FDM型3D打印機(jī)噴嘴多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)

任禮，白海清,2，鮑駿，賈仕奎，秦望，安熠蔚

(1.陜西理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，陜西漢中 723001；2.陜西省工業(yè)自動(dòng)化重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 陜西漢中 723001；3.陜西理工大學(xué)材料科學(xué)與工程學(xué)院，陜西漢中 723001)

0 前言

3D打印技術(shù)于20世紀(jì)80年代后期興起，美國某公司于2013年發(fā)布了題為“展望2025”的報(bào)告，稱3D打印技術(shù)屬于決定未來經(jīng)濟(jì)的顛覆性技術(shù)。雖然國內(nèi)該項(xiàng)技術(shù)起步較晚，總體水平仍落后于歐美國家，但近些年來，相關(guān)政府部門已出臺(tái)了一系列促進(jìn)3D打印技術(shù)在國內(nèi)發(fā)展的政策。目前，該項(xiàng)技術(shù)已是智能制造領(lǐng)域的重點(diǎn)研發(fā)方向之一。其中，熔融沉積(Fused Deposition Modeling，F(xiàn)DM)成型技術(shù)是3D打印技術(shù)的重要分支。其成型原理：將熱熔性材料加熱至熔融狀態(tài)后經(jīng)細(xì)小的噴嘴擠出，物料逐層堆疊固化后最終成型。由于FDM型技術(shù)能夠更好地應(yīng)用于個(gè)性化生產(chǎn)，成本低、耗材較為清潔且后處理便捷，因而得到了廣泛應(yīng)用。但由于FDM型噴頭易堵塞，高精度噴頭被國外壟斷，導(dǎo)致高精度打印設(shè)備價(jià)格高昂，維護(hù)困難。為解決此類問題，學(xué)者們進(jìn)行了許多研究。賈永臻等通過仿真試驗(yàn)分析了噴嘴堵塞的成因，通過噴頭保溫措施有效改善了壓力分布。朱黎立等設(shè)計(jì)了3D打印機(jī)的冷卻裝置，以應(yīng)對(duì)材料提前軟化和成型件冷卻不及時(shí)等問題，結(jié)合仿真分析與試驗(yàn)驗(yàn)證，提升了噴頭導(dǎo)絲性能和成型件精度。王利等人基于仿真模擬對(duì)FDM型打印機(jī)噴嘴的溫度場與應(yīng)力場進(jìn)行了分析，提出了防止噴嘴堵塞的具體措施。任翀等人基于FLUENT軟件對(duì)多種規(guī)格噴嘴進(jìn)行了數(shù)值模擬，分析了不同送絲速率下的溫度場、速度場和壓力場。高強(qiáng)等人進(jìn)行了正交仿真試驗(yàn)，提出了噴嘴結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的最優(yōu)方案。相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)噴嘴的設(shè)計(jì)均提供了參考，但仿真試驗(yàn)多設(shè)置為等溫分析或物料黏度為常量的情況，且個(gè)別結(jié)構(gòu)一定程度上存在噴嘴微小孔加工精度難以保障等問題。然而，F(xiàn)DM型3D打印機(jī)噴嘴出口處流道結(jié)構(gòu)存在突變，且噴嘴溫度對(duì)物料狀態(tài)也有直接影響，二者均能使熔體發(fā)生改變進(jìn)而影響噴嘴的性能。目前，結(jié)構(gòu)與溫度共同影響下，關(guān)于FDM型3D打印機(jī)噴嘴流固耦合傳熱分析與多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)的公開文獻(xiàn)相對(duì)較少，因而該方面的研究具有一定價(jià)值。

本文作者針對(duì)上述問題，將噴嘴結(jié)構(gòu)特征與溫度作為變量，設(shè)計(jì)FDM型3D打印機(jī)噴嘴流固耦合傳熱正交仿真試驗(yàn)；闡明試驗(yàn)的設(shè)計(jì)方案以及結(jié)果；對(duì)噴嘴出口速度穩(wěn)定性、流道熔體黏度以及出口壓力進(jìn)行優(yōu)化分析。使用極差分析法直觀地分析單因素影響下各指標(biāo)的變化趨勢和影響程度，進(jìn)一步采用Pareto遺傳算法對(duì)此多目標(biāo)優(yōu)化問題進(jìn)行求解，并獲得能實(shí)現(xiàn)較優(yōu)指標(biāo)打印的噴嘴結(jié)構(gòu)與工作溫度范圍。

