Jordan不等式在求解導(dǎo)數(shù)壓軸題中的應(yīng)用

山西太原市第三實驗中學(xué)校（030031）董立偉

一、Jordan不等式

Jordan不等式有如下兩種常用形式。

Jordan不等式形式1的后半部分以習(xí)題的形式出現(xiàn)在普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)選修2-2A 版（人民教育出版社，2007 年1 月第2 版）第32頁習(xí)題1.3的B組第1題。

在高考題與高考模擬試題中，涌現(xiàn)出不少以正弦、余弦函數(shù)與其他初等函數(shù)相結(jié)合的函數(shù)為模型函數(shù)的導(dǎo)數(shù)壓軸題。由于這類函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)形式較復(fù)雜，以及正弦、余弦函數(shù)具有周期性等特點，使得導(dǎo)數(shù)壓軸題的求解思路不易找到，而且求解過程通常較為煩瑣。借助Jordan 不等式，可以幫助我們快速找到問題的突破口，簡化解題步驟。

二、Jordan不等式的應(yīng)用

（一）適度放縮變形，簡化關(guān)系形式，輔助范圍確定

Jordan 不等式將sinx放縮為有關(guān)x的正比例函數(shù)形式，這使得放縮后的式子形式變得簡單，從而更容易求出所得式子的取值范圍。

第（2）問可借助第（1）問所得結(jié)論來證明，此處不再贅述。

（二）利用成立條件，巧設(shè)分類標(biāo)準(zhǔn)，輔助分類討論

求解含有sinx、cosx的導(dǎo)數(shù)壓軸題，通常需要分類討論。如何快速準(zhǔn)確地確定分類標(biāo)準(zhǔn)是這類問題的一個難點。Jordan 不等式自帶成立條件（如形式1 中，形式2 中，這給我們尋找分類標(biāo)準(zhǔn)提供了參考。

［例3］已知函數(shù)f(x)=ex-cosx-ax（a∈R）。

（1）若f(x)在[ 0,+∞)上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；

（2）證 明：?x∈[ 0,+∞)，xex≥sin2x+2sinx-sinxcosx。

第（1）問的a的取值范圍是( -∞,1 ]。因為其解答較為容易，所以略去解答過程。下面我們主要研究第（2）問。

證明：當(dāng)x=0時，不等式顯然成立。

分析：第（1）問明顯是以Jordan 不等式為背景命制的，解答較為容易，略去其解答過程。下面我們主要研究第（2）問。

（三）尋找充分（或必要）條件，規(guī)避思維難點，輔助問題解決

當(dāng)函數(shù)解析式中同時含有指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等多種函數(shù)形式時，由于函數(shù)形式的復(fù)雜性，使得很多時候正面求解導(dǎo)數(shù)壓軸題并不容易。對此，我們可以先尋找原問題的充分（必要）條件，再證明所得條件也恰好是原問題的必要（充分）條件的方法。Jordan 不等式可以將sinx放大或縮小，為我們尋找這類問題的充分（必要）條件提供了可能。

［例5］已知函數(shù)f(x)=a(x2-1) -lnx，a∈R。

（1）討論f(x)的單調(diào)性；

（2）求實數(shù)a的取值范圍，使得f(x)＞asin(x-1) +-e1-x在區(qū)間( 1,+∞)上恒成立（e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)）。

第（1）問較為容易，此處略去其解答。下面我們主要研究第（2）問。

先給出如下引理。

引理：當(dāng)x＞0時，lnx≤x-1。

（1）若f()x＞0，求a的取值范圍；

（2）當(dāng)a=1時，證明：2f(x)+cosx＞e-x。

第（1）問的解答：f()x＞0，即ax-sinx＞0。由Jordan 不等式，當(dāng)x∈()0,+∞時，sinx＜x，所以ax-sinx＞0 的一個充分條件是ax-x≥0，解得a≥1。

下證a≥1是f(x)＞0的必要條件。

f′(x)=a-cosx。因為f(0)=0，所以若有f(x)＞0，則有f′(0)≥0，即a-1 ≥0，解得a≥1。

因此，a的取值范圍是[ 1,+∞)。

第（2）問的解答省略。

［例7］已 知函數(shù)f(x)=2sinx-xcosx-x。f′(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù)。

（1）證明：f′(x)在區(qū)間( 0,π)存在唯一零點；

（2）若x∈[ 0,π ]時，f(x)≥ax，求a的取值范圍。

分析：第（1）問較為容易，過程省略。下面我們主要研究第（2）問。

解：當(dāng)x=0時，顯然成立。

當(dāng)x∈( 0,π ]時，由Jordan不等式，f(x)=2sinxxcosx-x＜2x-xcosx-x=x( 1-cosx)，所以f(x)≥ax成立的一個必要條件是x( 1-cosx)＞ax，即1 -cosx＞a。解得a≤0。

下證“a≤0”是“x∈[ 0,π ]時，f(x)≥ax成立”的一個充分條件。事實上，我們只需證明a=0 時成立即可。

Jordan 不等式是求解含有正弦、余弦形式的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)壓軸題的一個有力工具。在教學(xué)中，教師需要引導(dǎo)學(xué)生尋找試題與Jordan 不等式的契合點，幫助學(xué)生快速形成解題思路。