Kerr-Newman 黑洞周圍的精確光子軌道

李大剛，馮啟敏

西華師范大學

2019 年，LIGO 事件視界望遠鏡為我們提供了一個超大質量黑洞周圍的光學圖樣[1-2]，這是人類首次直接觀察到黑洞的樣貌。據此我們可以看到黑洞周圍有一個明亮的光環，中間的黑色區域就稱為黑洞的陰影。這是一個由質量M 和角動量J 的真空愛因斯坦場方程的Kerr 解所描述的黑洞，沒有其他參數（如電荷參數）。對于光子運動的研究可以幫助我們探索時空的幾何性質。不穩定的光子軌道定義了黑洞捕獲和非捕獲之間的邊界，對這些軌道的研究，也可以幫助我們更好地研究黑洞陰影[3-4]。但由于時空對稱性所導致的數學上的困難，對于大多數的光子軌道研究都只能得到數值解。另一方面，對于穩定的光子軌道的研究也可以幫助我們分析吸積盤的光學外觀[5]。對于黑洞陰影近年來有很多的觀測與理論研究。黑洞的發現在某種程度上說明了廣義相對論這一引力理論的正確性，但為進一步驗證廣義相對論這一引力理論的正確性以及進一步探索在更具一般性時空的幾何性質，我們有必要研究帶電軸對稱黑洞周圍的光子軌道，特別是在彎曲時空中光子軌道與黑洞參數之間的精確關系[6]。Aydin Tavlayan 和 Bayram Tekin 以Kerr 黑洞為研究對象，借助Fintan D. Ryan 所提出的有效傾角的定義再結合徑向方程得到了光子軌道半徑與黑洞轉動參數之間所滿足的關系，這是一個一元六次方程。若能求解這一方程就可以得到光子軌道半徑與轉動參數之間的精確關系。但由于高于四階的一元方程不存在根式解，因此對于這一六階方程的求解就需要一些巧妙的方法。在本文中，借助Aydin Tavlayan 和Bayram Tekin 的這一方法，我們分析了Kerr-Newman黑洞周圍的光子軌道與黑洞參數之間的精確關系。我們發現，對于Kerr-Newman 黑洞，光子軌道半徑與黑洞的轉動參數以及電荷參數之間同樣滿足一個一元六次方程，這個一元六次方程可以被分解為一個一元四次方程與一個一元二次方程乘積的形式，二次方程部分給出視界內部光子軌道半徑與轉動參數以及電荷參數之間的關系，四次方程部分有兩個實根以及兩個沒有物理意義的復根。眾所周知，在軸對稱黑洞外部有兩個光子軌道，一個軌道的光子運動方向與黑洞轉動方向同向，稱其為順行軌道，而另一個軌道的光子運動方向與黑洞轉動方向反向，稱其為逆行軌道[7]。存在兩個光子軌道以及光子運動方向的原因Edward Teo在文獻[8]中有比較詳細的描述。而四次方程的兩個實根恰好分別表示順行軌道以及逆行軌道的半徑與轉動參數以及電荷參數之間的關系。這一方法同樣可以推廣到Kerr-Newman-Kasuya 黑洞和Kerr-Sen 黑洞。隨后，我們描繪出了光子軌道半徑與轉動參數以及電荷參數之間的關系圖像。最后，我們分析了光子軌道的穩定性問題，并做了簡要總結與討論。

1 Kerr-Newman 黑洞周圍的精確球形光子軌道及其穩定性

在標準的 Boyer-Lindquist 坐標系下，Kerr-Newman 時空的線元可以表示為：

其中，

為了得到光子在Kerr-Newman 黑洞周圍的運動方程，對哈密頓雅可比方程分離變量后可得：

其中，

這里E 表示光子的能量，λ表示仿射參量，Lz表示光子角動量的z 分量，K 表示卡特常數。在后文中，我們令我們分別稱u、q為轉動參數與電荷參數。對于圓形的光子軌道需要滿足條件由此可得以下兩組解：

但是文獻[8]告訴我們當卡特常數小于零時是非物理的，因此我們只討論第二組解并借助有效傾角的定義

令v= sin2i，則可得到如下的一元六次方程：

僅當q=0 時，這便回到了Kerr 時空下光子軌道半徑與轉動參數所滿足的關系，由于轉動參數u的存在，這依然是一個一元六次方程；僅當u=0 時，便得到了Reissner-Nordstrom 時空下光子軌道半徑與轉動參數所滿足的關系，此時是一個一元四次方程，如下：

