多自由度液壓機械臂的虛擬分解建模及軌跡跟蹤控制

鐘凱澎，張 翼，鄧 華

(1.中南大學 高性能復雜制造國家重點實驗室，長沙 410083；2.中南大學 機電工程學院，長沙 410083)

0 引言

液壓機械臂具有結構緊湊，負重比大，靈敏度高和抗干擾能力強等優(yōu)點，被廣泛應用于各類基礎建設和維搶修作業(yè)工程中[1]。但多自由度液壓機械臂的數學模型復雜，各關節(jié)的運動學和動力學耦合嚴重，增加了各關節(jié)控制器設計的難度。

多自由度液壓機械臂一般具有閉鏈式結構和非獨立軸系驅動形式[2]，一般通過忽略液壓缸和傳動桿等剛體的動力學特性，將系統(tǒng)簡化為開鏈連桿形式再進行建模[3]。此方法可簡化動力學建模過程，但忽略液壓缸和傳動桿的影響，會增加建模誤差和影響控制器設計及控制性能。Ding等人提出利用拉格朗日原理和螺旋理論，對一種鍛造操作機工作裝置進行系統(tǒng)建模，該方法可以有效反映閉鏈結構的動力學特性[4]。但基于廣義笛卡爾坐標系所建的數學模型中，各關節(jié)狀態(tài)之間耦合嚴重，各關節(jié)的控制器很難獨立設計，需要考慮各關節(jié)控制的相互作用，控制器參數調整困難。而且，慣性矩陣和科氏力矩陣均為時變矩陣，會導致正逆動力學的運算增多。有學者表明，基于廣義笛卡爾坐標系下的串聯(lián)空間機械系統(tǒng)模型在某些狀態(tài)下存在慣性矩陣奇異的情況[5]，故以該類模型為基礎的仿真可能存在誤差。另外，對于液壓驅動系統(tǒng)而言，不能忽略關節(jié)間和液壓缸的摩擦力對系統(tǒng)帶來的誤差影響[6]。

近年，Zhu提出了一種針對多自由度，多閉鏈結構機器人的建模方法--虛擬分解理論[7]。該方法基于關節(jié)坐標系建模，避免了慣性矩陣奇異的情況，有效減少了正逆動力學的運算次數[8，9]。特別是采用虛擬分解法建立的動力學模型具有各關節(jié)運動解耦的形式，簡化了控制器設計的難度，可直接針對各關節(jié)獨立設計控制器[10，11]。

本文基于虛擬分解理論，對一種三自由度液壓機械臂進行運動學、動力學和電液比例系統(tǒng)建模，并整合得到系統(tǒng)的各關節(jié)解耦的動力學模型。在此基礎上針對每個關節(jié)獨立設計PID控制器并進行了軌跡跟蹤控制實驗，結果驗證了所提方法的有效性。

1 三自由度液壓機械臂的虛擬分解

通過設置虛擬分解點，將三自由度機械臂虛擬分解為5個子系統(tǒng)，包括2個連桿子系統(tǒng)，3個閉鏈子系統(tǒng)，如圖1(a)所示。分解后可用導向圖表示分解系統(tǒng)，如圖1(b)所示。

圖1 工作裝置虛擬分解示意圖

閉鏈1、3、5子系統(tǒng)結構類似，可將其進一步分解為兩個開鏈結構并聯(lián)的子系統(tǒng)，如圖2所示。

圖2 閉鏈結構分解圖

虛擬分解后，對各子系統(tǒng)剛體標記對應的固定坐標系，用于描述運動和力的方向。在每個閉鏈系統(tǒng)的兩端增設兩個坐標系

用于描述閉鏈內兩條開鏈的合力作用，如圖3所示。

圖3 系統(tǒng)坐標系示意圖

設坐標系{A}為圖3中各剛體對應的坐標系。參照坐標系{A}，剛體的速度和角速度矢量分別為Av∈R3，Aω∈R3，則表示該剛體的速度/角速度矢量為：

同理，表示該剛體的所受到力矢量和轉矩矢量分別為A f∈R3，Am∈R3，則力/轉矩矢量為：

2 運動學

在同一個液壓閉鏈系統(tǒng)內，角度和連桿邊長的定義如圖4所示。

圖4 閉鏈內部關節(jié)角度關系

關節(jié)角qi1、qi2、qi3和xi1之間的關系可以為：

求得各閉鏈內液壓缸長度與閉鏈關節(jié)角之間的關系后，所有分解后的剛體的速度矢量可以從基座推導到末端。該處基座的速度矢量為已知值，記為B0V=[0 0 0 0 0 0]T。因此，連桿與閉鏈間的速度轉換可表示為：