1 數(shù)學(xué)模型與物理模型

1.1 數(shù)學(xué)模型

由于聚合物熔體流變行為的復(fù)雜性，建立描述流場的微分方程需要將部分微小影響因素忽略。假設(shè)如下：熔體充滿流道；熔體不可壓縮；忽略慣性力影響；忽略重力影響。

根據(jù)假設(shè)條件實(shí)現(xiàn)問題的簡化后，描述流場的微分方程如式(1)—(3)。

連續(xù)性方程：

(1)

運(yùn)動(dòng)方程：

(2)

能量方程：

(3)

高聚物熔體的表觀黏度受剪切速率與溫度的共同影響，在FDM型3D打印工況下，噴嘴流道在出口處變小會(huì)使剪切速率大幅度提高，同時(shí)，噴嘴的溫度會(huì)影響分子無規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)的程度，二者均對(duì)熔體黏度造成影響。因此，同時(shí)考慮剪切速率與溫度對(duì)熔體的影響才能準(zhǔn)確描述噴嘴熔體的行為。為此，本文作者以Carreau模型描述熔體黏度隨剪切速率的變化規(guī)律，如式(4)所示。在此基礎(chǔ)上，以Approximate Arrhenius定律進(jìn)行溫度修正，如式(5)所示，進(jìn)而得到如式(6)所示的高聚物熔體度模型，并以聚丙烯(PP)為對(duì)象完成參數(shù)設(shè)置。

(4)

()=exp[-(-)]

(5)

(6)

式中:為表觀黏度，Pa·s；為零表觀黏度，為26 470 Pa·s；為剪切速率影響下的物料黏度，Pa·s；為松弛時(shí)間，為2.15 s；為冪律指數(shù)，為0.38；為參考溫度，為473 K；為熱敏系數(shù)，為0.02 K。

1.2 物理模型

在基于螺桿擠出技術(shù)的FDM型3D打印過程中，熔體經(jīng)過螺桿后以穩(wěn)定的流率進(jìn)入噴嘴并最終實(shí)現(xiàn)擠出。如圖1所示，根據(jù)噴嘴的結(jié)構(gòu)特征，將影響熔體出口速度穩(wěn)定性、黏度以及壓力損失的影響因素歸結(jié)為流道直徑、收縮角以及噴嘴溫度。為出口流道長度，使用較長時(shí)易造成噴嘴堵塞，它接近0時(shí)噴嘴加工精度難以保障且易磨損。綜合考慮，文中確定為0.5 mm，其余對(duì)流道影響微小的參數(shù)在試驗(yàn)過程中亦保持恒定。

圖1 噴嘴結(jié)構(gòu)

2 正交仿真試驗(yàn)

2.1 試驗(yàn)設(shè)計(jì)

為通過較少的試驗(yàn)次數(shù)探究噴嘴結(jié)構(gòu)參數(shù)與噴嘴溫度對(duì)熔體出口速度穩(wěn)定性、流道流體黏度以及出口壓力的影響規(guī)律，根據(jù)噴頭規(guī)格與聚丙烯材料特性設(shè)計(jì)正交試驗(yàn)，因素水平如表1所示。

表1 正交試驗(yàn)因素水平

2.2 仿真試驗(yàn)

2.2.1 網(wǎng)格劃分

建立正交試驗(yàn)所需的9組合理簡化的噴嘴模型，圖2所示為其中1組試驗(yàn)對(duì)應(yīng)的模型和網(wǎng)格。在網(wǎng)格劃分過程中使流體與固體網(wǎng)格相耦合，由于二者結(jié)構(gòu)均相對(duì)復(fù)雜，均以四面體進(jìn)行劃分。對(duì)流體的外壁面設(shè)置膨脹層，對(duì)熔體出口位置進(jìn)行進(jìn)一步網(wǎng)格細(xì)化，最終形成如圖2所示的網(wǎng)格狀態(tài)。

