一類數(shù)列問(wèn)題的解法探討

江蘇徐州市第三中學(xué)（221005）劉書霞

數(shù)列作為一類特殊的函數(shù)表現(xiàn)形式，具有獨(dú)特的性質(zhì)，是知識(shí)交匯、問(wèn)題創(chuàng)新的紐帶，也是高考的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一。高考數(shù)列題以數(shù)列為問(wèn)題背景，融合其他相關(guān)知識(shí)來(lái)設(shè)計(jì)綜合問(wèn)題，充分體現(xiàn)了高考命題的指導(dǎo)思想，有效考查了相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)，考查了學(xué)生的抽象概括能力、邏輯推理能力，以及數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng)。

一、問(wèn)題呈現(xiàn)

［例1］已知數(shù)列{xn}滿足x1=2，xn+1=(n∈N*)。給出以下兩個(gè)命題。

命題p：對(duì)任意n∈N*，都有1 ＜xn+1＜xn；

命題q：存在r∈（0，1），使得對(duì)任意n∈N*，都有xn≤rn-1+1，則（ ）。

A.p真，q真 B.p真，q假

C.p假，q真 D.p假，q假

此題是涉及根式型遞推數(shù)列關(guān)系的一道綜合題，它巧妙地把函數(shù)、數(shù)列與常用邏輯問(wèn)題合理融合。學(xué)生要結(jié)合數(shù)列的相關(guān)知識(shí)來(lái)分析與推理，才能判定對(duì)應(yīng)命題的真假。此類問(wèn)題對(duì)學(xué)生的應(yīng)用能力、分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力及邏輯推理能力要求比較高。

二、問(wèn)題破解

（一）對(duì)于命題p的判斷

方法1：（作差比較法+極限特征）

而當(dāng)xn→1時(shí)，xn+1→1且xn+1＞1，

對(duì)任意n∈N*，都有1 ＜xn+1＜xn，即命題p為真命題。

點(diǎn)評(píng)：作差法是中學(xué)數(shù)學(xué)中比較大小的常用方法，具有實(shí)用性和通法性。運(yùn)用作差法，能夠培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)與觀察能力及類比意識(shí)。

方法2：（放縮法+同號(hào)性）

那么xn+1-1與xn-1的符號(hào)相同，

而x1-1=1 ＞0，則有xn-1 ＞0，即xn＞1。

對(duì)任意n∈N*，都有1 ＜xn+1＜xn，即命題p為真命題。

點(diǎn)評(píng)：用放縮法證明數(shù)列不等式是數(shù)列中的難點(diǎn)內(nèi)容。放縮法靈活多變，技巧性要求特別高。放縮是一種能力，放縮要有度，如何恰到好處，是放縮法的精髓和關(guān)鍵所在。

方法3：（同號(hào)性+作差比較法）

由xn+1=，可 得=2xn-1，即-1=2(xn-1)，

整理可得(xn+1-1)(xn+1+1)=2(xn-1)，

那么xn+1-1與xn-1的符號(hào)相同。

而x1-1=1 ＞0，則有xn-1 ＞0，即xn＞1；

對(duì)任意n∈N*，都有1 ＜xn+1＜xn，即命題p為真命題。

方法4：（數(shù)學(xué)歸納法+作差比較法）

（1）當(dāng)n=1時(shí)，x1=2 ＞1；

（2）假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí)，不等式xk＞1成立，那么=1 成立，即 當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式xk+1＞1也成立。

根據(jù)（1）和（2），可知對(duì)任意n∈N*，都有xn＞1成立；

對(duì)任意n∈N*，都有1 ＜xn+1＜xn，即命題p為真命題。

點(diǎn)評(píng)：數(shù)學(xué)歸納法是一種重要的數(shù)學(xué)證明方法，通常被用于證明某個(gè)給定命題在整個(gè)（或局部）自然數(shù)范圍內(nèi)成立。運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法可有效解決數(shù)列問(wèn)題。

方法5：（“蛛網(wǎng)圖”法）

圖1

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于一個(gè)不可求通項(xiàng)公式的數(shù)列遞推關(guān)系的范圍確定問(wèn)題，利用作差比較法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法等常見(jiàn)的方法，并借助“同號(hào)性”等不等式的性質(zhì)來(lái)處理，可以有效破解問(wèn)題。而“蛛網(wǎng)圖”是解決此類問(wèn)題比較特殊的方法，其常借助特征函數(shù)的圖像與性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，準(zhǔn)確判定。

（二）對(duì)于命題q的判斷

方法1：（裂項(xiàng)法+反證法）

方法2：（極限特征法）

由xn≤rn-1+1，可得xn-1 ≤rn-1，那么，構(gòu)造函數(shù)f(x)=，此函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，所以自變量x從2→1 的過(guò)程中單調(diào)遞增，由于任意n∈N*，而x無(wú)法取到1，則函數(shù)f(x)無(wú)最大值，那么r不存在，所以不存在r∈(0,1)，使得對(duì)任意n∈N*，都有xn≤rn-1+1，因此命題q為假命題。

方法3：（“蛛網(wǎng)圖”法）

由xn≤rn-1+1，可得xn-1 ≤rn-1，那么=r，即需要滿足(xn-1,xn)與(1,1)兩點(diǎn)之間的斜率始終小于一個(gè)在(0,1)之間的確切數(shù)值r，如圖2 所示，隨著n的增大，此斜率一直在遞增，且無(wú)限接近于1，故必須滿足r≥1，所以不存在r∈(0,1)，使得對(duì)任意n∈N*，都有xn≤rn-1+1，所以命題q為假命題。

圖2

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)存在性問(wèn)題的判定特征，可以借助反證法加以判斷，而涉及數(shù)列通項(xiàng)的變形與應(yīng)用，可以利用裂項(xiàng)、累加等數(shù)列求和方式來(lái)處理，進(jìn)而結(jié)合極限特征等方法來(lái)判斷。同樣，構(gòu)建等比數(shù)列，從“蛛網(wǎng)圖”的視角，結(jié)合幾何意義來(lái)判斷，借助斜率，數(shù)形結(jié)合，也可做出直觀的判斷。

綜上可知，命題p為真命題，命題q為假命題，故選B。

在破解以數(shù)列為背景的綜合性問(wèn)題時(shí)，往往要充分展示數(shù)列的函數(shù)特征，通過(guò)回歸函數(shù)的基本性質(zhì)與基本方法，結(jié)合數(shù)列的基本特征來(lái)分析，從而達(dá)到知識(shí)與方法的巧妙融合。同時(shí)，要抓住函數(shù)的模型與相關(guān)知識(shí)，以及特殊數(shù)列模型，運(yùn)用邏輯推理方法來(lái)分析與處理，使得問(wèn)題指向明確，方便轉(zhuǎn)化。

三、方法應(yīng)用

解決線性根式型遞推數(shù)列問(wèn)題有特征根法和不動(dòng)點(diǎn)法。而非線性遞推數(shù)列問(wèn)題是各種競(jìng)賽的難點(diǎn)和考試的熱點(diǎn)，這類問(wèn)題可以借助作差比較法、極限特征法、“蛛網(wǎng)圖”法和數(shù)學(xué)歸納法解決比如下面兩題。

1.數(shù)列a0,a1,a2,…與b0,b1,b2,…,定義如下：