動態過程中容器底部液體壓強的分析

黃 亮

（重慶市南開中學校，重慶 400030）

非柱體類容器，各高度的橫截面積不為定值.容器內的液體量在增減過程中，液體深度和增減量（體積、質量）之間不是簡單的線性關系.因此，在增減流量一定的情況下，容器底部受到的液體壓強與時間的函數表達式往往會比較復雜，給學生理解、教師講授造成困擾.

例題.如圖1，往浴缸中勻速注水直至注滿，下列表示此過程中浴缸底部受到水的壓強隨時間變化的曲線（圖2），其中合理的是

圖1

圖2

該問題屬于較典型的非柱體類容器底部液體壓強分析.定性講解時，強調浴缸“口大底小”，勻速注水過程中，單位時間內對應的液面上升會逐步減緩.因此，隨著時間推移，浴缸底部液體壓強總體增大且增速放緩，曲線“上凸”.答案為（B）.雖可順利解題，但未經定量分析得出的結論難以反映壓強的變化細節，致使學生對動態過程的認識過于感性.

以“生活實踐情境”為依托對問題進行實境化歸，[1]并借助數據處理軟件實施工程計算，得出壓強-時間（p-t）特性曲線.能直觀展現壓強變化特點.可幫助學生探索動態過程的內在規律.

1 模型建立

將浴缸簡化為圓錐體的一部分，則已注入的水體可看作圓臺（圖3），水體體積可視為兩個圓錐體積之差.設Q為注水流量，h0為容器底距所屬圓錐體頂點距離，α為水體所屬圓錐的半角，t為注水時間，且零時刻時容器內無水.

圖3 浴缸示意圖

2 實境化歸

參考普通圓形浴缸尺寸且注水流量取家用水龍頭開啟后的平均值（可參考家用12L燃氣熱水器工作時的出水流量）.將模型生活化、具體化.參數如下.Q=12L·min-1=0.2×10-3m3·s-1，α=55°，則有tanα≈1.428，h0=0.5m，ρ水=1.0×103kg·m-3，g=10N·kg-1.將各參數代入（3）式后，則容器底部液體壓強p與注水時間t關系的解析式為

可知，當Q、h0、α均確定后，液體壓強p是一個只隨時間t變化的函數.

不考慮水的溢出（設容器可向上無限延伸），且忽略該過程中水流的激蕩、沖擊、涌動等，認為容器內水體處于理想的平衡態.忽略水的密度變化，認為容器底部所受液體壓強，只與容器內水的深度有關.[3]

3 曲線繪制

在Geogebra中輸入（4）式生成p-t特性曲線（圖4）.

圖4 p-t特性曲線

經觀察得：壓強隨時間延續而增大，“增速”逐漸“放緩”，曲線“上凸”.該圖生動直觀，說服力強.可根據問題需要靈活確定起止時間，關注動態過程中的變化細節.

4 理論分析

將已注入容器中的水體旋轉90°后放入直角坐標系：x軸與圓臺軸線重合，其所屬圓錐的頂點與坐標原點O重合（圖5）.則容器內的水體可看作是直線y=（tanα）x上的某一部分線段，與其兩端點到x軸的垂線段及垂足間線段組成的直角梯形平面，繞x軸旋轉后形成的圓臺.該旋轉體體積為

圖5 圓臺示意圖

該體積等于時間t內注入的水的體積則有

由（5）、（6）兩式聯立可推出Δh隨時間t的關系式為

若容器不為標準圓臺，而是某一函數曲線形成的旋轉體，可沿用（5）式推導思路計算出新的關系 若為錐臺類則可用Δh-t.的方式來論證，此處不作展開.

容器底部壓強隨注水時間的關系為

為定量討論p的變化規律，求出p關于時間t的導數為

可得：在當Q、h0、α均確定后.該導數是一個只隨時間t變化的函數.此函數值表征容器底受到的液體“壓強變化快慢”也就是p-t特性曲線的斜率k即“壓強增速”.[4]且Q、h0、α只是定義了注水快慢與容器幾何形態，實際情況中均取正值，不會對該類問題的變化規律與分析方案產生本質上的影響.實境化后得出的結論具有一般性.代入Q、h0、α值后有

用Excel繪制（10）式圖像，如圖6所示.

圖6 斜率k隨時間變化關系

不難發現：隨注水時間t的推移，容器底所受液體壓強的變化率始終為正且降低.意為壓強始終增大，但是增速放緩.則p-t圖像整體在第一象限內單調遞增，斜率放緩，曲線上凸.理論分析的結果同前述結論一致.

該方案具有良好的拓展性：容器倒置類、錐臺容器類、旋轉體容器類、“放水”類、注放結合類等問題均可適用.特別是在學生能列出過程函數表達式，但無法進一步求解時，“描點繪圖”作為較底層的數理思維，易于理解，可讓定量探究有效推進.相應理論分析中的具體求解算式及參數值隨問題條件變化做適當調整即可.