基于單縫衍射原理的梁彎曲法楊氏模量的測量*

滕繼慧 崔金玉 孫炳全

(營口理工學院基礎教研部 遼寧 營口 115014)

張大偉

(營口理工學院電氣工程學院 遼寧 營口 115014)

楊氏彈性模量(簡稱楊氏模量)是描述固體抗形變能力的重要物理量， 只與材料的性質有關，反映了材料彈性形變與內應力的關系，是工程技術中機械構件材料選擇的重要參數之一[1]．楊氏模量的準確測定對研究金屬材料、光纖材料、半導體、納米材料、聚合物、陶瓷、橡膠等多種材料的力學性質以及機械零部件的設計等具有重要意義[2]．楊氏彈性模量的測量實驗，國內大部分高等院校將其作為大學物理實驗課程中的實驗項目之一．因此，楊氏模量的測量實驗[3]在當前國內各大高校的大學物理實驗課程中的重要性是不言而喻的．它在培養學生掌握基本理論、鍛煉操作技能以及提高數據處理能力等方面具有非常重要的作用．楊氏模量的測量方法有多種，傳統方法有拉伸法[4]、梁彎曲法[5]、百分表法[6]、干涉條紋法[7]和動態法[8]等．隨著科學的進步，有一些新的實驗技術引入到實驗中，如光纖位移傳感器法[9]、摩爾條紋法[10]、霍爾位置傳感器[11]、激光全息法[12]和電橋法[13]等．同時，生活中常見物體的楊氏模量也有很多被研究，例如利用楊氏模量測量儀研究頭發絲[14]、醫用縫合線[15]等．通過這些研究極大的豐富了楊氏模量測定實驗項目的內容，促進了教師在實驗教學過程中積極探索的精神，同時也提高了學生在實驗過程中的積極性．

目前，采用霍爾位移傳感器測量撓度的楊氏彈性模量實驗裝置已經得到廣泛的使用．由于該儀器采用的是杠桿機構，是一種接觸式的測量方法，測量的精度和操作性均不夠理想． 為了提高測量的精度和操作的穩定性，本文中采用波長為650 nm半導體激光器作為光源，利用單縫衍射縫寬與衍射條紋間距的線性關系，測量出黃銅板的楊氏模量，計算出相對誤差，根據相對誤差結果的范圍驗證了本文方法的有效性．該實驗體現了對所學知識變通轉化的思想，提高了學生自己動手設計制作實驗設備，鍛煉和培養了學生獨立思考、分析問題和解決問題的能力．

1 實驗原理

本實驗采用彎曲法測量楊氏模量實驗的單縫衍射裝置如圖1所示，以激光(波長為λ)照射兩刀片間的狹縫，狹縫在空載時的縫寬為Z，在距離狹縫為L的接收屏上將產生衍射條紋．

圖1 單縫衍射示意圖

圖1中x為一級衍射暗條紋到中心的距離．實驗裝置圖如圖2所示，在兩個支架中間有一個底座上，底座上固定刀片1，且在底座刀片1高度可調節．設支架在梁上的兩支點間距為d．在質量均勻黃銅板(厚為a，寬為b)的中央處固定刀片2，使兩刀片間距為Z．將固定好刀片的玻璃板水平對稱地放置在支架上．兩刀片間的距離即為單縫衍射時的縫寬，基于單縫衍射原理的梁彎曲法測量楊氏模量的設備基本完成．

圖2 梁彎曲法測楊氏模量實驗裝置示意圖

將質量為M的負載放在黃銅板的中心，忽略黃銅板本身負載的重力作用使黃銅板發生微小彎曲，即自由端上升，而中心點下降，使得兩刀片間距變小，根據單縫衍射公式

Zsinφ=kλ

對于較小衍射角有

我們測量一級暗條紋間距(k=±1)則有

式中λ為激光的波長，x為衍射時形成的一級暗條紋到中心的距離，L為單縫到接收屏的距離，Z為單縫的寬度，當在黃銅板上施加不同負載(砝碼)后，該公式為

此時xn為施加第n個砝碼時形成的一級暗條紋到中心的距離，Zn為施加第n個砝碼時單縫的寬度，利用彎曲法測楊氏模量公式

可求得黃銅板的楊氏模量．其中d為兩刀口之間的距離，M為所加砝碼的質量，a為黃銅板的厚度，b為黃銅板的寬度，ΔZ(撓度)為黃銅板中心由于外力作用而下降的距離，g為重力加速度．

