中考探究型試題的考向研究

廣西天峨縣中學(xué)（547300）付小玲

近幾年中考，考查學(xué)生動(dòng)手操作能力的探究型試題在逐年增加。此類(lèi)試題集動(dòng)手操作與新知探究于一體，需要學(xué)生通過(guò)前期的觀察與分析，中期的操作、比較與猜想，后期的抽象與概括等，靈活運(yùn)用課本知識(shí)與生活經(jīng)驗(yàn)解決問(wèn)題。這類(lèi)試題有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)、直覺(jué)思維與綜合實(shí)踐能力。

一、利用圖形變換作圖

平面幾何圖形的變換主要包括平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱、位似等。利用平移作圖，就是把一個(gè)圖形沿規(guī)定的方向移動(dòng)一定的距離，平移前后的兩個(gè)圖形全等，對(duì)應(yīng)線段平行或在同一直線上，且圖形各部分所處的方位不變；利用旋轉(zhuǎn)作圖，就是把一個(gè)圖形繞一個(gè)固定點(diǎn)按順時(shí)針或逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一定的角度，旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形全等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的中垂線經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)中心，每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線的夾角都等于旋轉(zhuǎn)角；利用軸對(duì)稱作圖，就是把一個(gè)圖形沿一直線翻折，翻折前后的兩個(gè)圖形全等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被對(duì)稱軸垂直平分，對(duì)應(yīng)線段或所在直線如果相交，交點(diǎn)在對(duì)稱軸上；利用位似作圖，就是把一個(gè)圖形按規(guī)定的比例放大或縮小，位似前后的兩個(gè)圖形相似，對(duì)應(yīng)線段平行，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線經(jīng)過(guò)位似中心。

［例1］如圖1，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(3,3)，B(-1,0)，C(4,0)。

（1）如果將△ABC平移，使點(diǎn)O與點(diǎn)A重合，那么平移后點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C1的坐標(biāo)是多少？

（2）將△ABC以點(diǎn)B為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，畫(huà)出所得的三角形。

（3）以點(diǎn)A為位似中心放大△ABC，得到△AB2C2，使S△ABC∶S△AB2C2=1∶4，在圖中畫(huà)出△AB2C2。

圖1

分析：（1）因?yàn)槠揭坪簏c(diǎn)A與點(diǎn)O重合，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，3），點(diǎn)O的坐標(biāo)為（0，0），所以點(diǎn)A需要向下平移3 個(gè)單位，再向左平移3 個(gè)單位。因?yàn)辄c(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，0），向下平移3 個(gè)單位，向左平移3個(gè)單位，得點(diǎn)C1的坐標(biāo)為（1，-3）。

（2）直接利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置，進(jìn)而畫(huà)出圖形。如圖2 所示，△A′BC′即為所求，A′點(diǎn)的坐標(biāo)為（-4，4）。

She heard a song full of feelings on the radio.（她從收音機(jī)里聽(tīng)到了一首充滿感情的歌曲。）

（3）直接利用位似圖形面積比得出相似比為1∶2，即可得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置。如圖2 所示，△AB2C2即為所求。

圖2

評(píng)注：此類(lèi)題型常需在網(wǎng)格中作圖，且有坐標(biāo)系。在網(wǎng)格中作圖要充分利用網(wǎng)格的水平線和豎直線所指的方向，找到圖形變化后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。一般圖形頂點(diǎn)為格點(diǎn)的，對(duì)應(yīng)點(diǎn)也在格點(diǎn)上，作圖時(shí)要依靠關(guān)鍵點(diǎn)來(lái)控制圖形的形狀。

二、設(shè)計(jì)測(cè)量方案

對(duì)于過(guò)高或過(guò)寬的物體，或者有障礙物的物體，通常不能直接測(cè)量其高度或?qū)挾龋瑢?duì)此可以利用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)設(shè)計(jì)測(cè)量方案，根據(jù)易測(cè)出的數(shù)據(jù)算得所求物體的高度或?qū)挾取Ｆ渲校衫玫臄?shù)學(xué)知識(shí)包括全等三角形、三角形的中位線、相似三角形、勾股定理及銳角三角函數(shù)。測(cè)量工具包括皮尺、測(cè)角器、平面鏡、標(biāo)桿等。

