高中立體幾何教學中培養學生直觀想象素養的策略

201101 上海市七寶中學 周 丹

一、 問題提出

《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》[1](以下簡稱“課標”)中明確指出直觀想象為六大數學核心素養之一.2021年版上教社教材中立體幾何在整個高中數學的地位有所上升，建議課時數從原來的22節增加到現在的27節，教學時段從高三年級前移到高二年級，主要教學內容基本相同，部分內容的要求有所提高.而且，近幾年的高考中涌現出傳承中國古代數學文化、以立體幾何為主題考查直觀想象核心素養的試題.

二、 概念界定

高中立體幾何教學首先要關注幾何直觀，課標中直觀想象素養的內涵是借助幾何圖形和空間想象感知事物的形態與變化、利用空間形式特別是圖形理解和解決數學問題.直觀想象由四個方面構成，分別是建立形與數的聯系、利用幾何圖形描述問題、借助幾何直觀理解問題、運用空間想象認識事物.直觀想象素養在教學實踐中的落實等已有很多研究成果，目前較為普遍的認識是，直觀想象包括幾何直觀、空間想象兩個方面，空間想象一定程度依賴于幾何直觀.建立數與形的聯系、借助幾何直觀使抽象問題形象化、構建直觀模型使復雜問題簡單化是落實培養直觀想象素養的幾個關鍵環節.

三、 問題解決

筆者主要結合文獻分析和教學實踐，梳理高中立體幾何教學中培養學生直觀想象素養的教學策略.

(一)關注學生識圖、作圖、用圖能力的培養

章建躍博士曾說，作圖是立體幾何學習的第一件大事.2021年版上教社教材將直觀圖形的畫法前移至第十章第一節的第三課時，體現了對學生識圖、作圖、用圖能力的關注.學生在這一節，畫水平放置的正六邊形、三個平面相交的各種情形.學生作圖中畫交線，標明實線、虛線的過程增強了他們的識圖、用圖能力.除了直觀圖的作圖外，還可以在利用牟合方蓋推導球體體積公式一課前，讓學生畫一畫牟合方蓋.筆者以“正方體的截面”為主題探討以下問題.

例1平面有平、無限延展，無大小、厚薄之分的特點.用一個平面截正方體，正方體的表面與平面的交線所圍成的平面圖形叫做平面截正方體的截面.按照截面圖形的邊數進行分類，截面可以為四邊形等.圖1展示了截面為四邊形時，四邊形是梯形、正方形、矩形的情況，以及截面是三角形、五邊形、六邊形的情況.

圖1

請回答以下問題.

(1)能否截出直角三角形?

(2)截面面積最大的三角形是什么形狀的?

(3)截面為四邊形時，四邊形能否為菱形？若能，請畫出來，若不能，請說明理由.

(4)有沒有可能截出邊數超過6的多邊形?

(5)能否截出正五邊形?

(6)是否存在正六邊形的截面?

解答此題時，可使用事先準備好的蘿卜塊或可以裝水的透明正方體盒子幫助觀察.

筆者曾利用立體幾何章節教學前的一節課時間讓學生測試，完成上述問題，時值疫情線上教學期間，學生在家中利用攝像頭完成該測試問題.測試前一天，筆者提醒學生準備好蘿卜塊或裝水的透明正方體盒子.測試過程中，筆者利用釘釘視頻會議功能，不斷翻頁觀察學生解答此題的狀態，發現研究此問題時學生的主要表現有三類.第一類學生利用數學實驗工具“水”立方(裝不同容量水的正方體盒子)，或用刀切事先準備好的正方體塊來研究截面，探索正方體截面的形狀，這屬于在直觀操作中培養直觀想象素養.第二類學生在度量計算(算圖)和思辨論述(證圖)中培養直觀想象素養，這屬于數形結合.如基于計算論述不可能為直角三角形；基于邏輯推理思辨得出因為正方體有六個面，所以截面最多為六邊形，當截面多邊形為五邊形時，必有兩條邊平行，從而不可能為正五邊形等.第三類學生在具備一定直觀想象和邏輯推理等數學核心素養的基礎上，在熟悉幾何畫板或GeoGebra軟件的情況下，制作出了直觀的動態演示文件，揭示正方體截面之間的關系.

(二)為學生提供豐富的實物模型和現實情境

部分學生并不相信邏輯告訴他們的事實.反例比一般證明更能說服人.因而教師不能一味強調數學的抽象，而應遵循由特殊到一般、由直觀到抽象的認識事物的客觀規律.如對于假命題“四個面都是等腰三角形的四面體為正棱錐”的討論中，可以為學生提供搭好的直觀反例模型(如圖2-1所示).又如，可以利用信息技術給學生展示直觀的“正方體截面”動畫(如圖2-2所示).利用牟合方蓋推導球體體積公式的課堂中，教師可以親自為學生呈現將蛋糕切成牟合方蓋的過程.

