基于卡爾曼濾波、分形和LSTM的大壩變形趨勢分析方法

鄧思源，周蘭庭，柳志坤

(1.河海大學水利水電學院，江蘇 南京 210098；2.青島市發展和改革委員會動能轉換推進處，山東 青島 266000； 3.青島市經濟發展研究院，山東 青島 266000)

隨著水利資源的深入開發，壩址的地質條件越來越復雜，大壩的規模也向高、大方向發展[1-2]。為了保障大壩運行的安全性，高效可靠的大壩變形監測及趨勢預報變得愈發重要。然而，在大壩變形監測過程中，變形監測數據易受噪聲污染，增加了監測過程及趨勢分析的難度，同時，大壩變形呈現顯著的非線性特征，給預報的準確性帶來考驗，使得大壩變形趨勢更加難以預估。

針對上述問題，許多學者進行了探討和研究，構建出一系列較為可靠、適用的大壩變形趨勢分析預測模型或理論。如李子陽等[3]綜合考慮去噪與時變功能，基于Kalman濾波方程組，結合統計模型和ARMA等方法，提出了一種能反映大壩性態變化和變形發展趨勢的時變Kalman預測模型；劉亮亮等[4]針對混凝土壩變形呈現顯著的非線性特征，引入分形插值理論，提出了一種可行有效的混凝土壩趨勢分析方法；郝永河等[5]基于變形信息分解，將R/S分析法同優化極限學習機及混沌理論結合，融合定性分析和定量預測結果，實現了較為可靠的大壩變形趨勢預報；牛景太[6]提出了基于奇異譜分析與粒子群算法優化支持向量機的混凝土壩變形監控模型。這些模型雖均具有一定的有效性和適用性，卻囿于對大壩變形趨勢某單一方面的分析研究，缺乏對該類問題多方面的綜合考慮，故而存在未充分考慮干擾和噪聲、未充分挖掘變形監測數據的時間依賴性、模型參數難以確定、構建數學模型過程復雜、長期預報能力不足等問題，導致模型存在一定的局限性。因此，亟待從多方面著手，引入先進的理論方法，并充分融合各自優勢，進而提升大壩變形趨勢分析的綜合性和可靠性。

鑒于此，考慮到卡爾曼濾波[7-8]在削減干擾和噪聲方面的優勢、分形理論[9-10]在解析判斷呈現較強非線性和時間相關性特征的數據方面的適用性以及長短時記憶神經(long short-term memory neural network，LSTM)模型[11-12]在分析處理具有典型動態特性的時間序列時優秀的應用表現，本文將三者進行優勢融合，提出了一種基于卡爾曼濾波、分形和LSTM模型的大壩變形趨勢綜合分析方法，可實現從定性和定量的層面對大壩未來變形趨勢進行綜合分析評價，從而更為可靠掌握大壩未來變形的發展趨勢。

1 基本理論

1.1 卡爾曼濾波

卡爾曼濾波是從與被提取信號有關的觀測量中通過算法估計出所需信號的一種濾波算法，特別適用于數據量大且具有顯著非平穩性的大壩變形監測數據[8]。依據文獻[13]推導，可得其狀態方程和觀測方程分別為

Xk=Ck|k-1Xk-1+Wk-1(k=1,2,…)

(1)

Yk=MkXk+Vk(k=1,2,…)

(2)

式中：Xk、Yk分別為tk時刻的狀態矢量和觀測矢量；Ck|k-1為從tk-1時刻到tk時刻的系統一步狀態轉移矩陣；Mk為觀測矩陣；Wk-1、Vk分別為系統噪聲矢量和觀測噪聲矢量。

對于系統噪聲和觀測噪聲兩序列的統計特性，可作以下假定：

(3)

式中：Qk、Rk分別為系統噪聲矢量和觀測噪聲矢量的方差矩陣；δkj為狄拉克(Dirac)函數，當k=j時，δkj=1，否則δkj=0；E為數學期望；Cov為協方差。

(4)

Pk=(I-KkMk)Pk|k-1

1.2 分形理論

分形理論是研究事物分形性質及其應用的科學理論，其中R/S分析法是分形理論中的一種分析方法。R/S分析法又稱為重標極差分析法，是由Hurst[14]在探討尼羅河水庫水位波動的規律時首先提出的。

(5)

(6)

每個子序列Ti的累積偏差為

(7)

累積偏差的極差閾值為

Ri=maxLj,i-minLj,i

(8)

結合式(6)和(8)得到子序列的重標極差Ri/Si，即

(9)

對各子序列Ri/Si求均值即可得到相應尺度下的(R/S)n，即

(10)

