半對稱2SPU-2RPC并聯機器人機構設計與運動學分析

盧月紅，徐彩蓮

(1.廈門華廈學院信息與智能機電學院，福建廈門 363100；2.廈門工學院機械與制造工程學院， 福建廈門 363100)

0 前言

三維平動和一維轉動(3T1R)并聯機構在水平方向上具有較好的順應性，在豎直方向具有良好的剛性，廣泛應用于分揀、包裝、搬運以及裝配等工業領域。3T1R按照動平臺轉動軸線可分為3種：3T1Rx、3T1Ry、3T1Rz。由平行四邊形支鏈構成的3T1R并聯機構(H4、I4、Par4和Heli4等)具有運動靈活、剛度大、加速度大的操作性能，即可實現三維移動和繞軸轉動。近年來，越來越多的學者在3T1R機器人方面進行了很多創新性工作。文獻[5]提出一種3T1R的四自由度并聯機構，根據拓撲結構設計原理分析自由度特性，同時建立運動學方程，推導得到正逆解；利用數值法分析工作空間形狀和大小，基于雅克比矩陣分析奇異位形以規避內部正解奇異。文獻[6]設計了一種結構簡單、構型對稱、工作空間大的3T1R 并聯機器人機構，根據螺旋理論驗證其運動特性；建立運動學正逆解數學模型，分別分析機構的奇異性和操作空間等特性，給出了幾種典型的奇異構型；最后，研究了可達工作空間的形狀和幾何約束條件之間的關系。文獻[7]利用螺旋理論和約束螺旋綜合法對3T1R完全解耦并聯機構進行構型綜合，根據螺旋理論構造所期望的正逆雅克比矩陣，通過支鏈驅動副布置得到支鏈的所有可能構型；綜合得到一類由支鏈上獨立輸入驅動的完全解耦并聯機構。文獻[8]根據并聯機構拓撲結構設計理論設計一種單自由度輸入的新型三平移一轉動輸出(3T1R)的并聯機構，通過方位特征集分析機構的運動特性，建立運動學方程模型，同時通過數值解進行互驗；利用仿真軟件得到輸出速度及加速度變化規律曲線；通過ADAMS軟件進行運動仿真，得出位置點的運動軌跡。文獻[9]設計一種完全對稱的4RPUR并聯機構，根據螺旋理論推導出機構的自由度和運動性質；通過桿長約束條件建立數學模型，分析運動學正逆解；采用差分進化算法解決無約束優化問題(位置正解計算問題)，并提出一種新型的矢量變異策略簡化算法以提高優化效率；最后，通過與其他算法對比，證明其高效性。

受文獻[10]啟發，提出一種可實現三維移動和繞軸轉動的3T1Ry并聯機器人機構。通過方位特征集計算機構的拓撲結構特性，驗證機構具有三平移一轉動的運行性能。根據幾何約束條件建立運動學數學方程模型，同時選擇一組數值驗證正逆解有效性。基于此，分析操作空間和奇異性等運動特性，給出正解和逆解奇異的存在條件。另外，分析參數對工作空間體積的影響，建立數學優化模型，完成機構結構尺寸參數的最優化設計。

1 并聯機構設計

1.1 機構模型描述

2SPU-2RPC并聯機構結構簡圖如圖1 所示。機構為半對稱機構，其中支鏈可描述為

圖1 機構的結構簡圖

1⊥2⊥3(1∥3)=1,2

1⊥2⊥()=3,4

該機構的支鏈1、2相同且對稱分布，支鏈3、4相同且對稱分布。動、靜平臺外切圓半徑為、。根據并聯機構分布特點，移動副作為驅動副，移動副的位移定義為(=1,2,3,4)，定義移動副的驅動范圍為[,]。

圖2 2SPU-2RPC并聯機構三維模型

1.2 機構的方位特征集分析

根據并聯機構的拓撲結構計算支鏈末端構件的方位特征集，經計算4條支路構件的方位特征集為

(1)

