數字伺服系統機械諧振頻率偏移現象機制分析及實驗研究

張軍，陳揚洋，張杰，楊明

(1.廣州數控設備有限公司，廣東廣州 510000；2.哈爾濱工業大學電氣工程及自動化學院，黑龍江哈爾濱 150001)

0 前言

數字伺服控制系統由于能夠提升生產效率和方便調試的優點，在數控機床、工業機器人等高精密工業制造和生產場合中有著廣泛的運用。伺服系統中電機和負載之間往往通過諧波齒輪、滾軸絲杠、傳動皮帶等柔性傳動裝置相連接，以提高設備的兼容性和降低裝置的成本。在控制理論中，控制器的高增益往往代表著良好的性能。但相比剛性傳動，柔性傳動在高增益下更容易出現系統不穩定，從而引發機械諧振，產生噪聲污染，降低加工精度。因此，如何在保持高帶寬的同時進行諧振抑制，已經成為提高伺服性能的一個關鍵課題。

關于機械諧振抑制，國內外學者已進行了大量研究，采用的方法主要分為兩大方面：一方面從機械特性入手，通過修改機械結構或更改結構材料，以提高機械諧振的峰值頻率或增加阻尼以降低諧振峰值：如增加電機轉動慣量或降低負載轉動慣量，改變傳動結構或材料以提高傳動剛性等，但其成本較高且適用范圍窄；另一方面則是通過在伺服系統中加入控制器、濾波器等環節改善系統閉環特性來抑制機械諧振。該方式的諧振抑制策略主要分為以下幾類：(1)通過增加傳感器或狀態觀測器的方式引入狀態反饋；其中，文獻[13-14]均利用加速度反饋有效增加電機端慣性矩從而降低驅動對機械共振的敏感度；文獻[15-19]是將負載對電機的扭轉振動看作外部負載擾動，將負載觀測器對負載端的擾動轉矩觀測值引入閉環系統進行補償或前饋，提高系統的抗諧振能力，進而降低系統的速度波動；(2)根據已有數據進行輸入信號整形，來抑制諧振，該方式屬于被動抑制，通過將輸入指令信號進行整形處理，消除指令信號中激發諧振的信號分量，從而實現減弱甚至消除諧振的效果；(3)在控制環路中串入低通或陷波濾波器調節相角裕度，減少諧振點處的增益，實現諧振抑制。其中，第三類方法由于需要的參數較少，算法簡單且配置靈活，在實際伺服系統中運用最為廣泛。為了準確獲取諧振頻率來配置濾波器，國內外學者提出了眾多基于FFT的在線和離線諧振頻率辨識的方法。但是由于阻尼、離散化和系統慣性的影響，實際系統所表現出的諧振頻率會出現偏離自然諧振頻率(Natural Torsional Frequency, NTF)的現象。對此，相關作者通過自適應陷波可很好提高算法的自適應性，但自適應陷波固有的調節過程會加劇系統震蕩，甚至損壞傳動裝置。

基于以上分析，本文作者在機械諧振模型的基礎上，重點分析了采樣周期、阻尼和陷波器的串入對諧振狀態的影響，解釋了在線自適應陷波中頻率配置錯誤下引起諧振頻率偏移的原因，并得出在諧振出現偏移現象時最有效的陷波頻率仍是系統自然諧振頻率的結論，最后通過仿真與實驗對理論分析進行驗證。

1 諧振模型及諧振頻率偏移現象

1.1 機械及控制模型

出于實際工況和生產成本的考慮，現實中的驅動電機、執行機構及傳動機構組成的典型柔性傳動雙慣量模型如圖1所示。其中：和為驅動電機和執行機構轉動慣量；為傳動軸阻尼系數；為電機轉軸轉角;為執行機構轉角；與分別為電機和執行機構的轉速；為電機電磁轉矩；為負載轉矩。由于電機和執行機構在力的作用下產生轉角不同步，會使傳動軸發生形變，為形變所產生的傳動軸轉矩，為傳動軸扭轉彈性系數。

圖1 雙慣量系統模型

根據以上所設參數，可得到運動學方程組(1)及圖2所示的系統控制框圖。

圖2 雙慣量系統控制框圖

(1)

進而可得到電磁轉矩、電機轉速和負載轉速之間的傳遞函數組：

(2)

忽略相對較小的條件下，內存在兩個諧振頻率。其中的共軛零點為抗諧振頻率點ARF(Anti-Resonance Frequency)，共軛極點為自然振動頻率點NTF。由式(2)可得出ARF與NTF表達式：