［例2］為了測(cè)量某電線桿（如圖3）的高度，老師給學(xué)生準(zhǔn)備了如下測(cè)量工具：皮尺、標(biāo)桿、測(cè)角儀和平面鏡。其中測(cè)角儀是用來(lái)測(cè)量仰角、俯角的儀器。請(qǐng)根據(jù)你所設(shè)計(jì)的測(cè)量方案，回答下列問(wèn)題：（1）請(qǐng)畫(huà)出你的測(cè)量方案示意圖，并寫(xiě)出你所選用的測(cè)量工具；（2）根據(jù)示意圖，寫(xiě)出你求電線桿高度的思路。

解析：（1）根據(jù)題意，測(cè)量方案示意圖如圖4 所示；選用的測(cè)量工具為高1.5 m的測(cè)角儀、皮尺。

圖3

圖4

（2）根據(jù)正切函數(shù)設(shè)計(jì)測(cè)量方案。先測(cè)得CA的長(zhǎng)度，因?yàn)樗倪呅蜛CDE是矩形，可得DE=CA，AE=CD=1.5；根據(jù)正切函數(shù)求得BE，AB=BE+1.5，即CA（測(cè)角儀離電線桿的距離）=a，CD（測(cè)角儀的高）=1.5，∠BDE（測(cè)角儀測(cè)得的仰角）=α，

根據(jù)正切函數(shù)得tanα=，因?yàn)镈E=CA=a，得BE=atanα，則AB=BE+AE=atanα+1.5，故電線桿高度為(atanα+1.5)米。

評(píng)注：本題構(gòu)造的圖形是直角三角形和矩形，根據(jù)測(cè)得的仰角和水平距離，利用銳角三角函數(shù)求得電線桿的高度。本題選用正切設(shè)計(jì)方案是最好的選擇，因?yàn)闃?gòu)造的直角三角形的斜邊也無(wú)法測(cè)量，所以正弦與余弦都不能選擇。

三、按要求剪拼圖形

［例3］如圖5 所示，把一個(gè)三角形沿中位線剪切后，可以得到一個(gè)三角形和一個(gè)四邊形，這兩個(gè)圖形可以拼成平行四邊形，仿照上面的方法，完成下面的操作：（1）如圖6 所示的平行四邊形ABCD，把它剪成兩個(gè)圖形，使這兩個(gè)圖形可以拼成一個(gè)矩形，要求在圖中畫(huà)出剪切線；（2）如圖7 所示的梯形ABCD，把它剪成兩個(gè)圖形，使這兩個(gè)圖形能拼成一個(gè)平行四邊形，要求在圖中畫(huà)出剪切線。

圖5

圖6

圖7

解析：（1）因?yàn)橛幸粋€(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，所以可以考慮通過(guò)作高得到一個(gè)直角，如圖8，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，再把△ABE剪切下來(lái)，移到△DCF的位置；

（2）因?yàn)樘菪闻c平行四邊形的主要區(qū)別是：平行四邊形有兩組對(duì)邊分別平行，梯形只有一組對(duì)邊互相平行。因此，可以考慮作不平行對(duì)邊的平行線。如圖9，過(guò)AB的中點(diǎn)G作GF∥DC，再把△BGF剪開(kāi)，然后旋轉(zhuǎn)到△AEG的位置即可。

評(píng)注：本題的剪切線表現(xiàn)出三種形態(tài)，分別是中位線、高、平行線。其實(shí)還有對(duì)角線、對(duì)邊中點(diǎn)的連線、過(guò)中心的直線等，它們都屬于一次剪切線，剪切線就是一條折線。本題第（1）小題剪切后得到的△ABE通過(guò)平移進(jìn)行拼接；第（2）小題剪切后得到的△BGF通過(guò)旋轉(zhuǎn)進(jìn)行拼接。當(dāng)然拼接時(shí)也有借助軸對(duì)稱的。

圖8

圖9

四、通過(guò)函數(shù)圖像解決幾何問(wèn)題

通過(guò)觀察函數(shù)圖像獲得信息，不僅可以解決實(shí)際生活問(wèn)題，還可以提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。用函數(shù)圖像解決幾何問(wèn)題時(shí)，要厘清圖像的含義，要有一定的識(shí)圖技能。

