嚙合阻尼對人字齒行星齒輪傳動系統均載特性影響分析

張旭東，張磊，楊林杰，曹延軍，吳魯紀，王威，陳洪基，黃杰生，王金龍

(1.鄭州機械研究所有限公司，河南鄭州 450052，2.西安工程大學機電工程學院， 陜西西安 710045，3.中廣核工程有限公司，廣東深圳 518124)

0 前言

齒輪系統是應用廣泛的動力傳動裝置，其振動和噪聲問題也尤為突出，吸引了國內外大量學者對其非線性動力學特性進行研究。

在現有研究文獻中，王靖岳等建立了包含齒側間隙的齒輪傳動系統動力學非線性模型，分析了系統隨外載荷和齒側間隙變化的分叉圖，以不同的定性與定量對系統進行了詳細的研究。向玲等人以風電齒輪為研究對象，以集中參數模型建立了純扭轉系統的非線性動力學模型。趙昕等人研究了風力發電高速級齒輪系統的非線性動力學響應，采用集中參數法建立了十六自由度齒輪、轉子、軸承非線性動力學模型；該模型融合了變嚙合剛度、齒輪偏心和傳遞誤差等非線性因素；結果表明：齒側間隙和偏心量均對系統的扭轉振動有明顯影響，在設計系統時，應盡量避免偏心現象的出現。吳瑞芳等利用粒子群優化算法對系統非線性PID控制系統進行改進，結果表明：優化后的非線性系統能夠在線調整參數，提高了系統傳動的精度。

上述研究表明：對于齒輪傳動動載系統的研究，多數為單對齒輪副的研究;而人字齒行星齒輪模型的嚙合阻尼參數研究，由于其模型構件較多，動力學特性也更加復雜，因此，對其研究較少。本文作者基于集中參數法建立了人字齒行星齒輪傳動系統純扭轉非線性動力學模型，研究了嚙合阻尼對系統動態特性的影響。

1 非線性動力學建模

人字齒行星齒輪傳動系統由太陽輪、行星輪、內齒圈和行星架等構件組成，系統工作時，內齒圈固定，功率由太陽輪輸入，由行星架輸出。采用集中參數法建立人字齒行星齒輪傳動系統純扭轉非線性動力學模型,如圖1所示。

圖1 動力學模型人字齒輪傳動系統

嚙合扭轉動力學模型由太陽輪、行星輪和行星架構成。整個系統坐標系為--，假定逆時針旋轉為正，不考慮傳動軸扭轉和彎曲變形、支撐系統彈性變形等因素，僅考慮各構件扭轉方向的振動。根據系統中各構件受力關系，可得太陽輪、行星架和行星輪的振動微分方程組，分別為

(1)

coscos=-

(2)

(3)

式中:為輸入轉矩;為負載轉矩；L代表左側嚙合齒對；R代表右側嚙合齒對；(=s，p，c)表示各齒輪轉動慣量;為各齒輪基圓半徑;為各構件扭轉振動角位移;為齒輪基圓螺旋角；為行星輪壓力角；sp/rp、sp/rp分別為內外嚙合剛度和內外嚙合阻尼;、tp為扭轉剛度；、tp為扭轉阻尼。

根據系統中各構件之間的位置關系，分別得出太陽輪與行星輪嚙合法線上的相對位移，內齒圈與行星輪嚙合法線上的相對位移，其中sp為太陽輪與行星輪嚙合法線上的相對位移，為

(4)

rp為內齒圈與行星輪嚙合法線上的相對位移，為

(5)

2 非線性系統振動特性求解與分析

人字齒行星齒輪傳動系統的內外嚙合副在嚙合時產生嚙合阻尼效應，目前嚙合阻尼常采用經驗公式近似表達。根據系統中嚙合阻尼和阻尼比、嚙合剛度和構件質量的關系，常采用下式計算阻尼

(6)

利用4-5階變步長Runge-Kutta法對非線性系統的振動方程進行解析。計算前略去1 000個周期來消除系統的瞬態響應。以相軌跡圖、時間歷程圖、傅里葉變換功率頻譜圖和龐加萊截面圖作為分析手段，研究此系統隨嚙合阻尼變化的分岔和混沌特性。齒輪嚙合阻尼的大小和阻尼系數相關，因此可以通過調整阻尼系數優化嚙合阻尼。齒輪系統的參數如表1所示。分別取嚙合阻尼0.01、0.02、0.04和0.05，獲得系統的非線性響應形態如圖2—圖9所示。

表1 系統參數

當=0.01時，可得系統的穩態響應為圖2和圖3所示結果。

由圖2—圖3可見：在=0.01時，該系統出現了混沌響應，相線雜亂無章且充滿空間的某一部分；龐加萊截面為多個離散點；響應的時間歷程圖為非周期，且不穩定，在太陽輪和行星輪的響應中表現尤其明顯；FFT頻譜為具有一定寬度且逐漸衰減的連續波形。

圖2 太陽輪和行星輪嚙合之間的混沌響應(ζ=0.01)

圖3 內齒圈和行星輪間的混沌響應(ζ=0.01)

由圖4—圖5可見：在=0.02時，系統的響應為非諧單周期響應，相軌跡圖具有一定規律性，為非圓閉合“8”字曲線；龐加萊截面為多個離散點；響應的時間歷程圖近似正弦波，且不穩定，在太陽輪和行星輪的響應中表現得尤其明顯；FFT頻譜出現多個尖峰值，頻率分布在(為正整數)的離散點上，其頻率表現不穩定，表明系統含有超諧成分。

圖4 太陽輪和行星輪嚙合之間的非諧單周期響應(ζ=0.02)

圖5 內齒圈和行星輪間的非諧單周期響應(ζ=0.02)

由圖6—圖7可見：在=0.04時，系統的響應為準周期響應，相軌跡圖為具有一定寬度的環線；龐加萊截面為多個離散點，離散點數目大大減少；響應的時間歷程圖近似正弦的周期運動；FFT頻譜仍有多個尖峰值，頻率分布在(為正整數)的離散點上。

圖6 太陽輪和行星輪間的準周期響應(ζ=0.04)

圖7 內齒圈和行星輪間的準周期響應(ζ=0.04)

由圖8—圖9可見：在=0.05時，系統的響應為簡諧周期響應，相軌跡圖為非標準圓；龐加萊截面為單個點；太陽輪和行星輪的響應的時間歷程圖為標準正弦波，而內齒圈和行星輪為近似正弦波；太陽輪和行星輪的FFT頻譜只有一個固定頻率，而內齒圈和行星輪的FFT頻譜圖出現多個尖峰值，但主要集中于兩個頻率。

圖8 太陽輪和行星輪間的周期響應(ζ=0.05)

圖9 內齒圈和行星輪間的周期響應(ζ=0.05)

3 結論

建立了人字齒行星齒輪傳動系統非線性動力學模型，獲得了系統的穩態響應，分析了嚙合阻尼對系統非線性動力特性的影響。在人字齒行星型齒輪傳動系統中，嚙合阻尼的存在使系統具有很強的非線性，在嚙合阻尼變化下系統表現出四類穩態響應，分別為混沌響應、非諧單周期、準周期和周期響應。隨著阻尼增大，系統穩定性增強，由混沌狀態逐漸轉化為周期響應。因此，在設計行星齒輪傳動系統時，應適當增大阻尼系數，提高整個系統的穩定性。