非對稱特性。為了描述非對稱遲滯環，本文將多項式引入PI 模型中，得到修正的PI 模型（Modified PI，MPI）：

其中，m1為權重參數。

Hammerstein 結構中的線性動力學模型G（s）描述系統的線性動態特性，圖1 中壓電定位平臺的G（s）可表示為一個二階振蕩環節：

其中：ζ，ω分別為柔性模態的阻尼比和固有頻率。

根據式（5）可得時域輸入信號v（t）與輸出信號y（t）的線性常微分方程為：

由式（4）和式（6）可推導得到壓電定位平臺輸出量與輸入量之間的關系：

本文中的Hammerstein 模型由靜態的MPI模型，如式（4）和二階振蕩環節G（s）模型，如式（5）級聯而成。基于建立的模型可以得到壓電定位平臺輸出量與輸入量之間的關系，如式（7），為跟蹤控制器設計提供基礎。

在設計控制器之前，需要對建立的Hammerstein 模型的參數進行估計。以殘差平方和最小作為代價函數的非線性最小二乘法估計模型中的參數值。

3 輸入-輸出反饋線性化控制器設計

針對具有遲滯非線性特性的壓電定位平臺，本文提出一種基于Hammerstein 模型的輸入-輸出反饋線性化控制策略，將非線性系統轉化為線性系統，然后利用線性系統的技巧進行閉環控制，如圖4 所示。其中，y（t）為壓電定位平臺的位移輸出，u（t）為控制輸入電壓，w（t）為設計的一個新輸入，r（t）為期望軌跡信號，f（t）為模型中的非線性部分，e（t）為跟蹤誤差。

圖4 輸入-輸出反饋線性化控制策略方框圖Fig.4 Block diagram of input-output feedback linearization control strategy

要使得壓電定位平臺的輸出y（t）跟蹤一個期望軌跡r（t）（期望軌跡r（t）及其對時間的足夠高階導數已知且有界），需要找到輸出y（t）與控制輸入u（t）之間的一個簡單而直接的關系，從而設計控制輸入u（t）來控制輸出y（t）的跟蹤性態。但壓電定位平臺的輸出y（t）只是通過非線性方程間接地依賴于控制輸入u（t），要找到合適的控制輸入u（t）來控制輸出y（t）的跟蹤性態并不容易。因此，本文利用輸入-輸出反饋線性化策略先假設設計一個控制輸入u（t），其表達式中包含一個新輸入w（t），使輸出y（t）與新輸入w（t）之間是一個簡單的線性關系，接著使用線性控制技巧設計新輸入w（t），實現對系統的閉環控制，詳細內容如下。

基于輸入-輸出反饋線性化方法設計控制輸入：

其中：w（t）是一個待定的新輸入，f（t）是式（7）中的非線性部分，其表達式為：

將式（8）中的控制輸入u（t）代入式（7）中，得到輸出y（t）與新輸入w（t）之間關系為：

顯然，輸出y（t）與新輸入w（t）之間是一個簡單的線性關系。根據式（10）設計跟蹤控制，令跟蹤誤差e（t）=r（t）-y（t），代入上式中得到與跟蹤誤差e（t）相關的式子，即：

根據式（11），設計新輸入w（t）為：

將式（12）中設計的新輸入w（t）代入式（11）中，得到閉環系統的跟蹤誤差控制方程：

式（13）是一個指數穩定的誤差系統，只要設計合理的kP和kD能使e（t）收斂于零，閉環系統穩定，并實現輸出y（t）等于期望軌跡r（t）的目標。

4 實驗與結果

實驗裝置系統由壓電定位平臺、驅動放大器、電容位移傳感器、Speedgoat 實時控制系統、上位機構成，如圖5 所示。壓電定位平臺安裝在光學隔振基座上，以減少地面振動的影響，其中，壓電陶瓷最大行程為18 μm；柔性放大機構尺寸為50 mm×44 mm×7 mm，位移放大比為6。驅動放大器驅動最大電壓為150 V。電容位移傳感器的分辨率為2.5 nm。電容位移傳感器實時采集壓電定位平臺位置信號，通過A/D 接口輸入到Speedgoat 實時控制器中；由Speedgoat 實時控制器實現控制算法產生控制輸入信號；通過D/A 接口輸出電壓控制信號；經過驅動放大器驅動壓電定位平臺。實驗過程中測量與控制頻率均為5 KHz。

圖5 實驗裝置Fig.5 Experimental setup

4.1 遲滯模型參數估計實驗與結果

基于第二節所建立的Hammerstein 模型進行參數估計。以頻率為1～100 Hz，幅值為100 V 的掃頻信號作為輸入信號，驅動壓電定位平臺獲得辨識所需要的數據。本文選取6 個play 算子，根據獲得的實驗數據，利用非線性最小二乘法實現模型參數估計。表1 為辨識出的Hammerstein 模型參數。圖6 為分別輸入10 Hz、50 Hz、100 Hz的幅值為100 V 的正弦電壓信號時，Hammerstein 模型遲滯曲線和壓電定位平臺輸入量與輸出量之間的實際遲滯曲線的比較。表2 為不同頻率下Hammerstein 遲滯建模的均方根誤差。