(3)

將數字伺服系統控制環路加以簡化，設反饋環路為單位負反饋，電流環等效為時間常數為的一階低通環節。由于重點在于分析諧振狀態，取速度環控制器為比例控制器，輸出限幅為±；同時使用零階保持器來近似離散化環節，可以得整個伺服系統的連續控制回路框圖如圖3所示。其中為比例系數，為轉矩系數，為速度環采樣周期。

圖3 離散系統控制框圖

1.2 諧振頻率偏移現象

根據圖3，可得出離散系統的傳遞函數(4)

(4)

其中：為拉普拉斯算子；為采樣時間。

取=0.56 N·m/A；=1×10s；=569 N·m/rad；=1.82×10kg·m；=1×10kg·m；=1×10s;= 0.01 N·m·s/rad；=6.59。該參數下系統的伯德圖如圖4所示[由式(3)可得=306 Hz]。由控制理論可知，增益裕度為負會導致系統不穩定，并且會產生穿越-180°處頻率的諧振。因此，圖4所示系統的諧振頻率偏移至730 Hz(設系統所表現出的諧振頻率為)，并非306 Hz(NTF)。在高增益的數字伺服控制系統中，目前主要采用在速度環輸出端串入改進雙T形陷波濾波器進行諧振抑制，其傳函和參數公式如式(5)所示，、和分別代表陷波頻率、陷波寬度和陷波深度。

圖4 離散系統伯德圖

(5)

為了提高算法的魯棒性，實際中會使用在線自適應的方法對陷波濾波器的陷波頻率加以修正。但是在某些情況下，在線自適應陷波也會導致諧振頻率的移動。選取速度環輸出限幅為±6 A，陷波參數：=314 rad/s，=-40 dB，在圖4系統中分別使用在線自適應陷波和陷波NTF兩種算法，會存在如圖5所示的現象：系統本身NTF為306 Hz，陷波前諧振頻率已偏移至730 Hz。于0.1 s處啟用自適應陷波濾波器，每0.1 s進行諧振頻率辨識和陷波頻率修正。在修正的過程中，諧振幅值剛開始有增大的趨勢，系統所表現的諧振頻率會逐漸接近NTF(在線自適應陷波下系統的當前諧振頻率已在圖中標出)。可見，當系統已經處于諧振頻率偏移狀態時，在線自適應濾波難以實現快速、平穩地諧振抑制。

圖5 機械諧振頻率偏移現象

2 諧振頻率偏移現象成因

由圖5可知，系統諧振頻率偏移NTF的原因可分為兩類：第一類是由于系統本身參數導致；第二類是人為加入陷波導致。從增益裕度角度出發，選取采樣周期、阻尼和陷波3個影響系統相頻特性的主要因素進行分析。

2.1 采樣周期影響分析

在圖4參數的基礎上，取=0.01 N·m·s/rad，變化采樣頻率(1)，得到不同采樣頻率下的系統開環伯德圖如圖6所示。雖然連續系統增益裕度為正，但由于離散化帶來的相角滯后，各采樣頻率下離散控制系統皆處于不穩定的諧振狀態。而且隨著采樣頻率的降低，離散控制系統的相角滯后增大，系統的諧振頻率會逐步從高頻段向NTF靠攏。

圖6 不同采樣頻率下系統開環伯德圖

2.2 阻尼影響分析

在圖4參數的基礎上，取=1×10s，變化，得到不同阻尼系數下的系統開環伯德圖如圖7所示。圖中的系統皆處于諧振狀態。其中阻尼系數影響了相頻曲線中NTF處的下降斜率，隨著阻尼系數的增大，NTF處的驟降趨勢會變緩，導致系統的諧振頻率會逐漸向高于NTF的頻段發生偏移。但是另一方面，阻尼的增大能夠有效地衰減NTF處的幅值增益，對系統趨于穩定有一定的幫助。

圖7 不同阻尼系數下系統開環伯德圖

2.3 陷波影響分析

在圖4參數基礎上，取=0.01 N·m·s/rad，=1×10s，陷波濾波器參數=314 rad/s、=-40 dB，得到不同陷波頻率下系統開環伯德圖如圖8所示。系統自身NTF為306 Hz，表現出的諧振頻率為730 Hz，陷波前已經處于諧振頻率偏離NTF的狀態。采用系統所表現的諧振頻率進行兩次1.2節所述的在線自適應陷波。根據陷波濾波器本身的相頻特性可知，它在減少陷波頻率往后頻段相角滯后的同時，會加劇往前頻段的相角滯后。因此，隨著陷波頻率的不斷修正，系統所表現的諧振頻率逐步向NTF靠攏，但是剛開始的修正過程也存在著增益裕度惡化現象，反映到時域即為諧振幅值的增大；而直接陷波NTF能夠有效、快速地使系統恢復到穩定狀態。