式(4)中AUB表示速度和力矢量參考從坐標系{B}到坐標系{A}的轉換矩陣。

則閉鏈內各連桿的運動速度可表示為：

式(5)中，xf=[1 0 0 0 0 0]T，zτ=[0 0 0 0 0 1]T。

末端的速度/角速度矢量可用相同方法求解，由于篇幅問題，不再一一討論。

3 機電液耦合動力學

3.1 虛擬作用力

在上述章節(jié)中已通過運動學推導出被分解后各剛體的速度/角速度矢量。當剛體在自由運動時，參考自身坐標系{A}的合力/轉矩方程為：

其中，MA∈R6×6為質量矩陣，CA∈R6×6為科氏加速度和離心加速度矩陣，GA∈R6為重力矩陣，詳細求解過程可參考相關文獻[6]。

根據虛擬分解理論，連桿和閉鏈間的虛擬作用力有以下關系：

由于閉鏈1、2結構類似，可用相同方法求解各個虛擬作用力。在同一閉鏈系統(tǒng)內，桿li1和桿li2、桿li3和桿li4的合力/轉矩方程可通過公式(5)求得。設Tiη=[xiyi0 0 0zi]T為兩條開鏈間的內部作用力，它的方向是從油缸指向連桿，并且以坐標系{Tic}為參考。閉鏈的內力作用有如下關系：

其中，α1+a2=1恒成立。根據油缸閉鏈的力驅動特性，有三個虛擬力被動，有：

聯(lián)立式(7)和式(8)解方程可求得Tiη。故在不考慮摩擦等情況下，油缸的驅動力為：

為了使末端的位姿有更大的調整空間，與于閉鏈1和閉鏈2不同，閉鏈3在結構上增加了雙搖臂結構，故單獨列出閉鏈3的虛擬作用力求解過程。由圖1(b)可知，兩個零質量連桿此時只起到力傳遞的作用，設故各連桿有以下關系：

其中fF表示末端所受到的外部作用力。系統(tǒng)內共有6個虛擬力被動，即：

3.2 電液比例控制系統(tǒng)模型

由于三個驅動單元的工作原理相同，因此僅對其中一個電液比例控制系統(tǒng)展開討論。閥控缸系統(tǒng)的基本方程如式(14)所示[12]：

式(14)中：i=1，3，5為第i個閉鏈，Kuq為電壓流量增益系數，ui為輸入電壓，PS、PT分別為進油壓力和回油壓力，βe為油液的體積彈性模量，A1、A2為油缸大小腔的有效面積，Vt為油腔的等效容積，Qi1、Qi2為流進大小腔內的流量，Pi1、Pi2為大小腔內的壓力，S(*)為符號函數。

對于液壓機械臂而言，關節(jié)間已含多個以被動副形式存在的運動副，因而要整合所有運動副的摩擦力模型是十分困難的。因此，將所有的被動副摩擦力等效到主動副上[13]，獲得一個等效的摩擦力模型，即：

式(15)中，fc為庫侖摩擦系數，fv為粘性摩擦系數，fs為最大靜摩擦系數。

忽略缸內液壓油質量的影響，根據牛頓第二定律可得：

因此對于某一驅動連桿，動力學方程有：

3.3 輸入輸出的表達

式(17)的動力學模型大大降低了系統(tǒng)耦合的問題，其他關節(jié)的耦合影響均集中在作用力上。當考慮單個系統(tǒng)的運動時，連桿的速度矢量可表示為：

而對于空間坐標系下的動力學模型[3]如式(20)所示：

式(20)中=[θ1θ2θ3]T為簡化后的連桿關節(jié)角。由于質量矩陣M(θ)，科氏加速度矩陣C(θ)，重力矩陣G(θ)是θ和θ的非線性函數，各關節(jié)的控制存在較強的耦合，控制器很難針對每個關節(jié)單獨設計大大增加了控制器設計的難度。

因此采用式(19)的各驅動關節(jié)動力學模型的解耦形式，只需考慮系統(tǒng)存在一定擾動的情況下獨立設計各驅動關節(jié)的控制器，很大程度上簡化了控制器設計的難度。