圖2 模型與網(wǎng)格

2.2.2 邊界條件設(shè)置

邊界條件分為流體域的運(yùn)動(dòng)邊界條件和熱邊界條件。

(1)運(yùn)動(dòng)邊界條件。參考傳統(tǒng)打印噴嘴結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，當(dāng)出口直徑為0.4 mm、入口直徑為2 mm的噴嘴模型以0.1 mm厚度進(jìn)行較高精度分層打印時(shí)，送絲速度為0.5 mm/s。通過式(7)得出對(duì)應(yīng)流率為1.57 mm/s，并將它設(shè)定為入口邊界條件；設(shè)置流體外壁面無滑移；出口條件為法向力與切向速度為0。

(7)

式中：為體積流率，mm/s；為送絲速率，mm/s；為噴嘴入口直徑，mm。

(2)熱邊界條件。設(shè)置流體入口溫度與噴嘴溫度相同，流體與固體交界面溫度與熱通量連續(xù)，流體出口無傳導(dǎo)熱通量；設(shè)置噴嘴材料為黃銅，熱導(dǎo)率為130 W/m· ℃；設(shè)置固體與料筒接觸面的溫度為常量，其余壁面與20 ℃室溫對(duì)流換熱。

3 仿真試驗(yàn)結(jié)果與極差分析

3.1 試驗(yàn)結(jié)果

正交仿真試驗(yàn)結(jié)果如表2所示，在試驗(yàn)結(jié)果的后處理中，重點(diǎn)以噴嘴出口面的速度分布、流道中心位置黏度均值以及出口面壓力值為研究對(duì)象。9組仿真試驗(yàn)結(jié)果所形成的壓力場、速度場、黏度場、溫度場以及剪切速率場分布狀態(tài)趨同。以試驗(yàn)1為例，結(jié)果如圖3所示。可以看出：出口面流體壓力總體穩(wěn)定，與此同時(shí)，隨熔體流向出口的沿程壓力逐漸降低。由圖(c)可以看出：流體速度呈現(xiàn)中心高、周圍較低的分布狀態(tài)。結(jié)合圖(d)與圖(f)可以看出：狹小的流道剪切作用變強(qiáng)，因而熔體沿?cái)D出方向總體呈降低趨勢，且由于靠近壁面的流體剪切速率較高，靠近壁面的熔體黏度明顯小于遠(yuǎn)離壁面的熔體。由圖(e)可知:由于噴嘴與空氣對(duì)流傳熱程度小且黃銅的導(dǎo)熱系數(shù)較高，噴嘴溫度降低不明顯。

表2 正交試驗(yàn)結(jié)果

圖3 試驗(yàn)1結(jié)果

3.2 試驗(yàn)結(jié)果極差分析

極差分析法又稱“直觀分析法”，操作便捷、實(shí)用性強(qiáng)，可快速確定因素對(duì)指標(biāo)的影響程度與規(guī)律。計(jì)算公式為

(8)

(9)

3.2.1 出口速度方差值分析

通過公式(8)(9)計(jì)算得到出口速度方差值的極差分析表如表3所示。可以看出：對(duì)出口速度穩(wěn)定性影響最大的因素是流道直徑，隨流道直徑的增加，出口速度方差先增大而后趨于平穩(wěn)，說明較小的流道直徑有利于保證噴嘴出口截面上速率整體穩(wěn)定，但考慮到噴嘴制造的工藝性與避免噴嘴堵塞，流道直徑不宜小于1 mm。同時(shí)，收縮角的大小與噴嘴處的溫度對(duì)出口速度方差的影響不明顯。

表3 出口速度方差值極差分析結(jié)果

3.2.2 流道熔體黏度分析

同理可得，流道熔體黏度的極差分析結(jié)果如表4所示。可以看出：三因素的變動(dòng)均對(duì)流道流體黏度有較大的影響，影響程度由大到小依次為噴嘴溫度、流道直徑、收縮角。熔體黏度隨溫度上升而下降，隨其余兩因素增加而增加。分析可得，分子無規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)隨溫度上升而加劇，從而使分子間距增大，材料內(nèi)部形成了更多的自由體積，從而使高分子鏈段更容易活動(dòng)，因而黏度降低。而流道直徑和收縮角的增加，使得由壁面產(chǎn)生的剪切作用降低，因而黏度升高。