改變n的取值，重復上述步驟，求取不同尺度下對應的(R/S)n值，再經過統計分析，即可獲得 (R/S)n值同Hurst指數H之間具有如下關系：

(R/S)n=CnH

(11)

式中C為擬合參數。

根據式(11)可得到Hurst指數。Hurst指數又稱為分形指數，常用于時間序列的趨勢性評價，具有較強的預報功能。通過隨機試驗總結發現，Hurst指數存在如下性質：當01的情況，則表明時間序列中存在確定性誤差，不具備分析價值。

進一步可得R/S分析法的統計量Vn計算公式如下：

(12)

根據文獻[15]，Hurst指數和豪斯道夫維數D存在下述關系：

D=2-H

(13)

1.3 LSTM

LSTM由Hochreiter等提出[16]，由于其能夠學習長期順序依存關系，具有從經驗中學習的能力，目前被廣泛應用于時間序列的預測。LSTM通常由輸入門、忘記門、輸出門3個門組成[17]。

忘記門的作用是控制細胞狀態中信息的取舍：

ft=σ(Whfht-1+Wxfxt+bf)

(14)

輸入門的作用是更新細胞狀態中的信息：

it=σ(Whiht-1+Wxixt+bi)

(15)

(16)

(17)

輸出門控制著需要輸出的信息：

ot=σ(Whoht-1+Wxoxt+bo)

(18)

ht=ottanh(Ct)

(19)

2 變形趨勢綜合分析方法

結合各方法的優勢，構建一種融合卡爾曼濾波、分形理論和LSTM模型的大壩變形趨勢綜合分析方法，其流程如下：

步驟1利用卡爾曼濾波削減原始觀測數據中的干擾和噪聲，即濾波處理。

步驟2基于濾波處理后的數據，通過R/S分析法，分析判斷大壩變形序列的發展趨勢，對大壩未來變形進行初步的定性判斷。

步驟3基于濾波處理后的數據構建LSTM模型，進一步對大壩未來變形進行定量分析判斷；同時，引入其他神經網絡預測模型，以驗證LSTM模型的有效性和優越性。

步驟4將LSTM模型的預測結果同R/S分析法的分析判斷結果進行對比分析，通過R/S分析方法和LSTM二者的結合，在定性的基礎上加入定量元素，共同評價大壩未來的變形情況。

3 實例分析

以某混凝土重力壩為例，對該壩某測點處未來變形趨勢進行分析評價。大壩共布置了12個引張線測點，以實現對壩頂水平位移情況的監測。本文選取位于10號壩段的引張線測點EX8從2013年8月10日至2014年12月22日的位移觀測值用于分析，共計500個數據，其過程線見圖1中黑色曲線。

圖1 位移過程線

3.1 卡爾曼濾波處理

由圖1可見，濾波值所呈現的位移變化規律同實際測得的位移值變化規律基本一致，且濾波后位移過程線一定程度上剔除了原位移過程線中由干擾和噪聲產生的起伏和擾動，更加平滑，降低了粗糙程度，增強了位移監測數據的趨勢性特征，更加趨于真實。濾波值和原始位移值之間的殘差大部分在±0.1 mm以內，說明卡爾曼濾波處理有一定的數據平滑效果，在削減噪聲影響方面效果明顯[18]。

3.2 大壩變形R/S分析

在卡爾曼濾波處理的基礎上，為初步定性分析大壩變形序列的發展趨勢，基于2014年10月1日之前的417個大壩變形數據，根據R/S分析法對大壩變形趨勢進行分析評價。具體操作流程如下：將時間序列劃分為m組互不重疊的子序列，分別計算求得每組子序列的R/S統計量，再求其均值，進而得到對應不同長度n的平均(R/S)n值，分別對n值和(R/S)n值求對數，之后以lgn作為橫坐標、lg(R/S)n為縱坐標繪制lg(R/S)n-lgn雙對數坐標散點圖，再通過最小二乘法對散點進行線性擬合，得到的直線斜率即是Hurst指數H；類似地，可繪制lgVn-lgn雙對數坐標散點圖進行輔助分析。R/S分析結果如圖2所示。