圖2-1

圖2-2

此外，在關于多面體與球的切接問題中，由于球心位置及球半徑的確定對學生抽象思維要求較高，可在第一次出現相關問題時為學生提供直觀圖形.

如圖 3，有了直觀圖形，學生可以更好地理解并求解問題，如例2.

圖3

例2邊長為a的正方體的各棱與球相切，則球的直徑是多少？

(三)重視利用“基本圖形”解決立體幾何問題

對于立體幾何問題，學生總感到圖形線條多，又處在不同平面內，難以發現要素之間的關系.實際上，在空間幾何體中，長方體、正四面體、球是基本圖形，它們類似于平面幾何中的直角三角形、等腰三角形、圓.把這些基本圖形的組成元素的位置關系搞清楚了，在解決其他問題時，就容易排除干擾，提煉出本質特征來，因此，教學中要重視基本圖形的作用[2].立足從“基本圖形”到“變式圖形”，再到“綜合圖形”，要特別關注長方體這一最基本的立體圖形，充分發揮它在研究立體圖形及其位置關系中的作用.長方體的原型在生活中隨處可見，學生所在的教室就提供了離學生最近的實例.在研究基本圖形位置關系時，無論對于空間點、直線、平面位置關系的整體認識，還是對于空間直線、平面的平行、垂直關系的定義、判定定理、性質定理等，都可以在長方體中找到對應的表示.長方體還可以和空間直角坐標系建立聯系，因此，它也是今后用向量法解決立體幾何問題的基礎.

例3在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點M為等邊三角形D1AC中線D1E上一點,記點M到平面A1D1DA、平面D1C1CD以及平面ABCD的距離的平方和為m,則m的最小值為________.

如圖4，構造一個小長方體解題.

圖4

(四)關注立體幾何基本研究方法和思想的滲透

從人們認識世界的過程來看，對“形”的認識要先于對“數”的認識，“形”是直觀、具體、形象的，“數”是理性、抽象、邏輯的.所以學習立體幾何的基本方法是“直觀感知(識圖)-操作確認(畫圖)-度量計算(算圖)-思辨”[2].在經歷識圖、作圖和在各種豐富的情境中識別基本圖形的過程中，學生能習得立體幾何基本的研究思想和方法，其中割補法、類比轉化法是最基本的方法.下面通過例題示例說明.

例4已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是直角三角形，側棱長為4cm，作與側棱垂直的截面，截得的△EFG是邊長為2cm的正三角形，則它的側面積為________.

如圖5，先將原斜三棱柱沿直截面割為兩部分，后補為直棱柱，割補過程中體積、側面積并沒有發生變化.

圖5

將立體幾何中的空間問題轉化為平面圖形的問題，其本質是降維，降維也是推導歐拉定理的基本方法.

(五)滲透數學文化，培養愛國情懷

文化是民族生存和發展的重要力量.立體幾何中與中國古代數學文化息息相關的“關鍵詞”有很多，如牟合方蓋、祖暅原理、塹堵、陽馬等.近幾年的高考題也傳遞著以立體幾何為載體傳承中國古代數學文化的重要信息，如2019年全國卷中的金石文化(形狀為“半正多面體”的獨孤印信)、2018年全國卷中的“咬合時帶卯眼的木構件的俯視圖”、2015年湖北卷中的“陽馬”.這些問題既考查了學生的直觀想象素養，又讓學生感受立體幾何的實用價值，領略中國古代數學的魅力.下面呈現兩道以祖暅原理為背景、需要學生通過直觀想象構造模型、還原幾何體求解幾何體體積的高考題.

圖6

例6(2019浙江高考-4) 祖暅是我國南北朝時代的偉大科學家，他提出的“冪勢既同，則積不容異”被稱為祖暅原理，利用該原理可以得到柱體的體積公式V柱體=sh，其中s是柱體的底面積，h是柱體的高．若某柱體的三視圖如圖7所示，則該柱體的體積是( )

圖7

A．158 B．162 C．182 D．324

祖暅原理是祖暅一生最具有代表性的發現，也是等價轉化數學思想的體現.割補的本質也是等價轉化.例7、例8為2021年版教材配置的習題，例7中的多面體來自《九章算術》[3]中的“楔體”，其體積的求法可借助多種割補方案，既可以充分發揮學生思維的發散性，又培養了學生的直觀想象素養，更展現了中國古人的智慧.例8的“鱉臑”中存在特殊的線面關系，更體現“斜解立方，得兩塹堵；斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑”的割補思想.

例7在如圖8所示的多面體中，已知ABCD為矩形，ABFE和DCFE為全等的等腰梯形，AB=4,BC=AE=EF=2．求此多面體的表面積與體積．

圖8

例8我國古代數學著作《九章算術》中研究過一種叫“鱉臑”的幾何體(見《九章算術》卷五“商功”之一六)，它指的是由四個直角三角形圍成的四面體．用你學過的立體幾何知識說明這種四面體確實存在.