表4 流道流體黏度均值極差分析結(jié)果

3.2.3 出口壓力分析

同理可得，出口壓力的極差分析結(jié)果如表5所示，可以看出：相比其他因素，噴嘴溫度對(duì)出口壓力具有顯著影響，當(dāng)溫度上升時(shí)出口壓力下降。在流率恒定的情況下，溫度升高會(huì)產(chǎn)生較大的壓力損失，使出口壓力降低。

表5 出口壓力值極差分析結(jié)果

通過以上分析可得，出口速度方差、流道流體黏度以及出口壓力受試驗(yàn)因素的影響程度各異。綜合考慮，以低出口速度方差、較低流道流體黏度以及較高出口壓力為優(yōu)化目標(biāo)，通過Pareto遺傳算法進(jìn)行此多目標(biāo)優(yōu)化問題的求解。

4 基于Pareto遺傳算法的多目標(biāo)優(yōu)化

4.1 遺傳算法原理

遺傳算法依托生物進(jìn)化過程中優(yōu)勝劣汰的進(jìn)化理論，實(shí)現(xiàn)優(yōu)化問題中目標(biāo)函數(shù)向優(yōu)化解逼近的過程。通過選擇、交叉和變異的方法對(duì)群體進(jìn)行更新，最終獲得滿足適應(yīng)度函數(shù)的最優(yōu)解。遺傳算法的運(yùn)算流程如圖4所示。

圖4 遺傳算法流程

4.2 多目標(biāo)優(yōu)化方法

求解多目標(biāo)優(yōu)化問題是工程領(lǐng)域的常見需求。由于多目標(biāo)優(yōu)化過程中各目標(biāo)往往相互限制，很難同時(shí)達(dá)到最優(yōu)。而遺傳算法能夠在充分考慮各因素的影響下，得出各指標(biāo)都相對(duì)具有優(yōu)勢的解集，進(jìn)而為工程領(lǐng)域問題提供參考。定義多目標(biāo)優(yōu)化問題如式(10)—(11)所示：

min()=[(),(),…,()]∈

(10)

s.t.()≤0=1,2,…,

式中:=[,,…,]∈，為維決策變量；()為維目標(biāo)函數(shù)；()為單個(gè)目標(biāo)與自變量的關(guān)系表達(dá)式，即適應(yīng)度函數(shù)，=1,2,…,,∈；≤0為第個(gè)不等式約束條件；為不等式約束個(gè)數(shù)。

4.3 構(gòu)建適應(yīng)度函數(shù)

使用遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算時(shí)需要構(gòu)建適應(yīng)度函數(shù)。與自然界中更適應(yīng)環(huán)境的物種易于繁殖的原理類似，遺傳算法中以適應(yīng)度的概念來度量優(yōu)化計(jì)算過程中每個(gè)個(gè)體可能達(dá)到、接近或有助于找到最優(yōu)解的優(yōu)良程度。

試驗(yàn)中優(yōu)化目標(biāo)為出口速度方差、流道熔體黏度以及出口壓力，基于最小二乘原理，使用MATLAB軟件通過多項(xiàng)式擬合法對(duì)9組正交試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合。為獲得擬合程度良好的回歸方程，將最高次項(xiàng)提高為三次。進(jìn)而,分別得到自變量為、和的3個(gè)回歸方程，并將它們作為遺傳算法計(jì)算使用的適應(yīng)度函數(shù)。

建立出口速度方差值回歸模型：

=3330 6-0677 8+0018 9+0010 4-

0028 1-0000 000 657-0000 020 7-

0000 004 58

(11)

使用檢驗(yàn)法對(duì)回歸方程進(jìn)行檢驗(yàn)，(7，1)=14 312.8，遠(yuǎn)大于臨界值(7，1)=236.8，回歸方程可以使用。

建立流道熔體黏度模型:

=1 415726 4+93 609931 9-641755 3+

0253 8-1 517371 1+28232 4+

0994 7-0120 5

(12)

