一種具有常力輸出特性打磨機構的設計

趙紀宇，丁冰曉*，李 玄，楊 磊

(1.吉首大學 物理與機電工程學院，吉首 416000;2.吉首大學 信息科學與工程學院，吉首 416000）

0 引言

在高精密制造領域，對產品表面進行拋光打磨是必不可少的一道工序[1，2]，為提高表面加工的精度，在對產品進行打磨拋光等處理時，需要保證磨具與產品之間的接觸力恒定[3～5]。

為解決該問題，國內外學者展開了相關的研究。計時鳴等提出了一種通過改變或保持橡膠氣囊與模具表面的接觸力和接觸區的壓力分布來實現恒力控制的打磨機構[6]；段繼豪等提出了一種通過高精度位移傳感器和力傳感器實現恒力控制的力控執行器[7]；Abd El Khalick Mohammad和Hong等利用音圈電機和力傳感器對軸向力進行控制和補償從而保持接觸力的恒定[8]；Erlbacher等以重力信號和壓力信號作為反饋信號，結合所測姿態和接觸力信息，利用氣缸實現接觸力的精確控制[9]；Tang等使用球鉸軸承、主軸、平衡彈簧、緩沖彈簧和連接法蘭等設計了一種多自由度柔性終端執行器，其中平衡彈簧使打磨頭在彈性變化范圍內作偏轉微動，而緩沖彈簧保證了打磨頭與工件之間的接觸力在某一恒定范圍內變化[10]。

針對恒力控制裝置成本高、結構復雜和力控精度較低等不足，本文以柔順常力機構作為恒力控制裝置，設計了一種具有常力輸出特性的打磨機構。首先基于正負剛度并聯形式，設計了常力機構整體；其次分析并計算了常力機構的整體剛度，然后使用ANSYS Workbench對常力機構進行驗證，結果表明理論模型與有限元模型誤差較小，最后利用PSO對常力機構的主要參數進行優化，改善了機構的常力范圍和線性度，滿足打磨過程中恒力控制的要求。

1 常力打磨機構的設計

常力機構是依靠結構本身的特性能在一定變形范圍內產生一個恒定輸出力的機構，屬于被動恒力系統。相較于主動恒力系統，常力機構可以減少傳感器的使用，不需要復雜的控制系統，降低了成本[11]。同時采用具有無摩擦、無間隙和無需裝配等特點的柔順機構設計機構本體，有利于整體結構尺寸優化、降低機構裝配復雜性和提高常力輸出的平整性。

所設計打磨機構的結構如圖1所示，主要由連接法蘭、音圈電機、常力機構和打磨頭組成，音圈電機工作時，通過推動桿使常力機構帶動打磨頭運動。由于常力輸出特性，打磨頭工作過程中能在一定運動范圍內保持與被打磨工件之間的恒力接觸，從而完成對產品的精密打磨和拋光。

圖1 具有常力輸出特性的打磨機構設計

常力輸出通常采用正負剛度彈簧并聯的方式來實現，且機構的常力特性主要取決于所組成正、負剛度機構的力學特性[12]。為增大機構常力范圍，設計了新型折疊梁正剛度機構，與傳統的對稱直梁結構相比，折疊梁機構能在較大范圍內保持力與位移的線性特性，能充分利用雙穩態結構的負剛度區域[13]，兩者性能比較如圖2所示。負剛度機構采用具有屈曲特性的柔性雙穩態

圖2 兩種正剛度機構的比較

根據剛度K的定義可知：

其中K為組合機構的剛度，有K=KP+KN，其中KP，KN分別為機構的正負剛度。當有KP+KN=0時，組合機構的剛度為零，其原理如圖3所示。

圖3 剛度組合常力機構原理

2 常力機構的建模與分析

常力機構整體由三根支鏈和中心柱組成，支鏈包括一組雙穩態梁和一個折疊機構，支鏈之間呈120度角，考慮到支鏈結構相同性，選取任一根支鏈進行分析。

2.1 雙穩態梁剛度模型

雙穩態梁的屈曲變形如圖4所示，當雙穩態梁受到力Fn作用時，會出現屈曲行為并發生變形，圖中L為梁的長度，θ表示梁與水平面的夾角，Δx為雙穩態梁受到Fn作用而產生的位移。

圖4 雙穩態梁機構的屈曲變形

當雙穩態梁所受的力Fn超過材料第一階段的屈曲模態臨界力時，導向梁第i個臨界點的屈曲力可寫為[14]：

其中，λn=π，4.44932π...n=1，2，3...。

雙穩態梁的負剛度公式可用下式表示：

式(3)中，E為材料的彈性模量，I=bd3/12為導向梁的截面慣性矩，d是梁的厚度，b是梁的寬度。

依據式(3)、式(4)，該雙穩態梁的力與位移關系表達式為：

式(4)中，S=b·d是導向梁的橫截面積。

2.2 折疊梁剛度模型

折疊梁的總變形可由各段梁的變形疊加來獲得，在研究上一段梁的變形時，不考慮后面梁的變形，將變形梁所產生的位移視為剛性的；在研究后一段梁的變形時，將自身的變形所產生的位移與已變形梁的剛性位移進行疊加，從而得到后一段梁的總位移。

