一類數列問題的解法探討

江蘇徐州市第三中學（221005）劉書霞

數列作為一類特殊的函數表現形式，具有獨特的性質，是知識交匯、問題創新的紐帶，也是高考的重點和難點之一。高考數列題以數列為問題背景，融合其他相關知識來設計綜合問題，充分體現了高考命題的指導思想，有效考查了相應的數學知識，考查了學生的抽象概括能力、邏輯推理能力，以及數學抽象、數學運算、邏輯推理等核心素養。

一、問題呈現

［例1］已知數列{xn}滿足x1=2，xn+1=(n∈N*)。給出以下兩個命題。

命題p：對任意n∈N*，都有1 ＜xn+1＜xn；

命題q：存在r∈（0，1），使得對任意n∈N*，都有xn≤rn-1+1，則（ ）。

A.p真，q真 B.p真，q假

C.p假，q真 D.p假，q假

此題是涉及根式型遞推數列關系的一道綜合題，它巧妙地把函數、數列與常用邏輯問題合理融合。學生要結合數列的相關知識來分析與推理，才能判定對應命題的真假。此類問題對學生的應用能力、分析問題與解決問題的能力及邏輯推理能力要求比較高。

二、問題破解

（一）對于命題p的判斷

方法1：（作差比較法+極限特征）

而當xn→1時，xn+1→1且xn+1＞1，

對任意n∈N*，都有1 ＜xn+1＜xn，即命題p為真命題。

點評：作差法是中學數學中比較大小的常用方法，具有實用性和通法性。運用作差法，能夠培養學生的發現與觀察能力及類比意識。

方法2：（放縮法+同號性）

那么xn+1-1與xn-1的符號相同，

而x1-1=1 ＞0，則有xn-1 ＞0，即xn＞1。

對任意n∈N*，都有1 ＜xn+1＜xn，即命題p為真命題。

點評：用放縮法證明數列不等式是數列中的難點內容。放縮法靈活多變，技巧性要求特別高。放縮是一種能力，放縮要有度，如何恰到好處，是放縮法的精髓和關鍵所在。

方法3：（同號性+作差比較法）

由xn+1=，可 得=2xn-1，即-1=2(xn-1)，

整理可得(xn+1-1)(xn+1+1)=2(xn-1)，

那么xn+1-1與xn-1的符號相同。

而x1-1=1 ＞0，則有xn-1 ＞0，即xn＞1；

對任意n∈N*，都有1 ＜xn+1＜xn，即命題p為真命題。

方法4：（數學歸納法+作差比較法）

（1）當n=1時，x1=2 ＞1；

（2）假設當n=k(k∈N*)時，不等式xk＞1成立，那么=1 成立，即 當n=k+1時，不等式xk+1＞1也成立。

根據（1）和（2），可知對任意n∈N*，都有xn＞1成立；

對任意n∈N*，都有1 ＜xn+1＜xn，即命題p為真命題。

點評：數學歸納法是一種重要的數學證明方法，通常被用于證明某個給定命題在整個（或局部）自然數范圍內成立。運用數學歸納法可有效解決數列問題。

方法5：（“蛛網圖”法）

圖1

點評：對于一個不可求通項公式的數列遞推關系的范圍確定問題，利用作差比較法、放縮法、數學歸納法等常見的方法，并借助“同號性”等不等式的性質來處理，可以有效破解問題。而“蛛網圖”是解決此類問題比較特殊的方法，其常借助特征函數的圖像與性質，數形結合，準確判定。

（二）對于命題q的判斷

方法1：（裂項法+反證法）

方法2：（極限特征法）

由xn≤rn-1+1，可得xn-1 ≤rn-1，那么，構造函數f(x)=，此函數在定義域上單調遞減，所以自變量x從2→1 的過程中單調遞增，由于任意n∈N*，而x無法取到1，則函數f(x)無最大值，那么r不存在，所以不存在r∈(0,1)，使得對任意n∈N*，都有xn≤rn-1+1，因此命題q為假命題。

方法3：（“蛛網圖”法）

由xn≤rn-1+1，可得xn-1 ≤rn-1，那么=r，即需要滿足(xn-1,xn)與(1,1)兩點之間的斜率始終小于一個在(0,1)之間的確切數值r，如圖2 所示，隨著n的增大，此斜率一直在遞增，且無限接近于1，故必須滿足r≥1，所以不存在r∈(0,1)，使得對任意n∈N*，都有xn≤rn-1+1，所以命題q為假命題。

圖2

點評：根據存在性問題的判定特征，可以借助反證法加以判斷，而涉及數列通項的變形與應用，可以利用裂項、累加等數列求和方式來處理，進而結合極限特征等方法來判斷。同樣，構建等比數列，從“蛛網圖”的視角，結合幾何意義來判斷，借助斜率，數形結合，也可做出直觀的判斷。

綜上可知，命題p為真命題，命題q為假命題，故選B。

在破解以數列為背景的綜合性問題時，往往要充分展示數列的函數特征，通過回歸函數的基本性質與基本方法，結合數列的基本特征來分析，從而達到知識與方法的巧妙融合。同時，要抓住函數的模型與相關知識，以及特殊數列模型，運用邏輯推理方法來分析與處理，使得問題指向明確，方便轉化。

三、方法應用

解決線性根式型遞推數列問題有特征根法和不動點法。而非線性遞推數列問題是各種競賽的難點和考試的熱點，這類問題可以借助作差比較法、極限特征法、“蛛網圖”法和數學歸納法解決比如下面兩題。

1.數列a0,a1,a2,…與b0,b1,b2,…,定義如下：