圖2 大壩變形R/S分析結果

由圖2(a)可見，lg(R/S)n-lgn雙對數坐標散點圖除局部存在小幅波動以外總體上呈線性趨勢，說明此變形序列存在部分隨機性的同時趨勢性較為明顯。通過線性擬合得到的均方根誤差RMSE為0.383 mm，相關系數為0.992，均方根誤差較小，擬合度較高，表明分形分析結果具有較高的可信度和不錯的參考價值，同時求得此大壩變形序列的Hurst指數H為0.954，大于0.5，表明該測點處的大壩變形趨勢呈現正向持續增長性，且H較為靠近1，加之lgVn-lgn雙對數坐標散點圖總體呈上升趨勢，說明大壩該測點處變形監測序列存在顯著的長程相關性，具有較強的規律性和代表性，持續性強且趨勢增強明顯。根據H可得分形維數D為1.046，略大于1，可知大壩該測點處變形以線彈性為主，兼具部分非線性特征。結合上述分析，可初步推斷大壩該測點處變形較為穩定。

綜上所述，可初步判斷出未來一段時間內大壩該測點處變形存在較強的持續增長性特征，變形值會隨著前期的增大而繼續增大，且變形變化較為穩定。

3.3 LSTM建模預測

將經過卡爾曼濾波處理過后的500個數據中2014年10月1日之前的417個數據用于LSTM建模，后83個數據用于模型預測驗證，利用MATLAB進行LSTM模型的構建。參數尋優采用Adam算法，訓練時點數設置為40，隱含層節點數設置為20，窗口長度設置為20，其余參數則采用默認值。

為驗證LSTM神經網絡在大壩變形預測中的優越性，在同樣數據的基礎上建立BP神經網絡模型和ELMAN神經網絡模型，對未來變形值進行分析預測。由于模型預測精度與網絡隱含層節點數之間關系密切，本文采用試算法擬定隱含層節點數，最終確定BP神經網絡和ELMAN神經網絡的隱含層節點數分別為12和3。各模型預測過程線如圖3所示。

圖3 各神經網絡模型的預測過程線

由圖3可以看出，LSTM模型、BP模型和ELMAN模型的預測過程線與實測值過程線均較為貼合，均方根誤差均較低，分別為0.0367 mm、0.0899 mm和0.0695 mm，預測結果較為理想，綜合3.1節的論述，分析其原因不難得出：本文在原始數據的基礎上加入了卡爾曼濾波進行降噪處理，一定程度上削弱了干擾和噪聲的影響，平滑或剔除了不合理的波動，使數據的趨勢性特征得以保留和強化，信息表達的真實性和穩定性增加，進而使得模型的學習擬合過程更加趨于簡單化和高效化，降低了模型預測結果的不確定性，保證了預測精度，一定程度上驗證了對原始數據進行卡爾曼濾波降噪的可行性和必要性。

對比3種模型的預測效果，相較于BP模型和ELMAN模型，LSTM模型的預測過程線同實測過程線更為吻合，其預測值的變化規律與實測值更加趨同；LSTM模型預測結果的均方根誤差最小，預測精度更高。因此相較于其他神經網絡模型，LSTM神經網絡模型預測效果更為理想，能更為穩定地反映大壩變形的趨勢和規律，在大壩變形預測中更為適用。

由圖3的預測結果可見，大壩該測點處變形在約90 d內始終保持一種穩定的正向增長的態勢，呈現出較強的持續增長性特征。

3.4 變形趨勢綜合分析

將LSTM模型的定量預測結果同R/S分析法的定性分析結果進行對比，實現對彼此預測判斷結果準確性的相互檢驗，可見二者均判斷得到該測點處的大壩變形存在正向持續增長的趨勢，綜合分析結果與工程實際情況相符。這既在一定程度上說明了R/S分析法的定性分析評定結果的有效性，又驗證了LSTM模型定量分析判斷結果的可靠性，同時也證明了本文將R/S分析法用于大壩變形趨勢定性層面的分析，再將LSTM模型用于大壩變形趨勢定量層面的評判，層層深入、互為佐證的大壩變形趨勢綜合分析方法思路的可行性和有效性。

4 結 語

本文融合卡爾曼濾波、分形理論和LSTM模型三者的優勢，提出了一種大壩變形趨勢綜合分析方法。實例分析結果表明，卡爾曼濾波能一定程度地削減大壩變形監測數據中的干擾和噪聲，提升大壩變形趨勢分析的合理性和可靠性；基于卡爾曼濾波的降噪處理，分形理論和LSTM模型均能較為準確地對大壩變形趨勢分別進行定性分析評價和定量預測判斷，有效克服了大壩變形監測數據普遍存在的隨機性和非平穩性等問題；融合分形理論和LSTM模型的定性和定量分析結果，可實現大壩變形趨勢的綜合評判，相較于單方面的定性或定量預報，可靠度得到了更好的保障。可見，本文提出的大壩變形趨勢綜合分析方法具有一定的適用性和推廣價值。