四、 案例及思考

中國古代數學家將割補法與等價轉化奉為珍寶，創造出了讓人贊嘆不已的精神食糧.如祖暅在劉徽構造的牟合方蓋模型基礎上，結合割補思想推導得出了球的體積公式.與圓柱圓錐模型推導球的體積公式相比，或許復雜了些，但經歷這一過程讓人感受到的數學價值和情懷無以言表、無可媲美.筆者簡述課程案例的主要環節.

(一)準備工作

在本節課的前一天，布置畫牟合方蓋模型的作圖題.題目如下.

請用筆畫出一個棱長為4cm的正方體，用圓柱從縱、橫兩側面(橫表示左右方向，縱表示前后方向)作內切圓柱體時，請畫出兩圓柱體的公共部分 (請標清公共部分幾何體的輪廓線).

圖9-1為學生的作圖.

圖9-1

(二)課前實驗

教師用圓柱形的牙簽盒從縱、橫兩個方向切正方體形狀的面包，得到牟合方蓋實物.如圖9-2所示為切的過程，如圖9-3所示為切得的牟合方蓋.

圖9-2圖9-3

(三)課中講解

環節1取出牟合方蓋的八分之一(如圖10-1所示)

圖10-1

環節2研究八分之一牟合方蓋的體積并思考相關問題

(1)如圖10-2，設小正方體的棱長為r，設ON=h,NL=a,為什么OL=r?試求圖10-2中“帶狀陰影”部分的面積.(因為點L在四分之一圓弧上，所以OL=r，而S帶狀陰影=r2-a2=h2)

(2)如圖10-3，設ON=h，思考四棱錐O-ABCD的截面NRST的形狀及面積.(截面NRST為正方形，且SNRST=h2)

圖10-2圖10-3

環節3牟合方蓋體積的應用

推導球的體積公式并思考以下問題.

(1)用平行于底面的平面去截正方體的內切球，所得截面是什么？

(2)用平行于底面的平面去截正方體的牟合方蓋，所得截面是什么？

環節4思考討論

(1)說說你對牟合方蓋的認識.

(2)在祖暅原理的基礎上，利用牟合方蓋模型推出了球的體積公式，過程中都涉及了哪些思想？(割補法和等價轉化)

(3)你是否還有其他推導球的體積公式的方法？

本節課是運用前文所述教學策略的教學實踐案例.課前準備讓學生畫出牟合方蓋，關注學生的作圖、識圖.課前教師切出一個牟合方蓋，為學生提供實物情境.課中借助正方體、四棱錐、球等基本圖形，演繹了運用數學轉化與化歸思想方法推導球體體積的精彩篇章.此外，本節課多次使用祖暅原理，傳播先祖的智慧，傳承中國古代數學文化，讓學生內心產生自豪感，也激勵學生養成鉆研求真的科學精神，是非常好的數學學科育人案例.筆者執教的學生經歷了利用牟合方蓋推導球的體積公式的過程后，對劉徽構造的牟合方蓋模型，祖暅將八分之一牟合方蓋體積轉化為一個小正方體體積減去一個四棱錐體積，以及千年之前的數學家基于祖暅原理將割補法運用得淋漓盡致發出感嘆.數學轉化與化歸的思想方法，數學的文化價值和育人價值的體現莫過于此.

“關注學生識圖、作圖、用圖能力的培養”以及“利用信息技術和實物模型為學生提供豐富的現實情境”側重在直觀感知和操作確認中培養直觀想象和數學抽象素養，即為學生理解和掌握圖形提供直觀，以實現抽象與直觀的結合.而“關注在各種情境中熟悉掌握基本圖形、基本研究思想方法，關注滲透數學文化”側重實現學生的感性認識飛躍到理性認識，在這一過程中，學生的空間想象能力、推理論證能力、運用圖形語言進行交流的能力以及幾何直觀能力均得到提高,數學抽象、直觀想象和邏輯推理素養得以培育.經歷這樣的過程，也會讓學生最終獲得言必有據的縝密思維習慣和求真的理性精神，激發學生的愛國熱情和民族自豪感，培養學習的積極性和主動性.

立體幾何在培養學生的直觀想象等數學學科核心素養方面發揮著不可替代的作用.而給學生“冷靜思考的時間”和“充分表達的機會”，是實現深度理解的一個重要途徑[4].因此，在“立體幾何初步”單元教學的設計和安排中，教師要關注幾何研究對象尤其是基本圖形[5]，善于整合各類教育教學資源.教師要關注學生主體，倡導數學探究，結合立體幾何內容的內在邏輯和學生的認知特點，構建有針對性的教學進度研究框架和探究實踐案例.如可將2021年版上教社高中數學教材必修三[6]中的“多面體的歐拉定理”、必修四[7]中的“包裝彩帶”整合為學生探索研究的案例，更好地培養學生的直觀想象素養.