折疊梁的變形如圖5所示，圖中LS1、LS3和LS5分別為各段梁的長度，Δx為折疊梁受到Fn作用而產生的位移。

圖5 折疊梁的受力分解圖

在受力過程中，折疊梁可被分為ab、cd、ef三根梁，根據疊加原理可知折疊梁剛度k2可以表示為[15]：

ab、cd、ef三根梁可以看作在集中荷載作用2Fn下的半固定梁模型，如圖6所示。

圖6 梁模型

在圖6(a)中，固定梁的長度為2Lsi，梁的中間受到一個向下的集中載荷2Fn，在2Fn的作用下，梁的最大變形量為δmax。如果將固定梁從中間斷開，則可以形成一段如圖6(b)所示的半固定梁。

半固定梁在固定端所受到的彎矩為：

所受到的剪切力為：

其受到的軸向力相對剪切力和彎矩過小，因此忽略不計。

在半固定梁中，最大位移δmax由彎矩M0所產生的位移δM0和剪切力RS產生的位移δS共同組成，即：

根據胡克定律可得：

對于固定梁，由于彎矩而產生的最大撓度出現在梁的中間，可得：

因此，固定梁的彎矩引起的剛度常數可表示為：

其中，Lsi為半固定梁的長度。對于半固定梁，由彎矩引起的剛度常數為固定梁的一半。因此，由彎矩引起的半固定梁的剛度常數為：

對于半固定梁，由于剪切力而產生的最大撓度為：

其中，G為剪切模量，G=E/2(1+μ)，μ為泊松比，A為梁橫截面的面積，根據已知條件，Fs=Fn/2。可得：

剛度常數為：

所以ab、cd、ef三根梁的剛度為：

將式(17)代入式(6)中可得：

以Δx為輸入位移，聯立上式可得常力機構輸出力與輸入位移的關系為：

3 有限元分析

本文采用ANSYS Workbench驗證機構理論分析的正確性，機構使用的材料為Al7075-T6 SN，其楊氏模量為71GPa，泊松比為0.33，密度為2810Kg/m3，常力機構的給定尺寸如表1所示。

表1 常力機構的尺寸

3.1 正、負剛度仿真驗證

為驗證理論分析的正確性，采用ANSYS Workbench進行仿真驗證，對雙穩態梁和折疊梁一端施加固定約束，采用solid186單元。設輸入的位移在[0～6]mm范圍內變化，其理論值和仿真結果比較分別如圖7(a)和圖(b)所示，可知兩者結果比較接近，雙穩態梁在[2～5.1]mm內出現負剛度，且具較好的線性度。

圖7 力與位移關系比

3.2 常力機構仿真

為驗證機構的常力特性，將機構的3端分別固定，對中心柱施加位移，使其在[0～6]mm內變化，仿真值和理論值所對應的力-位移關系如圖8所示。

圖8 力機構的力-位移關系

由圖8可知，仿真結果和理論值較為接近，且機構在[2.5～4.2]mm內保持常力特性，其力大小為785N。但在此范圍內常力平整度較差，且常力值較大，不適合應用需求，需對其結構進行優化，使其在規定常力范圍內力的波動較小。

4 常力機構的優化

根據對常力機構的分析，推導了機構力與位移之間的關系，得到了機構常力的大小和范圍與折疊梁和雙穩態梁的參數有關，選取Ls1、Ls3、Ls5、b、d、L、θ，7個參數為優化變量。優化的目的是使機構的輸出力在給定區間內保持恒定，即在給定的區間內隨機取值，各值之間波動很小時滿足條件，為提高優化精度選擇如下表達式作為目標函數。

其中，σ表示均方差，FX表示給定區間內隨機提取的任意力值，μ為區間范圍內力的平均值。當均方差的值較小時，則表示隨機提取的力與其平均值之間的波動較小，即各個隨機點處提取的力值相對接近。

根據上文的受力分析，優化函數的約束條件為：

文章選用PSO來對尋找各個參數的最優解，首先隨機選取位移位于2mm到4mm區間內的100個點的力作為樣本，從而得出所取數據的平均值和均方差，其次將粒子數選為20，最后設置最大迭代數為200，如果粒子迭代到最大迭代次數時搜索到最優值則停止運行，反之則重新運行。結果多次優化后，得到了一組最優化參數和優化迭代圖像，如圖9所示，在對其進行圓整后如表2所示。

圖9 優化迭代圖像

表2 優化后常力機構的尺寸

將優化后的數據代入MATLAB中可以得到常力機構的力與位移圖像，如圖10所示。

圖10 優化后常力機構的力-位移關系

由圖10可知，在輸入位移在2mm到4mm的范圍內時，恒力值為120N，常力機構的力-位移圖像近似為一條水平線，其中最大值F2為123.62N，最小值F1為120.15N，平整度為97.17%，與圖8相比，常力的范圍增大了0.5mm同時機構線性度有著較大的提升。

5 結語

為滿足打磨拋光過程中對恒力控制的需求，本文提出了一種基于正負剛度組合的具有常力特性的打磨機構。常力機構分別采用折疊梁和雙穩態梁作正負剛度機構，采用偽剛體模型建立了常力機構的數學模型，通過ANSYS Workbench驗證了理論分析的正確性。最后利用粒子群算法對常力機構的平整度進行了優化，結果顯示優化后的常力機構平整度和常力范圍有了較大的提升，本文所提出并優化的常力機構能夠較好的滿足精密加工中對恒力控制的需求。