圖8 不同陷波頻率下系統開環伯德圖

3 仿真驗證

仿真中數字伺服系統的主要參數為：電機轉動慣量1.82×10kg·m；負載轉動慣量1×10kg·m；傳動軸扭轉彈性系數569 N·m/rad；電機額定功率750 W；電機額定電流3 A；電機定子電阻1.44 Ω；電機d、q軸電感為3.2×10H；轉子磁鏈0.093 9 WB；極對數為4；母線電壓300 V；電流環采樣頻率20 kHz；PWM載波頻率10 kHz；速度環輸出限幅6 A。通過選取不同的速度環采樣周期和阻尼系數，在速度給定為2 000 r/min階躍的情況下，得到諧振頻率分布如圖9(a)所示[由式(3)得NTF=306 Hz]。系統表現的諧振頻率隨著阻尼系數的增大而增大，逐漸遠離NTF；隨著采樣周期的增大而減小，逐漸靠近NTF。

接下來選取=1×10s，=0.01 N·m·s/rad，陷波濾波器中取=2、=0.02，在轉速給定為1 000 r/min階躍的情況下，于0.2 s處進行1.2節所描述的基于系統表現的在線自適應陷波與基于傳函的NTF陷波，陷波結果如圖9(b)所示(陷波配置頻率已在圖中標出)。隨著自適應陷波的進行，系統的諧振頻率逐漸靠近NTF。在這個過程中，初始階段存在諧振幅值增加的情況，當陷波頻率接近NTF時，諧振現象逐漸收斂。

圖9 仿真結果

而相較自適應陷波，直接陷波NTF能夠更快速地完成諧振抑制，同時避免了諧振幅值增加對系統機械結構造成的勞損。綜上可知，仿真結果與理論推導相吻合。

4 實驗驗證

柔性傳動的對拖實驗平臺結構如圖10所示。該實驗平臺的參數除負載轉動慣量9.1×10kg·m,速度環輸出限幅4 A,連接剛度為256 N·m/rad，諧振頻率為190 Hz(通過系統平臺的Chirp掃頻測得)外，其他均與仿真參數相同。

圖10 750 W PMSM的柔性傳動研究實驗平臺

實驗的第一部分用于驗證諧振頻率偏移。由于阻尼系數是固定的常數且難以調整，因此僅記錄速度環在不同采樣周期下的諧振頻率。在圖11(a)中，隨著速度環的采樣周期從0.5 ms到1.5 ms逐步遞增，諧振頻率從230 Hz到190 Hz逐步遞減，這與第3節中的分析一致。

在第二部分實驗中，將陷波器分別按照諧振頻率(在線自適應濾波器)設定以及按照自然諧振頻率NTF設定進行比較(設定=05，=0.02)。在圖11(b)中，系統振蕩頻率為230 Hz。當陷波器頻率設定230 Hz時，系統仍然不穩定，并且產生了一個新的諧振頻率，該頻率減小為210 Hz。當調整陷波頻率為190 Hz時系統最終穩定。相反，如果陷波頻率設定為NTF時，系統快速穩定下來并且無需自適應陷波器的自適應調節過程。圖11(b)同樣驗證了該結論，當諧振頻率大于自然諧振頻率NTF時，按照諧振頻率進行設定陷波頻率會導致一個新的且更低的諧振頻率出現。

圖11 實驗結果

5 結語

針對數字伺服系統機械諧振頻率偏移現象，文中重點分析了采樣周期、阻尼和陷波對諧振頻率的影響，解釋了系統在未加陷波濾波器時所體現的諧振頻率與NTF不符以及陷波濾波器的串入造成諧振頻率移動的原因，并給出了諧振頻率偏移狀態下陷波NTF的解決方案。雖然現實系統往往無法提前獲取NTF等信息，只能在線獲得實際諧振頻率值，但文中的機制分析解釋了諧振頻率偏移的現象。仿真和實驗結果證明了理論分析的正確性和有效性。在諧振頻率偏移的情況下，快速實現NTF辨識，將是下一步研究的重點。