基于解析幾何理論的FAST 形狀特殊位置理想拋物面預測

張 迪，裴智明，靳謙誠

（太原理工大學機械與運載工程學院，山西 太原 030024）

FAST 主要由主動反射面、饋源艙及控制、測量和支承系統組成。主動反射面由主索網、反射面板、下拉索、促動器及支承結構等構成可調節球面。主索網以三角網格用主索節點構成，三角板上安裝反射面板，主索節點連接單根下拉索，下拉索與促動器連接，通過促動器拖動下拉索下的節點，用以控制反射面的形狀。饋源艙以機電一體化平臺支撐和Stewart 系統裝置調節[1-2]。本文經過數學分析和科學建模，基于FAST 最佳接收比，主動反射面的形狀調節問題，通過建立空間理想拋物面的幾何模型、促動器調節下的關聯理論以及采用非線性規劃策略和尋優算法，對2226 個主索節點進行簡化與規劃，對FAST 實現自主反射面變形的網面調整策略模型，分析了基于費馬原理三維空間光線反射的饋源艙接收比，實現了FAST 自動控面的相關工作要求。

本文總體思路是在促動器調節的約束下，帶動下拉索和主索節點的運動，找到理想拋物面后，調整促動器的伸縮量，將反射面變形為主反射面，且盡量貼近理想拋物面，以使天體電磁波經反射后饋源艙的接收效果最好。

1 數據預處理

為了使主反射面板能夠完美反射，本文選取天體位置在最特殊情況下，即：α=0°，β=90°時（天體的方位以α，β 量化描述），需給出在滿足主反射面板調節約束條件下的理想拋物面位置，即相應形狀[3-4]，指導以促進器為主的主索節點調節方式。滿足調節因素的影響有以下5 個方面。

1） 主索節點調節后，任意相鄰節點的距離必然會發生變化，為了滿足各方面要求，考慮到應力、變形以及材料的力學性能等各方面因素，需要限制任意相鄰兩節點的變化不超過0.07%。

2） 根據題目要求和相關資料顯示，下拉索用于主索節點和促動器的連接，故其長度不會發生變化，且規定了促動器的伸縮范圍為-0.6 m～+0.6 m。

根據給出的所有主索節點的坐標，均以基準面球心C（0，0，0） 作為坐標原點，再有A0（0，0，-300.4） 為最低的主索節點的位置坐標。

3） 基準球面和拋物線面的口徑相同均為300 m。

4） 每塊反射三角形面板均為基準球面的一部分，根據相關資料顯示，反射面板上開有小圓孔（直徑d＜5 mm） 用以漏雨水。由于孔徑小，幾乎不影響電磁波反射，因此在模型分析建立與求解時設定其面板無孔。

5） 在基準態基準面上，所有的主索節點將在基準球面上，考慮到主索節點的點徑遠小于三角反射面板的尺寸，因此可以設定反射面的頂點即為主索節點，經相關分析演算，差值偏移率遠遠小于0.000001 26%。

2 建立FAST 基于解析幾何理論的特殊位置時理想拋物面的優化變形幾何模型

由于饋源艙中心P 只能在與基準球面同心的焦面上運動，因此，P 位于被測天體與基準球面中心連線SC 和焦面的交點位置，而理想拋物面可以看作拋物線繞其公轉軸旋轉而形成。根據相關拋物線知識可知：P 點即為其焦點。而SC 和基準球面的交點O 是形成該旋轉拋物面的拋物線頂點。

球面和拋物面都具有各向同性的特點，因此在建立相關分析模型時，可將特殊位置的幾何形狀模型簡化到二維空間進行描述：可用圓弧代替球面，用拋物線代替拋物面[5-6]。

其中要求球面與拋物面口徑相同均為R=300 m。

3 基于解析幾何理論的特殊位置理想拋物面的優化變形幾何模型的求解結果策略最優選擇

根據資料顯示可以建立三種策略模型，分別為標準式、下偏式以及查閱式，在此進行模型建立和比較。

1） 標準式：當最低點的偏移距離h=0 m 時，按照題目要求F=0.466R 時，利用拋物線和旋轉拋物面相關理論，利用MATLAB 工具得出理想拋物面的幾何解析表達式為

以標準式方程分析，可做出空間內三維理想拋物面，其口徑為300 m，最低點與基準球面相重合一點。為了更加清晰直觀的觀測理想拋物面與基準面的相互位置關系，利用MATLAB 工具可做出三維空間的FAST 理想拋物面與基準球面位置圖，見圖1。

圖1 標準式下的理想拋物面與基準球面嵌套的形狀和位置

2） 下偏式：當最低點的偏移距離h=-0.2 m時，按照題目要求F=0.466R 時，利用拋物線和旋轉拋物面相關理論，利用MATLAB 工具得出理想拋物面的幾何解析表達式為

以標準式方程分析，可做出空間內三維理想拋物面見圖2，其口徑為300 m，最低點與基準球面相差h=-0.2 m。

圖2 下偏式下的理想拋物面的形狀和位置

3） 查閱式：當最低點的偏移距離h=0 m 時，按照查閱相關資料顯示，要求F=0.4665R 時，利用拋物線和旋轉拋物面相關理論，利用MATLAB 工具得出理想拋物面的幾何解析表達式為

以標準式方程分析，可做出空間內三維理想拋物面見圖3，其口徑為300 m，最低點與基準球面相差h=0 m。

圖3 查閱式下的理想拋物面的形狀和位置

4 變形幾何模型的模型結果檢驗及模型相關結論

根據模型分析可知，模型的最終結果要滿足調節因素的約束條件，經檢驗下偏式和查閱式的促動器近似調節量見表1。

表1 下偏式和查閱式的促動器調節量的范圍值（m）

根據基于解析幾何理論的特殊位置建立的理想拋物面的優化變形幾何模型及其模型分析，反射面變形從直觀上可以得知，其邊緣處與基準圓面的光滑性越好，則調節難度越小，精度越大。反之，在銜接處會出現較大的拉壓載荷，造成較大的應力，使得工作過程極其容易出現疲勞現象。對連接的光滑性和工作強度以及疲勞性等影響因子進行綜合考慮，在實際調節過程中就必須滿足一定的約束條件才能使FAST 真正高效地運行。

因此，根據該模型可以得出以下基本結論。

一是下偏式類型的理想拋物面促動器的工作行程是最小的，為區間[0.0143，0.5377]且符合調節的范圍。二是下偏式類型的理想拋物面節點總位移較小，使得基準球面和調節面板鋼索的應力較小，有較好的抗疲勞性。三是下偏式類型的理想拋物面與基準球面的過渡相對平滑。

5 結束語

FAST 作為目前落成的最高效和功能最齊全的設備，在模型建立時更大程度地考慮到實際情況和目前研究的最新成果，對相關理論的建立給出了較為詳細的理論推導和詳細證明，使得結果更加完整可靠。在利用非線性規劃確定實際促動器工作策略時，考慮到多變量最簡便有效的規劃算法，在相互關聯多變量約束的條件下，且有非線性函數時，非線性規劃優點已經很好的顯現。然而考慮到模型的數據空間較大，在未輸入相關限制時，隨著搜索和運行的不斷深入，計算量將會增大，因此，采用分階段的方法進行逐步尋優，最終計算結果將十分逼近最優值，但仍有一定偏差。后續研究，需要深入FAST 的實際工作進程，以科學客觀的角度將理論模型與實際工作狀態相結合，充分考慮實際工作狀態下的情況，以建立更為實用和可行的科學模型。