可以解得：

當u=0 且q=0，得到Schwarzschild 時空下光子軌道半徑與黑洞質量所滿足的一元二次方程，且是一個完全平方的形式：

其結果為我們熟知的x=3，或r=3M，即在Schwarzschild 黑洞周圍可以存在一個r=3m 的圓形光子軌道。將（13）式分解為如下的形式：

A、B、C、D、E表示待定系數，我們發現此時

由于v= sin2i，因此0＜v＜1；對于v＜1不難證明是恒成立的，不過要使得0＜v，u要滿足如下范圍：

對于非極端黑洞情況，還要滿足u＜1-q。另外對于電荷參數q所滿足的范圍，當轉動參數u介于0到0.5 或者介于0.5 到1 時，電荷參數q 滿足不同的范圍，下面以u等于0.25、0.5 和0.75 為例，畫出v隨電荷參數q的圖像。

圖1 Kerr-Newman黑洞參數v當轉動參數取不同值時與電荷參數之間的關系圖

當0 ＜u＜0.5， 要 滿 足0 ＜v， 則0 ＜q當0.5 ＜u＜1，要滿足0 ＜v，則0 ＜q＜1-u。由于方程（14）及其解太復雜，在本文中僅給出方程（14）各待定系數與轉動參數以及電荷參數之間的關系。

由此可以通過求解方程（14）得到Kerr-Newman黑洞周圍光子軌道半徑與其轉動參數以及電荷參數之間的關系，下面給出當電荷參數取某些特定值時光子軌道半徑與轉動參數的圖像。

圖2 Kerr-Newman 黑洞周圍光子軌道半徑在不同電荷參數時與轉動參數之間的關系

三條曲線從上到下分別表示逆行、順行和視界內部的光子軌道，上面幾幅圖分別表示電荷參數取0、0.125、0.25、0.5、0.67，相應的轉動參數范圍為[0,1]，[8/27，7/8]，[49/108，3/4]，[25/54，1/2]，[242/729，1/3]。當q=0，則回到了Kerr 黑洞的情況。

圖3 Kerr-Newman 黑洞周圍光子軌道半徑在不同轉動參數時與電荷參數之間的關系

三條曲線從上到下依然分別表示逆行、順行和視界內部的光子軌道，上面幾幅圖分別表示轉動參數取0、0.125、0.25、0.5、0.67 時，相應的電荷參數范圍 為[0,1]，[0,0.0452]，[0,0.1005]，[0,0.5]，[0,0.33]。當u=0，則回到了Reissner-Nordstrom黑洞的情況。

2 結論

帶電軸對稱黑洞附近的光子運動對于天體物理學很重要，為了研究更具一般性時空的幾何結構，本文基于愛因斯坦的廣義相對論以及麥克斯韋理論得到的Kerr-Newman 黑洞，定量研究了該時空下光子軌道半徑與黑洞的電荷參數和轉動參數之間的關系以及軌道的穩定性問題，因為它所描述的時空比Kerr 時空更具一般性。到目前為止，我們已經知道Kerr 黑洞周圍的

[1] 吳學兵.史上首張黑洞照片的科學與技術[J].科學通報，2019，64(20):2082-2086.

[2] 袁業飛，唐澤源.事件視界望遠鏡對近鄰星系M87 中心超大質量黑洞的成像觀測[J].科學通報，2019，64(20):2072-2076.

[3] 趙凡，賀鋒，任文輝.遙遠星體在太陽引力作用下形成的愛因斯坦環[J].大學物理，2018，37(5):49-51.

[4] 陳遠.Quintessence包圍的旋轉Hayward-de Sitter黑洞的黑洞陰影[D].蘭州：蘭州大學，2021.

[5] 劉雄輝.彎曲時空中的粒子軌跡[D].武漢：武漢大學，2018.

[6] 馬宸.Ca(?)ate-Bergliaffa黑洞最大延拓時空的時空結構與其光子球及類時穩定圓軌道研究[D].昆明：昆明理工大學，2021.

[7] 趙凡，賀鋒.Kerr 時空赤道面上零測地線方程的嚴格求解[J]. 大學物理，2018，37(7):23-24，46.

[8] E.Teo,Spherical orbits around a Kerr black hole, Gen. Rel. Grav.53, no.1,10 (2021).