［例4］九（1）班的數(shù)學(xué)興趣小組正在探究這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖10，點(diǎn)D是上一動(dòng)點(diǎn)，弦BC的長(zhǎng)為8 cm，取線段BC的中點(diǎn)為點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)C作CF∥BD，點(diǎn)F是DA延長(zhǎng)線與CF的交點(diǎn)。△DCF為等腰三角形時(shí)，線段BD的長(zhǎng)度是多少？

興趣小組的學(xué)生發(fā)現(xiàn)，此問(wèn)題不易通過(guò)直接推理計(jì)算解決，于是嘗試通過(guò)函數(shù)圖像研究此問(wèn)題的答案。請(qǐng)將下面的探究過(guò)程補(bǔ)充完整：

圖10

（1）當(dāng)點(diǎn)D在上移動(dòng)時(shí)，線段BD的長(zhǎng)不斷變化，小組學(xué)生分別測(cè)量線段BD，CD，F(xiàn)D的長(zhǎng)度，得到下表的幾組對(duì)應(yīng)值（單位：cm）。

①當(dāng)點(diǎn)D為的中點(diǎn) 時(shí)，上 面表格中a的 值為多少？

②有學(xué)生說(shuō)：“線段CF的長(zhǎng)度不用測(cè)量就能得到答案。”這種說(shuō)法對(duì)嗎？為什么？

（2）興趣小組的學(xué)生將線段BD的長(zhǎng)度作為自變量x，把CD和FD的長(zhǎng)度作為x的函數(shù)，標(biāo)記為yCD和yFD，其中函數(shù)yFD的圖像（如圖11）興趣小組的學(xué)生已經(jīng)畫(huà)出來(lái)了，你能在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)yCD的圖像嗎？

圖11

（3）在同一坐標(biāo)系內(nèi)根據(jù)需要繼續(xù)畫(huà)圖，結(jié)合圖像你能看出當(dāng)△DCF為等腰三角形時(shí)，線段BD長(zhǎng)度的近似值嗎？

分析：（1）①在同圓或等圓中，等弧所對(duì)的弦也相等，得a=5.0；②通過(guò)“角邊角”證明△BAD≌△CAF，可得BD=CF；（2）用描點(diǎn)法畫(huà)出函數(shù)yCD的圖像；（3）先畫(huà)出yCF的圖像，那么函數(shù)yCD，yFD，yCF的圖像彼此的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是BD的長(zhǎng)度。

解：（1）①因?yàn)辄c(diǎn)D為的中點(diǎn)，所以由圓心角定理，得BD=CD=a=5.0；②因?yàn)辄c(diǎn)A是線段BC的中點(diǎn)，所以AB=AC，因?yàn)镃F∥BD，根據(jù)“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”得∠F=∠BDA，因?yàn)椤螧AD=∠CAF，得△BAD≌△CAF，所以BD=CF，所以這種說(shuō)法正確。

（2）根據(jù)表格中BD、CD的每組對(duì)應(yīng)值，描出相應(yīng)的點(diǎn)，再用平滑的曲線畫(huà)出函數(shù)yCD的圖像（如圖12）。

圖12

圖13

（3）yCF的圖像如圖13 所示。△DCF為等腰三角形有以下三種情況：一是CD=FD，二是FD=CF，三是CF=CD。當(dāng)CD=FD時(shí)，則函數(shù)yCD與yFD圖像的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是BD的長(zhǎng)，由圖像可得BD=3.8；當(dāng)FD=CF時(shí)，則函數(shù)yFD與yCF圖像的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是BD的長(zhǎng)，由圖像可得BD=6.2；當(dāng)CF=CD時(shí)，則函數(shù)yCD與yCF圖像的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是BD的長(zhǎng)，由圖像可得BD=5.0。由圖像可得：BD的長(zhǎng)度為3.8 cm或6.2 cm或5.0 cm時(shí)，△DCF為等腰三角形。

評(píng)注：本題解決幾何圖形問(wèn)題的方法別具一格。本題既考查了等腰三角形的判定，又考查了函數(shù)圖像交點(diǎn)的意義，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想。