(2)

(1-2-3-4)=1∩2∩3∩4=

(3)

1.3 機構的自由度計算

自由度的計算公式有很多種，根據方位特征集的方法計算自由度，如公式所述:

(4)

(5)

根據公式(4)、(5)計算得到自由度：

(6)

綜上分析,機構的自由度為4，該機構可實現三維移動且繞軸轉動的運動。

2 位置分析

2.1 位置逆解分析

機構的主動副是和靜平臺相連的移動副，動平臺執行末端的位姿(,,,)，位置逆解可描述為根據位姿推導得到移動副的位移方程。在靜、動平臺的中心建立靜坐標系{-}、動坐標系{-}， 具體分析過程如下：

根據參數定義得到靜平臺上轉動副1坐標分別為(,0,0)、(-,0,0)、(0,-,0)、(0,,0)，機構動平臺上的點與點在動坐標系{-}中表示為

(7)

為動平臺繞定坐標系軸旋轉角度，則旋轉矩陣：

(8)

因此，根據坐標變換原理，可得點、在靜坐標系下的坐標為

(9)

根據桿長約束條件可得如下等式：

(10)

另外，在△和△中，運用向量之間的外積，可得到如下等式：

(11)

通過等式(10)(11)，將變量(=1,2,3,4)進行分離，推導可得運動學逆解(=1,2,3,4)表達式:

(12)

根據上述動平臺的位置姿態，可由公式(12)得到位置逆解。

2.2 位置正解分析

位置正解是指根據輸入求輸出，即通過(=1,2,3,4)得到動平臺末端的位姿(,,,)。根據等式(12)，分離變量得到有關于(,,,)的方程組:

(13)

針對高次非線性方程組，可用Newton-Raphson方法進行計算。

2.3 位置正解逆解算例

根據公式(13)，解高次非線性方程組，可得4組正解數值解，如表1所示。其中,=1 m、=0.8 m。

表1 部分正解算例

根據公式(12)，得到部分逆解算例，如表2所示。

表2 部分逆解算例

由表1、表2可知：逆解的值能夠完全匹配正解的值，驗證了運動學正逆解計算的正確性。

3 奇異性分析

(14)

其中：為逆雅克比矩陣；為正雅克比矩陣。

若非奇異，則:

(15)

若非奇異，則:

(16)

其中:

=2(+cos-)

=2(-cos+)

===

=2(-sin)

=2(+sin)

=-2(sin-sin+cos)

=2(sin+sin+cos)

==2

=2(+-)，=2(-+)

==2

3.1 逆解奇異性分析

機構逆解奇異條件為det()=0且det()≠0，計算整理可得：det()=，則要求det()=0。

因此，存在以下情況，當任意支鏈的移動副驅動副位移為0，則存在逆解奇異。工程實際應用過程中可通過設置移動副的移動位移范圍不包括極限位置，規避運動過程中存在逆解奇異的可能。

3.2 正解奇異性分析

機構正解奇異條件為det()=0且det()≠0，整理計算可得det()的表達式:

det()=16sin(-)(4cos-4-4sin)

令det()=0，因此，存在以下3種情況：

情況一：=0，即動平臺的轉角為0，調整位置姿態轉動范圍，可使得轉動過程中避免這類情況出現；

情況二：=π/2且=()，控制參數的設置可以規避這類奇異出現;

情況三：=，機構選擇過程中應使得動平臺和靜平臺半徑不同。

4 機構的工作空間分析

4.1 定姿態工作空間

表3所示為機構的一組尺寸參數，現在根據此參數進行定姿態工作空間的研究。

表3 機構的尺寸參數

圖3所示為在表3參數下的定姿態的工作空間。可知:0°姿態角的工作空間最大，總體呈現圓柱包形狀，底部是 “M”形掏空狀態；30°姿態角下工作空間呈現“馬桶”狀，且工作空間體積逐漸減小；60°下工作空間更小，為不規則圖形。90°～180°以上不存在工作空間，考慮對稱性，360°與0°一致，不再贅述。