同理，(7，1)=131 648，遠(yuǎn)大于臨界值(7，1)=236.8，回歸方程可以使用。

建立出口壓力值回歸模型:

=292 914112 8+5 137209 1-

2 055001 7+47025 1-32168 3+

2864 5-1651 1+3953 6

(13)

同理，(7，1)=17 811.3，遠(yuǎn)大于臨界值(7，1)=236.8，回歸方程可以使用。

4.4 目標(biāo)函數(shù)

構(gòu)建自變量優(yōu)化模型矢量表達(dá)式如式(14)所示，目標(biāo)優(yōu)化的自變量分別為流道直徑、收縮角以及溫度。

(14)

記出口速度、流道流體黏度以及出口壓力回歸方程分別為()、()與()，以較小的出口速度方差與流道流體黏度以及較大的出口壓力為優(yōu)指標(biāo)，使用求解最小值的優(yōu)化法，因而出口速度方差與流道流體黏度取最小值，即為min()、min()，出口壓力求取為min(-())。優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)如式(15)所示:

(15)

4.5 約束條件

基于正交試驗(yàn)參數(shù)的選取范圍對(duì)自變量、、取值范圍進(jìn)行約束，分別為流道直徑范圍約束如式(16)所示，收縮角范圍約束如式(17)所示以及噴嘴溫度約束如式(18)所示。

(16)

(17)

(18)

因而，自變量、、取值的邊界約束條件如式(19)所示：

()=[(),(),()]

(19)

綜上所述，噴嘴結(jié)構(gòu)參數(shù)的多目標(biāo)優(yōu)化模型為

(20)

4.6 求解優(yōu)化模型

根據(jù)噴嘴規(guī)格以及聚丙烯材料擠出加工特性，確定噴嘴結(jié)構(gòu)參數(shù)以及噴嘴溫度取值范圍如式(21)所示。基于遺傳算法，使用MATLAB軟件編寫M文件進(jìn)行求解，所得Pareto前端三維解集如圖5所示。

圖5 Pareto前端解集

(21)

5 優(yōu)選結(jié)果

分析結(jié)果可得，解集中的優(yōu)選參數(shù)產(chǎn)生在噴嘴流道直徑為1 mm、收縮角為30°、溫度為200～210 ℃的情況下。表6中列舉了優(yōu)選參數(shù)的仿真結(jié)果。可知：熔體出口面速度方差處于較低水平，出口面速度保持較為均一的水平，提高了打印精度；與此同時(shí)，流道內(nèi)部較低的熔體黏度以及較高的出口壓力能夠保證噴嘴熔體擠出時(shí)具有較好的流動(dòng)性，有利于打印過程的穩(wěn)定進(jìn)行。

表6 3組試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比

6 結(jié)語

使用Polyflow軟件，進(jìn)行了FDM型3D打印機(jī)噴嘴流固耦合傳熱正交仿真試驗(yàn)。以提高打印精度和噴嘴熔體流動(dòng)性為目標(biāo)，以流道直徑、收縮角與噴嘴溫度為試驗(yàn)變量，并以較小的噴嘴出口速度方差、較小的流道熔體黏度以及較大出口壓力值作為優(yōu)化指標(biāo)，通過分析流場云圖，得出噴嘴熔體壓力場、速度場、黏度場、溫度場以及剪切速率場的分布趨勢；進(jìn)一步，通過對(duì)流場各項(xiàng)數(shù)據(jù)的提取與分析，可以得到以下結(jié)論：

(1)通過對(duì)正交仿真試驗(yàn)結(jié)果的極差分析，可以分別得出三因素作用下每個(gè)指標(biāo)的變化程度，其中，流道直徑是出口速度方差最顯著的影響因素，流道熔體黏度與出口壓力兩指標(biāo)最顯著的影響因素是熔體溫度；

(2)基于遺傳算法對(duì)打印機(jī)噴嘴的多目標(biāo)優(yōu)化問題進(jìn)行求解，并考慮噴嘴實(shí)際的工藝性，得出具有1 mm直徑的流道、30°收縮角的噴嘴在200～210 ℃工作時(shí)，打印聚丙烯熔體能夠?qū)崿F(xiàn)較優(yōu)的綜合指標(biāo)。