2 實驗方法和數據處理

2.1 實驗方法

實驗裝置包括激光發生裝置、待測楊氏模量的黃銅平板和刀片組成的單縫衍射圖像接收裝置．通過調節木塊高低可以使兩個刀片間距可變，從而形成縫寬可調的單縫，在固定2個刀片時保證兩刀片在同一平面上，形成的單縫上下邊緣要平行，從而使得單縫衍射出的圖案有效．對于單縫的長度，則要求刀片的長度要遠小于負載截面的長度，保證負載的重力能夠集中作用在刀片上，消除因刀片長度引起的負載重力被分散所造成的誤差．衍射圖像接收裝置包括坐標紙和游標卡尺測量衍射條紋間距．測量裝置實物照片如圖3所示．

圖3 梁彎曲法測楊氏模量的實驗裝置實物圖

實驗步驟：

(1)按圖2組裝和搭建實驗設備，打開半導體激光器并預熱30 s左右．

(2)首先進行粗調．目測上下兩刀片是否水平，是否彼此平行且在同一豎直平面內，以單縫為參照，調節半導體激光器的高度，使激光束、單縫在同一水平直線上，將坐標紙貼在接收屏上并放置在單縫的后方，調節接收屏與單縫的間距，直到看到明顯的衍射條紋為止．

(3)其次進行微調．固定好待測黃銅板，調節底座刀片的高度，形成合適的單縫寬度，當激光照射兩刀片形成的單縫時，在接收屏上形成明暗相間的衍射條紋．

(4)開始測量．調節單縫的寬度，在接收屏上尋找主極大和次極大，用游標卡尺測量主極大兩側一級暗條紋的間距，即中央主極大的線寬度．

(5)在待測黃銅板上依次加負載0、10、20、30、40、50 g砝碼后，測量±1級暗紋間距，并將數據記錄到表1中．

(6)用千分尺測量黃銅板的厚度a，游標卡尺測量黃銅板的寬度b，用米尺測量兩支點間距d及接收屏到單縫的距離L，并將數據記錄到表2中．

空載和負載為30 g和50 g時的衍射圖像分別如圖4所示，實驗測得數據如表1和表2所示．由圖4(a)的衍射圖樣我們可以看出，空載時中央主極大條紋寬而亮，兩側條紋具有對稱性，亮紋較窄、較暗．當增加負載時，單縫變窄，中央條紋變寬，各級條紋間距變大，如圖4(b)、(c)所示．單縫越窄，條紋間距越大，測量越精確．

圖4 單縫衍射圖樣

表1 一級衍射暗條紋位置及單縫寬度的測量

我們對黃銅的厚度、寬度、支點間距離以及屏距測量3次，測得的數據如表2所示．

表2 黃銅板的幾何尺寸及屏距的測量

2.2 實驗數據處理

用逐差法對表1的數據進行處理，計算出黃銅板在M=30 g的作用下產生的位移量ΔZ

得到黃銅板的撓度為

ΔZ=0.529×10-3m

根據楊氏模量公式求出黃銅板的楊氏模量為

已知黃銅板樣品的楊氏模量的標準值為

E0=10.55×1010N/m2

實驗相對誤差為

與霍爾位置傳感器的彎曲法測量金屬楊氏模量的實驗相比，該實驗優點在于不存在加減碼時引起的微小擺動，并且讀數簡單，待測黃銅板和單縫相連，更具有穩定性、可重復性．實驗操作中由于負載對橫梁的受力面積較大，不能保證中心點受力，從而使負載對單縫的寬度有影響，造成加載不同負載時黃銅板的撓度測量有誤差．

3 總結

本文通過梁彎曲法，利用自制的簡易裝置來測量微小形變量，既可以測量金屬材質黃銅板的楊氏模量，也可以測量合金材料以及其他固體材料的楊氏模量，例如合金金屬板和玻璃板等．該實驗不但拓展了測量楊氏模量的新方法，同時也加深了學生對于楊氏模量原理的進一步理解．通過自制相關的設備裝置，鍛煉了學生動手能力、處理分析能力、解決問題的能力，培養了學生利用所學知識進行自主創新的思維．實驗中將黃銅板的微小形變量轉化為狹縫改變量，利用單縫衍射裝置將微小形變量進行測量，實驗裝置較為簡便，實驗現象直觀明顯，原理通俗易懂，操作過程簡單．適合一般的理工科大學生用來做學生實驗，具有一定的實用價值．