表1 Hammerstein 模型參數Tab.1 Parameters of Hammerstein model

表2 模型誤差Tab.2 Model error

圖6 10 Hz、50 Hz 和100 Hz 模型驗證Fig.6 Model verification of 10 Hz，50 Hz and 100 Hz

從圖6 中Hammerstein 模型遲滯曲線與壓電定位平臺輸入量與輸出量之間的實際遲滯曲線的比較可以看出，所建立的Hammerstein 模型可以很好地擬合壓電定位平臺的遲滯非線性特性。從表2 中的模型誤差數據可以得到，在輸入頻率為100 Hz 及以下的建模均方根誤差最大為0.475 7 μm。因此，Hammerstein 模型能精確描述壓電定位平臺的遲滯非線性特性。

4.2 跟蹤控制實驗與結果

基于4.1 節中獲得的模型參數設計式（8）中的控制輸入u，接著設計合理的kP，kD，使e（t）收斂于零，實現輸出y（t）等于期望軌跡r（t）的目標。實驗過程中取kP=5.0×108，kD=0，跟蹤軌跡信號r（t）為不同頻率的正弦信號，其幅值為60 μm。圖7 為分別輸入10 Hz、50 Hz、100 Hz 的正弦跟蹤軌跡信號時，本文提出的基于Hammerstein 模型的輸入-輸出反饋線性化（Input-Output Feedback Linearization，IOFL）控制方法實驗結果、基于MRPI 模型的前饋補償控制方法實驗結果、基于MRPI 模型的前饋補償與PID 反饋復合控制方法實驗結果和跟蹤軌跡信號的比較。表3 為不同頻率輸入下三種控制方法對應的均方根誤差（Root Mean Square Error，RMSE）。

圖7 10 Hz、50 Hz 和100 Hz 跟蹤控制結果Fig.7 Tracking control results of 10 Hz，50 Hz and 100 Hz

表3 三種控制方法的均方根誤差Tab.3 Root mean square errors of three control methods

從圖7 中可以看出，基于MRPI 模型的前饋補償與PID 反饋復合控制方法和本文提出的基于Hammerstein 模型的輸入-輸出反饋線性化（IOFL）控制方法都能實現實時跟蹤控制。但本文提出的控制方法更具有優勢。從表3 中可以得到，在不同頻率正弦信號輸入下，本文提出的控制方法的跟蹤均方根誤差都小于其他兩種控制方法。雖然跟蹤均方根誤差隨頻率增加而增大，但在正弦信號輸入頻率為100 Hz 時，跟蹤均方根誤差為0.926 6 μm，能夠滿足工程實際要求；相對于基于MRPI 模型的前饋補償控制方法，跟蹤均方根誤差精度提高81.22%；相對于基于MRPI 模型的前饋補償與PID 反饋復合控制方法，跟蹤均方根誤差精度提高46.25%。

圖7 中的跟蹤控制僅僅將相同幅值的單一頻率正弦信號作為輸入信號，為了進一步驗證所設計的跟蹤控制器的有效性，將一個變幅值多頻率混合信號作為輸入信號，實驗結果如圖8 所示。從圖8 中可以看出，本文提出的基于Hammerstein 模型的輸入-輸出反饋線性化（IOFL）控制方法可以實時跟蹤變幅值多頻率混合信號，且比其他兩種控制方法更具有優勢。

圖8 混合信號跟蹤控制Fig.8 Tracking control of composite signal

5 結論

本文針對壓電定位平臺輸入量與輸出量之間的遲滯非線性特性，首先建立了一種能精確描述遲滯非線性特性的Hammerstein 模型，并進行了參數估計。模型辨識實驗結果表明，Hammerstein 模型能有效地描述壓電定位平臺的遲滯非線性特性，在頻率分別為10 Hz、50 Hz、100 Hz 的正弦輸入信號下的建模均方根誤差分別為0.475 7 μm、0.340 6 μm、0.326 0 μm。接著在所建立的Hammerstein 模型基礎上，基于輸入-輸出反饋線性化控制策略，設計跟蹤控制器。并設計基于MRPI 模型的前饋補償控制實驗和基于MRPI 模型的前饋補償與PID 反饋復合控制實驗作為對比實驗。通過向控制系統輸入幅值為60 V 的不同頻率（10 Hz、50 Hz、100 Hz）正弦信號對比三種控制方法的跟蹤性能。跟蹤實驗結果表明，基于MRPI 模型的前饋補償控制方法的跟蹤均方根誤差分別為0.544 4 μm、1.298 5 μm、4.934 7 μm。基于MRPI 模型的前饋補償與PID 反饋復合控制方法的跟蹤均方根誤差分別為0.201 9 μm、0.619 9 μm、1.723 8 μm。基于Hammerstein 模型的輸入-輸出反饋線性化（IOFL）控制方法的跟蹤均方根誤差分別為0.154 6 μm、0.498 1 μm、0.926 6 μm。通過對比發現，基于Hammerstein 模型的輸入-輸出反饋線性化（IOFL）控制方法優于其他兩種控制方法，提高了壓電定位平臺的跟蹤精度。