圖3 不同姿態角下工作空間形狀

為進一步研究姿態角對工作空間的影響，在不同姿態角下，對500個不同參數下工作空間體積的分布進行計算，結果如圖4所示。

由圖4可知：定姿態角工作空間體積大致按照180°呈對稱分布，從0°到100°，工作空間體積分布越來越窄，最大值越來越小；在100°～250°姿態角內，工作空間體積都為0，即機構在較高的姿態角度內工作空間不存在。因此，此并聯機構的應用設計應盡量選擇低姿態角。

圖4 姿態角對工作空間體積的影響

4.2 可達工作空間

根據表3的機構參數，計算得到該參數下的工作空間三維形狀，如圖5所示。該參數下，可達工作空間呈現“窩窩頭”形狀，內部有“M”形拱門空洞，工作空間連續光滑，體積較大，約為0.97 m。

續 表1

圖5 機構可達工作空間(按表3參數)

5 參數對工作空間的影響

研究機構參數對可達工作空間體積的影響對并聯機構的應用設計具有重要意義。為便于分析，選擇單一變量法研究參數對可達工作空間的影響，即固定某一參數，其余參數變化，得到最大的可達工作空間體積，結果如圖6所示。

圖6 結構參數對工作空間體積的影響

由圖6可知：隨的增大，可達工作空間逐漸減小，在=1 m時取得最大值；隨的增大，可達工作空間逐步增大，在=1 m后，趨于穩定；隨的增大,最大可達工作空間反而減小，但降幅較小，約2 m;隨的增大，最大可達工作空間相應增加。從體積變化幅度看，的影響較小，其余參數影響較大，并且分析可得，最大可達工作空間的參數很可能在=1 m、=03 m、=15 m、≥09 m處產生。

6 工作空間的優化

6.1 優化模型的建立

在并聯機構的設計過程中，期望機構的操作空間盡可能大。但考慮到并不是結構尺寸越大越好，建立并聯機構工作空間最大化的數學優化模型，以得到一組最優參數解。

目標函數為：Max{(,,,)}

6.2 優化算法的選擇

鯨魚優化算法(Whale Optimization Algorithm，WOA)是一種元啟發式優化算法，用隨機個體或最優個體模擬座頭鯨的捕獵行為，并用螺旋線模擬座頭鯨的泡泡網攻擊機制。

6.3 優化設計算例

選擇如表4所示的鯨魚優化參數，進行最大可達工作空間體積的優化，得到圖7所示的優化過程。

表4 鯨魚優化算法參數

圖7 鯨魚算法最優化過程

由圖7可知：迭代約23次時基本已收斂找到最大值。最大可達工作空間下的參數如表5所示。該參數基本和第5節的分析一致，≈1 m。圖8所示為該參數下的可達工作空間的三維圖，該可達工作空間體積較大，底部有一個半圓柱形小孔，體積約為6.67 m。

表5 WOA優化的機構參數

圖8 最大可達工作空間的三維圖

7 結論

(1)提出一種可實現三平移一轉動的并聯機構，利用方位特征集理論驗證機構的運動性質。

(2)根據向量的外積和矢量法推導得到機構的運行學逆解方程，并根據Newton-Raphson方法計算機構的運動學正解方程的數值解。分別分析機構的奇異性和工作空間的運動學特性。運動過程中應避免運動到極限位置，以避免逆解奇異，同時應盡量避免姿態角等于0或=π2或=的情況出現，導致運動學正解奇異。

(3)分析了姿態角對工作空間體積的影響，結果表明：姿態角越大，工作空間的運動范圍越小。因此，應盡量選擇低姿態角下工作。

(4)分析了參數對工作空間的影響，結果表明：、越大，機構的操作空間越大；、參數值越大，機構的操作空間范圍越小。