4 控制器設計

PID控制器具有結構簡單，易于實現，和魯棒性強等優(yōu)點，其廣泛應用于各類工業(yè)控制系統(tǒng)。而PID控制器的難點在于其參數獲得和優(yōu)化問題，特別對于多關節(jié)運動耦合比較嚴重的系統(tǒng)。PID參數一般是通過半經驗半實驗的方式獲得，但由于液壓機械臂的工作區(qū)域大，功率輸出大，如直接在實驗樣機上操作，容易因操作不當導致事故。因此，準確的機電液動力學模型可以為控制器參數的選取提供一個可靠的仿真平臺。

PID控制算式采用如下離散形式[11]表示：

其中，e(k)為控制偏差，KP為比例系數，KI為積分系數，KD為微分系數。

在設計控制器時，基于式(19)的數學模型，首先針對各個驅動關節(jié)設計合適的初始位置和運動速度，通過所建動力學模型計算出各個驅動連桿的驅動力。然后根據驅動力的范圍確定fk的上下界，并將fk看成擾動。采用試湊法獲得各驅動單元的PID參數。在試湊時，對參數調整實行先比例、再積分，后微分的整定步驟。在獲得每個獨立PID控制器參數后，再進行基于完整模型的控制仿真，結合實驗，分別調整出三組品質較為良好的PID參數，各驅動單元的PID參數如表1所示。

表1 各驅動單元的PID參數

5 模型驗證與控制實驗

5.1 模型驗證實驗

本文的試驗樣機為某中小型反鏟式挖掘機器人。在上述的建模過程中，關于系統(tǒng)建模所涉及到的結構及參數，可以借助Adams、SolidWords等輔助仿真軟件進行估算或辨識得到。本實驗采用了模擬量輸出型拉線傳感器測量液壓缸長度，傳感器精度為0.02%FS，采樣周期為100Hz。

下面將分別對實驗樣機的三個機電液耦合動力學模型進行驗證，即單獨對閉鏈1、3、5系統(tǒng)對應的比例閥輸入電壓信號。實驗前先確定閥芯電壓死區(qū)，各單元輸入的對應電壓信號表2所示，系統(tǒng)模型預測輸出和液壓缸實際位置輸出比較如圖5～圖7所示。

表2 各閉鏈的輸入電壓

圖5 閉鏈1系統(tǒng)模型驗證

圖6 閉鏈3系統(tǒng)模型驗證

圖7 閉鏈5系統(tǒng)模型驗證

從圖5～圖7可以看出，所建立的機電液耦合動力學系統(tǒng)數學模型能較好地反映該挖掘機器人各關節(jié)的輸入和輸出情況。

5.2 軌跡跟蹤實驗

為了模擬實際工況，規(guī)劃一組末端軌跡進行實驗。通過幾何關系和逆運動學的方法，推導出和各驅動單元的軌跡和末端軌跡，如圖9～圖11中實線線條所示，實際跟蹤效果用虛線表示。

圖8 閉鏈1系統(tǒng)軌跡跟蹤

圖9 閉鏈3系統(tǒng)軌跡跟蹤

圖10 閉鏈5系統(tǒng)軌跡跟蹤

圖11 末端軌跡跟蹤

從關節(jié)空間位置跟蹤圖9～圖11可知，閉鏈3和閉鏈5單元的跟蹤軌跡效果良好，僅有較小滯后，三個驅動油缸系統(tǒng)之間仍然存在一定的液壓耦合問題，導致油源會先流向壓力較小油缸的現象，故閉鏈1驅動單元的跟蹤軌跡存在一定的誤差。從末端軌跡跟蹤圖11可知，系統(tǒng)可以良好地跟蹤目標軌跡。

6 結語

1）本文對三自由度液壓機械臂進行虛擬分解建模，并結合液壓系統(tǒng)模型和摩擦模型獲得系統(tǒng)的各關節(jié)解耦的機電液耦合動力學模型。該模型能考慮到液壓缸等結構的動力學特性，使數學模型更為準確。

2）動力學模型驗證實驗表明，采用虛擬分解法建模，良好地反映液壓機械臂的動力學特性，可以為后續(xù)的控制工作提供一個可靠的仿真模型。

3）對所建模型進行整合優(yōu)化，獲得了各關節(jié)驅動缸獨立的動力學模型，控制解耦，使得控制器設計更為簡單。

4）針對單關節(jié)獨立設計了三個PID控制器并進行了末端軌跡跟蹤控制實驗，結果表明末端能有效跟蹤目標位置。所方法可應用于其他多閉鏈機構，為多閉鏈機構的動力學建模與控制提供參考。